Теория вероятностей (9 задач)

Задача 1. Дискретная с.в. X принимает значения от 1 до n. (т.е. 1, 2, 3 и т.д…до n). вероятность для каждого значения 1/n. n=5, m=3
1. Записать распределения с.в. X в виде ряда.
2. Записать для с.в. X аналитическое выражение для функции распределения, предварительно построив её график
3. Рассчитать вероятность для с.в. попасть в интервалы [1;m], (1,m), [1,m),(1,m] двумя способами через функцию распределения и через ряд.
4. Найти математическое ожидание случайной величины X, дисперсию с.в. X и среднее квадратическое отклонение с.в. X

Задача 2. Из двух урн, в каждой из которых находятся шаров с надписанными на них числами от 1 до выбирается по одному шару. Рассматривается с.в. X – сумма чисел на выбранных шарах. Построить ряд распределения с.в. X. Найти вероятность того, что её значени ...

Задача 1. Дискретная с.в. X принимает значения от 1 до n. (т.е. 1, 2, 3 и т.д…до n). вероятность для каждого значения 1/n. n=5, m=3
1. Записать распределения с.в. X в виде ряда.
2. Записать для с.в. X аналитическое выражение для функции распределения, предварительно построив её график
3. Рассчитать вероятность для с.в. попасть в интервалы [1;m], (1,m), [1,m),(1,m] двумя способами через функцию распределения и через ряд.
4. Найти математическое ожидание случайной величины X, дисперсию с.в. X и среднее квадратическое отклонение с.в. X

Задача 2. Из двух урн, в каждой из которых находятся шаров с надписанными на них числами от 1 до выбирается по одному шару. Рассматривается с.в. X – сумма чисел на выбранных шарах. Построить ряд распределения с.в. X. Найти вероятность того, что её значения попадут в интервал [n1;n2] .Вероятность рассчитывать с помощью ряда распределения. n=5, [n1;n2] =[3;7]

Задача 3. Вероятность правильной передачи символа по каналу связи равна p, причём известно, что каждый символ искажается независимо от остальных.
A).Случайная величина а-число правильно принятых символов в сообщении из n символов.
Б). Случайная величина b-число неправильно принятых символов до первого правильного принятого символа
В). Случайная величина c -число неправильно принятых символов до r-го правильного принятого символа необязательно подряд
p=0,7; n=2; r=3.
1. Записать ряд распределения в формульном виде (для пункта A рассчитать все значения, для пунктов Б) и В). первые пять значений
2. Через параметры вычислить математическое ожидание и дисперсию, а также среднее кв. отклонение.

Задача 4.
Непрерывная случайная величина Y имеет плотность распределения (задана, с неизвестной константой). f=4, a=0, b=3, a1=0, b1=2
1. Найти константу c
2. По плотности восстановить функцию распределения.
3. Найти вероятность того, что случайная величина попадёт в интервал (a1,b1) и интервал [a1,b1] . Вероятность рассчитать двумя способами: через плотность и через найденную функцию распределения.
4. Для с.в.Y найти MY ,DY и среднеквадратическое отклонение.

Задача 5. Случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами m и (сигма). Найти вероятность того, что при измерении эта случайная величина попадёт в интервал (альфа, бета) .Для расчётов использовать таблицы для стандартного нормального распределения.
m=100, сигма =2 , (a;b)=(97;104)

Задача 6. A).Случайная величина Z1 имеет равномерное распределение на отрезке [a;b]. Найти вероятность того, что она попадёт в интервал [a1;b1]. Вероятность рассчитывать через её функцию распределения. Найти также её математическое ожидание и дисперсию через параметры. [a;b]=[19;32], [a1;b1]=[20;30]

Б). Случайная величина Z2 имеет экспоненциальное распределение с параметром . Найти вероятность того, что она попадёт в интервал [0;d]. Вероятность рассчитывать через её функцию распределения. Найти также её математическое ожидание и дисперсию через параметры. =0,06, [0;d]=[8;16]

Задача 7. Из двух урн, в каждой из которых находятся шаров с надписанными на них числами от 1 до n выбирается по одному шару. Рассматривается случайная величина (эпсилон) – сумма чисел на выбранных шарах. n=5.
Найдите ряд распределения случайной величины a*(эпсилон-b)^2+c . a=2, b=10, c=1.

