Задачи

Задачи ...

Задача 7. Вычислить определитель третьего порядка : а) по правилу треугольников, б) разложением по элементам строки или столбца.

Задача 27. Для данных матриц A и B выполнить следующие действия:
а) 2A – 3B; б) A3

Задача 47. Решить систему уравнений: а) при помощи определителей (по формулам Крамера); б) с помощью обратной матрицы; в) методом Гаусса.

Задача 67. Исследовать совместность системы уравнений и в случае ее совместности найти общее решение и одно из частных решений.

Задача 87. Даны два линейных преобразования, средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее х2, y2, z2 через х, y, z.

Задача 97. Даны векторы , , и . Показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.

Задача 127. Привести кканоническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм и определить ее вид.

Решение задач

Решение: Запишем основную матрицу системы.Вычислим определитель матрицы, полученной из исходной матрицы путем вычеркивания ее первого столбца. = 3(122 + 333 + 721 – 327 – 132 – 223) –– 2(222 + 233 + 121 – 321 – 132 – 222) + + 3(232 + 273 + 111 – 331 – 172 – 212) – – 4(233 + 272 + 112 – 231 272 – 312) = = 3(-12) – 28 + 328 – 48 = 0.Вычислим определитель матрицы, полученной из предыдущей матрицы путем вычеркивания ее 4-го столбца и 4-й строки. 312 + 233 + 222 – 312 – 233 – 222 = 0.Вычислим определитель матрицы, полученной из предыдущей матрицы путем вычеркивания ее 3-го столбца и 3-й строки. 31 – 22 = -1 0.Таким образом, ранг основной матрицы равен 2. Найдем ранг расширенной матрицы системы.Наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы равен 2. Например, 44 – 53 = 1 0.Таким образом, ранг расширенной матрицы также равен 2.Поскольку ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и меньше числа неизвестных, система имеет бесконечное множество решений.Найдем общее решение системы. Выполнив элементарные преобразования расширенной матрицы, получим:Получаем: Подставим эти значения в 1-ое уравнение. Таким образом, мы получили общее решение системы, где в качестве базисных переменных выступают переменные x1 и x5.Полагая x1 = 0 и x5 = 0, получим частное решение.Задача 87. Даны два линейных преобразования, средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее х2, y2, z2 через х, y, z. и Решение: Запишем матрицы данных линейных преобразований.,Найдем преобразование, выражающее х2, y2, z2 через х, y, z, умножив матрицу B на матрицу A.Задача 97. Даны векторы ,, и . Показать, что векторы ,, образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе. ,, , Решение: Проверим, образуют ли векторы ,, базис трехмерного пространства. Составим матрицу из координат этих векторов и вычислим ее ранг, преобразовав матрицу к треугольному виду.Последняя матрица имеет треугольный вид и число ненулевых элементов, стоящих на побочной диагонали, равно 3, поэтому ее ранг равен 3. Следовательно, и ранг исходной матрицы равен 3. Значит, что векторы ,, образуют базис трехмерного пространства. Представим вектор в виде линейной комбинации базисных векторов ,, :, которую перепишем в виде:Последнее равенство равносильно системе трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решим ее методом Гаусса. Для этого составим расширенную матрицу системы и преобразуем ее к трапециевидной форме. Получим:Отсюда получаем:x3 = 2; x2 = (14 7x3) : (-22) = (14 72) : (-22) = 0;x1 = -3 – 5x2 + 2x3 = -3 – 50 + 22 = 1.