Контрольная. Высшая математика

Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти: 1) уравнение прямой, на которой лежит ребро А1А2; 2) уравнение плоскости, на которой лежит грань А1А2А3; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объём пирамиды. А1(4, 2, 5), А2(0, 7, 2), А3(0, 2, 7), А4(1, 5, 0).
Установить, какие линии определяются данными уравнениями. Изобразить линии на чертеже.
16x^2-9y^2-64x-18y+199=0
1) Записать число в алгебраической форме; 2) изобразить его на координатной плоскости; 3) записать число в тригонометрической и показательной формах; 4) вычислить ; 5) найти все корни уравнения z^3-a=0
Найти пределы, используя замечательные пределы и эквивалентные бесконечно малые функции.
Дано уравнение кривой, точка и уравнение прямой . Требуется: 1) составить уравнения касательн ...

Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти: 1) уравнение прямой, на которой лежит ребро А1А2; 2) уравнение плоскости, на которой лежит грань А1А2А3; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объём пирамиды. А1(4, 2, 5), А2(0, 7, 2), А3(0, 2, 7), А4(1, 5, 0).
Установить, какие линии определяются данными уравнениями. Изобразить линии на чертеже.
16x^2-9y^2-64x-18y+199=0
1) Записать число в алгебраической форме; 2) изобразить его на координатной плоскости; 3) записать число в тригонометрической и показательной формах; 4) вычислить ; 5) найти все корни уравнения z^3-a=0
Найти пределы, используя замечательные пределы и эквивалентные бесконечно малые функции.
Дано уравнение кривой, точка и уравнение прямой . Требуется: 1) составить уравнения касательной и нормали к данной кривой в точке с абсциссой ; 2) найти точку на кривой , в которой касательная параллельна прямой .
Исследовать функции с помощью производных первого и второго порядков. Найти асимптоты. Построить графики функций

Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти: 1) уравнение прямой, на которой лежит ребро А1А2; 2) уравнение плоскости, на которой лежит грань А1А2А3; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объём пирамиды. А1(4, 2, 5), А2(0, 7, 2), А3(0, 2, 7), А4(1, 5, 0).
Установить, какие линии определяются данными уравнениями. Изобразить линии на чертеже.
16x^2-9y^2-64x-18y+199=0
1) Записать число в алгебраической форме; 2) изобразить его на координатной плоскости; 3) записать число в тригонометрической и показательной формах; 4) вычислить ; 5) найти все корни уравнения z^3-a=0
Найти пределы, используя замечательные пределы и эквивалентные бесконечно малые функции.
Дано уравнение кривой, точка и уравнение прямой . Требуется: 1) составить уравнения касательн ой и нормали к данной кривой в точке с абсциссой ; 2) найти точку на кривой , в которой касательная параллельна прямой .
Исследовать функции с помощью производных первого и второго порядков. Найти асимптоты. Построить графики функций

Прямая
Координаты искомой точки (2;6)
Задание 55
Найти производные данных функций.
а) , б) .
Решение:
а) Используем следующие правила нахождения производной функции.
u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0, то производная частного этих функций вычисляется по формуле:
Правило дифференцирования сложной функции:
б)

Задание 65
Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.
а) б)
Решение:
а) Правило Лопиталя:
б)
Задание 75
Исследовать функции с помощью производных первого и второго порядков. Найти асимптоты. Построить графики функций.
а) , б)
Решение:
а)
1) Найдем область определения функции, то есть множество всех Х таких, что выражение f(x) имеет смысл.
х(-;+)
2) Функция не обладет свойством четности или нечетности и является функцией общего вида, так как:
например, f(1)=1,5; f(-1)=5,4.
3) Определим точки пересечения графика функции с осями координат.
Пересечения с осью OY:
A(0; 3)
Пересечение с осью ОХ:
и
B(-3;0)
4) Определим интервалы монотонности и точки локального экстремума.
Критические точки:
Вычислим производную функции:
Найдем корни уравнения
С(-2;7,4)
Таким образом, критическая точка х=-2
Найденной критической точкой разбиваем на интервалы и определяем знак внутри каждого
Интервалы оформим в таблице:
X
Y(x)
Y’(x)
+
-
5) Найдем производную второго порядка:
Найдем корни уравнения
- точка перегиба
D(-1;5,4)
Найденной точкой разбиваем на интервалы и определяем знак производной второго порядка внутри каждого
Интервалы оформим в таблице:
X
Y(x)
Функция вогнута
5,4
Функция выпукла
Y’’(x)
+
-
6) Найдем асимптоты:
Если , то прямая y = kx + b - наклонная асимптота.
При этом
Определим k и b:
y =0 при x>0
6) На основе исследования построим график:
б)
1) Найдем область определения функции, то есть множество всех Х таких, что выражение f(x) имеет смысл.
х(-;0)(0;+)
2) Функция не обладет свойством четности или нечетности и является функцией общего вида, так как:
например, f(1)=6; f(-1)=-2.
3) Определим точки пересечения графика функции с осями координат.
Пересечения с осью OY нет, так как х≠0
Пересечение с осью ОХ:
Вычислим корни квадратного уравнения.