Задачи по финансовой математике

Работа написана для Финансового Университета при Правительстве Российской Федерации, г.Уфа, защита была в 2010г., на оценку "отлично". ...

Задание 1.
В каждом варианте приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).
Требуется:
1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α1=0,3; α2=0,6; α3=0,3.
2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3) Оценить адекватность построенной Модели на основе исследования:
3.1 случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
3.2 независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1=1,10 и d2=1.37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении г1= 0,32;
3.3 нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3до 4,21.
4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.
Задание 2.

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:
2.1 экспоненциальную скользящую среднюю;
2.2 момент;
2.3 скорость изменения цен;
2.4 индекс относительной силы;
2.5 %К, %К и %D.
Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.
Задание 3.

Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице. В условии задачи значения параметров приведены в виде переменных. Например, S означает некую сумму средств в рублях, Тлет - время в годах, i - ставку в процентах и т.д.
По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выполнить расчеты.

Задание 1. 3
Задание 2. 9
Задание 3. 17

Точки поворота
E(t)2
[E(t)-E(t-1)]2
E(t)*E(t-1)
1
2
7
3
4
5
6
38,00
0,2766
0,7279
*****
0,077
 
 
48,00
-0,5025
1,0468
0,252
0,607
-0,139
57,00
-1,0178
1,7856
1
1,036
0,266
0,511
37,00
0,9327
2,5208
1
0,870
3,804
-0,949
40,00
-0,4433
1,1082
1
0,197
1,893
-0,413
52,00
0,7787
1,4975
0,606
1,493
-0,345
63,00
1,4435
2,2913
1
2,084
0,442
1,124
38,00
-1,5878
4,1784
1
2,521
9,189
-2,292
44,00
1,2366
2,8104
1
1,529
7,977
-1,963
56,00
0,5173
0,8237
0,268
0,517
0,640
67,00
0,1658
0,2475
0,027
0,124
0,086
41,00
-0,5344
1,3035
1
0,286
0,490
-0,089
49,00
2,3643
4,8251
1
5,590
8,403
-1,264
60,00
-0,5911
0,9851
1
0,349
8,734
-1,397
72,00
-0,4593
0,6379
1
0,211
0,017
0,271
44,00
-0,6449
1,4657
*****
0,416
0,034
0,296
1,934
28,3554
10
16,319
43,991
-5,923
Суммарное значение относительных погрешностей составляет 28,3554, что дает среднюю величину 28,3554 / 16 = 1,77 %.
Вывод: условие точности выполнено, если относительная погрешность в среднем не превышает 5%. Точность построенной модели свидетельствует о хороших прогностических свойствах модели, следовательно, условие точности выполнено, т.к. 1,77% < 5%.
1.3. Оценка адекватности построенной модели на основе исследований.
1.3.1. По критерию пиков.
Для того чтобы модель была адекватна ряда остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения. Для проверки выполнения этих условий воспользуемся таблицей 1.4.
Проверка случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критериев поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда E(t) сравнивая с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в строке ставится 1. в противном случае – 0. (таблица 1.4., гр. 4).
Общее число поворотных точек p = 10.
Рассчитаем значение q:
, где функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть при N=16.
, т.к. количество поворотных точек p больше q (10 > 6), то условие случайностей ряда выполнено.
1.3.2. По d-критерию Дарбина-Уотсона.
Вывод: полученное значение больше 2, значит имеет место отрицательная автокорреляция. В этом случае уточняем величину d, вычитая полученное значение из 4.
4 – 2,69 = 1,31
Полученное значение 1,31 сравним с табличными критериями d1 = 1,1 и d2 = 1,37:
1,1 < d = 1,31 < 1,37, значит уровни ряда E (t) остатков являются независимыми.
3.3. По первому коэффициенту автокорреляции.
Вывод: модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции больше критического (табличного) значения r1= 0,36 > rt = 0,32, следовательно, нельзя считать уровни ряда остатков независимыми.
1.3.4. Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению по RS-критерию.
R/S = (Emax – Emin) / S, где
Emax – максимальное значение уровней ряда остатков E(t);