Задача 8. В условиях задачи 4. найдите плотность распределения с.в. aY^3+c .
a=7, c=4

Задача 9.
Задача 2.9 (Статистика-обработка реальных данных). –считать в Excel

1. Начертить полигон частот, гистограмму и кумулятивную кривую
2. По кумулятивной кривой найти вероятность попадания случайной величины X в интервал (a;b) :
3. Найти моду и медиану
4. Вычислить выборочное средне, дисперсию и среднее квадратическое отклонение ( )
5. Определить коэффициент вариации.
6. По величине асимметрии и эксцесса сделать вывод о форме эмпирического ряда распределения
7. Рассчитать и построить на графике теоретическую кривую частот. Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с помощью критерия согласия Пирсона при уровне значимост

Задача 1. Дискретная с.в. X принимает значения от 1 до n. (т.е. 1, 2, 3 и т.д…до n). вероятность для каждого значения 1/n. n=5, m=3
1. Записать распределения с.в. X в виде ряда.
2. Записать для с.в. X аналитическое выражение для функции распределения, предварительно построив её график
3. Рассчитать вероятность для с.в. попасть в интервалы [1;m], (1,m), [1,m),(1,m] двумя способами через функцию распределения и через ряд.
4. Найти математическое ожидание случайной величины X, дисперсию с.в. X и среднее квадратическое отклонение с.в. X

Задача 2. Из двух урн, в каждой из которых находятся шаров с надписанными на них числами от 1 до выбирается по одному шару. Рассматривается с.в. X – сумма чисел на выбранных шарах. Построить ряд распределения с.в. X. Найти вероятность того, что её значени я попадут в интервал [n1;n2] .Вероятность рассчитывать с помощью ряда распределения. n=5, [n1;n2] =[3;7]

Задача 3. Вероятность правильной передачи символа по каналу связи равна p, причём известно, что каждый символ искажается независимо от остальных.
A).Случайная величина а-число правильно принятых символов в сообщении из n символов.
Б). Случайная величина b-число неправильно принятых символов до первого правильного принятого символа
В). Случайная величина c -число неправильно принятых символов до r-го правильного принятого символа необязательно подряд
p=0,7; n=2; r=3.
1. Записать ряд распределения в формульном виде (для пункта A рассчитать все значения, для пунктов Б) и В). первые пять значений
2. Через параметры вычислить математическое ожидание и дисперсию, а также среднее кв. отклонение.

Задача 4.
Непрерывная случайная величина Y имеет плотность распределения (задана, с неизвестной константой). f=4, a=0, b=3, a1=0, b1=2
1. Найти константу c
2. По плотности восстановить функцию распределения.
3. Найти вероятность того, что случайная величина попадёт в интервал (a1,b1) и интервал [a1,b1] . Вероятность рассчитать двумя способами: через плотность и через найденную функцию распределения.
4. Для с.в.Y найти MY ,DY и среднеквадратическое отклонение.

Задача 5. Случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами m и (сигма). Найти вероятность того, что при измерении эта случайная величина попадёт в интервал (альфа, бета) .Для расчётов использовать таблицы для стандартного нормального распределения.
m=100, сигма =2 , (a;b)=(97;104)

Задача 6. A).Случайная величина Z1 имеет равномерное распределение на отрезке [a;b]. Найти вероятность того, что она попадёт в интервал [a1;b1]. Вероятность рассчитывать через её функцию распределения. Найти также её математическое ожидание и дисперсию через параметры. [a;b]=[19;32], [a1;b1]=[20;30]

Б). Случайная величина Z2 имеет экспоненциальное распределение с параметром . Найти вероятность того, что она попадёт в интервал [0;d]. Вероятность рассчитывать через её функцию распределения. Найти также её математическое ожидание и дисперсию через параметры. =0,06, [0;d]=[8;16]

Задача 7. Из двух урн, в каждой из которых находятся шаров с надписанными на них числами от 1 до n выбирается по одному шару. Рассматривается случайная величина (эпсилон) – сумма чисел на выбранных шарах. n=5.
Найдите ряд распределения случайной величины a*(эпсилон-b)^2+c . a=2, b=10, c=1.

Задача 8. В условиях задачи 4. найдите плотность распределения с.в. aY^3+c .
a=7, c=4

Задача 9.
Задача 2.9 (Статистика-обработка реальных данных). –считать в Excel

1. Начертить полигон частот, гистограмму и кумулятивную кривую
2. По кумулятивной кривой найти вероятность попадания случайной величины X в интервал (a;b) :
3. Найти моду и медиану
4. Вычислить выборочное средне, дисперсию и среднее квадратическое отклонение ( )
5. Определить коэффициент вариации.
6. По величине асимметрии и эксцесса сделать вывод о форме эмпирического ряда распределения
7. Рассчитать и построить на графике теоретическую кривую частот. Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с помощью критерия согласия Пирсона при уровне значимост

r