математический анализ

задания 4 вариант ...

Вариант 4

Задание 1. Пределы функций
1. Вычислить пределы функций:




Задание 2. Исследование функций
2. Используя дифференциальное исчисление, провести полное исследование функции и построить её график:
y=x2+x



Задание 3 Неопределенный интеграл
3.Вычислить неопределённые интегралы, используя методы интегрирования:
а)-непосредственное интегрирование;
б)-замены переменной;
в)-интегрирования по частям.
а) , б) , в) .





Задание 4. Определенный интеграл.
4.1.Вычислить определенный интеграл:
а)


4.2.Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертёж.



Задание 5. Несобственный интеграл
Вычислить интеграл или установить его расходимость:
4.a)∫_0^(+∞)▒dx/(x^2-4x+8); б)∫_(-2)^2▒dx/√(x+2)


Задание 6. Ряды
6.1.Числовые ряды. Исследовать ряд на сходимость.

a)



6.2. Степенные ряды. Определить область сходимости степенного ряда.





Задание 7.Функции нескольких переменных.
Исследовать функцию двух переменных на экстремум:
4.z=x^2/(y-2)
Задание 8. Решение дифференциальных уравнений.
8.1. Найти общее и частное решение дифференциального уравнения:
y^'tgx+2y=2, y(π/4)=2.
8.2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям y(0)=1;y^'(0)=-1:

;

Задание 1. Пределы функций
Задание 2. Исследование функций
Задание 3 Неопределенный интеграл
Задание 4. Определенный интеграл
Задание 5. Несобственный интеграл
Задание 6. Ряды
Задание 7.Функции нескольких переменных.
Задание 8. Решение дифференциальных уравнений.

5) Для построения графика функции в системе координат хОу изобразим точку минимума А (-0,5; -0,25 ), и точку пересечения графика с осью Оу B ( 0; 0). С учётом результатов исследования построим кривую ( см. рис.1 ).рис.1. Задание 3 Неопределенный интеграл3.Вычислить неопределённые интегралы, используя методы интегрирования:а)-непосредственное интегрирование;б)-замены переменной;в)-интегрирования по частям.а) , б) , в) .Решение:a)=== - cosx+Cб) = = - 13 = - 13=- 13+Cв) .Для вычисления интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям=(4-x)- =(4-x)- ==(4-x)+19+С Задание 4. Определенный интеграл.4.1.Вычислить определенный интеграл: а) Решение:=·‌‌‌- 1 3=·‌‌‌- 1 3==·‌‌‌- 1 3‌1 =13·e3 - e9+19=194.2.Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертёж.Сделаем чертёж фигуры:рис.2Решение:Ответ: ln2.Задание 5. Несобственный интегралВычислить интеграл или установить его расходимость:4.a)0+∞dxx2-4x+8; б)-22dxx+2Решение:4.a)0+∞dxx2-4x+8=limx→∞dxx2-4x+8=limx→∞d(x-2)(x-2)2+22=limx→∞12arctgx-22=12·π2=π4.б)-22dxx+2=limx→-2+dxx+2=limx→-2+dxx+2=limx→-2+(x+2)-12 dx=2·limx→-2+(x+2)122-2=4.Задание 6. Ряды6.1.Числовые ряды. Исследовать ряд на сходимость.a)Решение:Это положительный числовой ряд, можно применить один из пяти достаточных признаков сходимости.Проверяем сходимость ряда по признаку Даламбера. Т.к. общий член ряда , то, заменяя в выражении n – го члена n на n+1, находим. Затем ищем предел отношения последующего члена к предыдущему при .Итак,, следовательно, ряд сходится.6.2. Степенные ряды. Определить область сходимости степенного ряда.Решение:Это степенной ряд в точке х=-5, где Радиус сходимости находим по формуле .Интервал сходимости данного ряда определяется неравенством или .Исследуем концы интервала сходимости. При получаем числовой рядПри получаем числовой ряд.=1 Этот ряд тоже сходится. Ответ: радиус сходимости равен 4; интервал сходимости -9≤x≤-1.Задание 7.Функции нескольких переменных.