Emin – минимальное значение уровней ряда остатков E(t);
S – среднее квадратическое отклонение.
Emax = 2,36,
Emin = - 1,59
,
R/S = (2,36 – ( - 1,59)) / 1,043 = 3,787.
Вывод: полученное значение R/S: 3,0 < 3,787 < 4,21; попадает в заданный интервал, значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.
Все условия адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве построенной модели и возможности построения прогноза показателя Yp(t) на 4 квартала вперед.
1.4. Точечный прогноз на 4 шага вперед.
Для того, чтобы составить прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20), нужно рассчитать значения a(16) и b(16), затем можно определить прогнозные значения экономического показателя Yp(t).
Для t=17 имеем:
Аналогично находим Yp(18), Yp(19), Yp(20):
;
1.5. Отразим на графике фактические, расчетные и прогнозные данные (рисунок 1.)
Рисунок 1. Сопоставление расчетных и фактических данных.
Задание 2.
Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:
2.1 экспоненциальную скользящую среднюю;
2.2 момент;
2.3 скорость изменения цен;
2.4 индекс относительной силы;
2.5 %К, %К и %D.
Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.
Таблица 2.1.
Вариант 7
Дни
Цены
макс.
мин.
закр.
1
663
605
610
2
614
577
614
3
639
580
625
4
625
572
574
5
600
553
563
6
595
563
590
7
608
590
598
8
610
573
580
9
595
575
595
10
600
580
580
Решение:
2.1. Экспоненциальная скользящая средняя (ЕМА). При расчете ЕМА учитываются все цены предшествующего периода, а не только того отрезка, который соответствует интервалу сглаживания. Однако последним значениям цены придается большее значение, чем предшествующим. Расчеты проводятся по формуле:
,
где k=2/(n+1), n – интервал сглаживания;
Ct – цена закрытия t-го дня;
ЕМАt – значения ЕМА текущего дня t.
Составим таблицу 2.2. рассчитанных значений ЕМА:
EMA5 =
EMA6 =
EMA7 =
EMA8 =
EMA9 =
EMA10 =
Таблица 2.2.
t
Цена закрытия,
Ct
EMAt
1
610
-
2
614
-
3
625
-
4
574
-
5
563
597,22
6
590
596,8
7
598
597,2
8
580
591.52
9
595
592.67
10
580
588.48
Построим график ЕМАt.
Рис. 2. График EMAt
2.2. Момент (МОМ). Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня Ct и цены n дней тому назад Ct-n.
,
где Ct – цена закрытия t-го дня;
МОМt – значения МОМ текущего дня t.
Составим таблицу 2.3. рассчитанных значений МОМ:
Таблица 2.3.
t
Цена закрытия,
Ct
МОМt
1
610
-
2
614
-
3
625
-
4
574
-
5
563
-47
6
590
-24
7
598
-27
8
580
6
9
595
32
10
580
-10
MOM5 = 563-610 = -47
MOM6 = 590-614 = -24
MOM7 = 598-625 = -27
MOM8 = 580-574 = 6
MOM9 = 595-563 = 32
MOM10 = 580-590 = -10
Построим график МОМt.
Рис. 3. График МОМt
Положительные значения МОМ свидетельствуют об относительном росте цен, отрицательные – о снижении. Движение графика момента вверх из зоны отрицательных значений является слабым сигналом покупки до пересечения с нулевой линией. График момента пересекает нулевую линию в районе 7,8 и 9-го дня, а затем снова снижается.
2.3. Скорость изменения цен. Похожий индикатор, показывающий скорость изменения цен (ROC), рассчитывается как отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах.
,
где Ct – цена закрытия t-го дня;
RОCt – значения RОC текущего дня t.
Составим таблицу рассчитанных значений RОC:
Таблица 2.4.
t
Цена закрытия,
Ct
RОCt,
%
1
610
-
2
614
-
3
625
-
4
574
-
5
563
92,3
6
590
96,1
7
598
95,7
8
580
101,05
9
595
105,7
10
580
98,31
ROC=C6/C1*100%
ROC(5)= 563 / 610·100 = 92.3
ROC(6)= 590 / 614·100 = 96.1
ROC(7)= 598 / 625·100 = 95.7
ROC(8)= 580 / 574·100 = 101.05
ROC(9)= 595 / 563·100 = 105.7
ROC(10)= 580 / 590·100 = 98.31
Построим график RОCt.
Рис. 4. График RОCt
ROC является отражением скорости изменения цены, а также указывает направление этого изменения. Графическое отображение и правила работы ничем не отличаются от момента. В качестве нулевой линии используется уровень 100%. Этот индикатор также показал сигнал к покупке в районе 7,8 и 9-го дня.
2.4. Индекс относительной силы (RSI). Наиболее значимым осциллятором, расчет которого предусмотрен во всех компьютерных программах технического анализа, является индекс относительной силы.
Для расчета применяют формулу:
,
где AU – сумма приростов конечных цен за n последних дней;
AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней.
Рассчитывается RSI следующим образом (таблица 2.5.).
1. Выбираем интервал n (в нашем случае n=5).
2. Начиная со 2-го дня до конца таблицы, выполняем следующую процедуру. Вычитаем из конечной цены текущего дня конечную цену предыдущего дня. Если разность больше нуля, то ее записываем в графу «Повышение цены». Иначе абсолютное значение разности записываем в графу «Понижение цены».
3. С 6-го дня и до конца таблицы заполняем графы «Суммы повышений» и «Суммы понижений». Для этого складывают значения из графы «Повышение цены» за последние 5 дней (включая текущий) и полученную сумму записываем в графу «Суммы повышений» (величина AU в формуле). Аналогично находят сумму убыли конечных цен по данным графы «Понижение цены» и записываем в графу «Суммы понижений» (величина AD в формуле).
4. Зная AU и AD, по формуле рассчитываем значение RSI и записываем в графу RSI.
Таблица 2.5.
t
Цена закрытия,
Ct
Повышение цены
Понижение цены
Сумма повышений
Сумма понижений
RSI
1
610
2
614
4
3
625
11
4
574
51
5
563
11
6
590
27
42
62
40,38
7
598
8
46
62
42,59
8
580
18
35
80
30,43
9
595
15
50
29
63,29
10
580
15
50
33
60,24
Построим график RSI.
Рис. 5. График RSI
Зоны перепроданности располагаются обычно ниже 25-20, а перекупленности – выше 75-80%. Как видно из рисунка, индекс относительной силы вышел из зоны, ограниченной линией 30, на 7-8 день (сигнал к покупке).
2.5. Стохастические линии. Если МОМ, ROC и RSI используют только цены закрытия, то стохастические линии строятся с использованием более полной информации. При их расчете используются также максимальные и минимальные цены. Как правило, применяются следующие стохастические линии: %R, %К и %D.
,
где %Кt – значение индекса текущего дня t;
Ct – цена закрытия t-го дня;
L5 и H5 – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий (в качестве интервала может быть выбрано и другое число дней).
Похожая формула используется для расчета %R:
,
где %Rt – значение индекса текущего дня t;
Ct – цена закрытия t-го дня;
L5 и H5 – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий.
Индекс %D рассчитывается аналогично индексу %К, с той лишь разницей, что при его построении величины (Ct - L5) и (H5 - L5) сглаживают, беря их трехдневную сумму.
Ввиду того что %D имеет большой статистический разброс, строят еще ее трехдневную скользящую среднюю – медленное %D.
Составим таблицу 2.6. для нахождения всех стохастических линий.
1. В графах 1-4 приведены дни по порядку и соответствующие им цены (максимальная, минимальная и конечная).
2. Начиная с 5-го дня в графах 5 и 6 записываем максимальную и минимальную цены за предшествующие 5 дней, включая текущий.
3. В графе 7 записываем (Ct - L5) – разность между данными графы 4 и графы 6.
4. Графу 8 составляют значения разности между данными графы 5 и графы 4, т.е. результат разности (H5 - Ct).
5. Размах цен за 5 дней (H5 - L5) – разность между данными графы 5 и графы 6 записываем в графу 9.
6. Рассчитанные по формуле значения %K заносим в графу 10.
7. В графу 11 заносим значения %R, рассчитанные по формуле.
8. Шаги 2-7 повторяем для 6-й, 7-й строки и т.д. до конца таблицы.
9. Для расчета %D, начиная с 7-й строки, складываем значения Ct - L5 из графы 7 за 3 предыдущих дня, включая текущий (t=5, 6 и 7), и записываем в графе 12. Аналогично значения размаха (H5 - L5) из графы 9 складываем за 3 предшествующих дня и заносим в графу 13.
10. По формуле, используя данные граф 12 и 13, рассчитываем %D и записываем в графу 14.
11. Шаги 9 и 10 повторяем для 8-й, 9-й и 10-й строк.
12. Медленное %D находим как скользящую среднюю от %D (данные берем из графы 14) с интервалом сглаживания, равным трем. Результат записываем в графу 15.
Таблица 2.6.
t
макс.
мин.
закр.
мак. за 5 дн.
мин. за 5 дн.
Ct - L5
H5 - Ct
H5 - L5
%Кt
%Rt
сумма за 3 дн. Ct - L5
сумма за 3 дн. H5 – L5
%Dt
Нt
Lt
Ct
Н5
L5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
663
605
610