Теория вероятности и статистика

Корреляция – это один из основных терминов теории вероятности, показывающий меру зависимости между двумя и более случайными величинами. Данная зависимость выражается через коэффициент корреляции. Коэффициент корреляции принимает значения от -1 до 1. Чем выше значение коэффициента корреляции, тем больше зависимость между величинами. Корреляция бывает положительной и отрицательно
Коэффициент корреляции - это мера выражения тенденции роста одной переменной при увеличении другой. Его значения всегда находятся внутри диапазона -1; 1. Чем ближе значение переменной к -1 или 1, тем значительнее коррелируют между собой исследуемые величины. При К=0 можно говорить о полном отсутствии корреляции между наблюдаемыми величинами. Если К=-1 или К=1, то говорят уже о функциональной зависимости величин.

...

1 Теория вероятности 4
1.1 Различные виды вероятности случайного события 4
1.1.1 Классическое определение вероятности 4
1.1.2 Статистическая вероятность 5
1.1.3 Геометрическая вероятность 6
1.2 Теорема сложения вероятностей для несовместных и совместимых событий 8
1.2.1 Условная вероятность 8
1.2.2 Теорема умножения вероятностей 8
1.2.3 Теорема сложения вероятностей 10
1.3 Теорема полной вероятности 11
1.4 Случайная величина. Дискретная случайная величина 14
1.4.1 Понятие случайной величины. Дискретная случайная величина 14
1.4.2 Закон распределения дискретной случайной величины 15
1.4.3 Функция распределения – свойства и график. Ступенчатая функция 17
1.5 Математическое ожидание дискретной случайной величины. Его свойства 19
1.5.1 Понятие математического ожидания ДСВ 19
1.5.2 Свойства математического ожидания ДСВ 20
2 Статистика 22
2.1 Генеральная совокупность 22
2.1.1 Выборка 22
2.1.2 Типы выборок 23
2.2 Вариационный ряд 25
2.2.1 Типы вариационных рядов 25
2.2.2 Геометрическое представление 28
2.3 Эмпирическая функция распределения 28
2.3.1 Построение функции, ее график 28
2.3.2 Определение эмпирического среднего 29
2.3.3 Определение эмпирической дисперсии 29
2.3.4 Определение коэффициента корреляции 30
Список литературы 31
 

1 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ
1.1 Различные виды вероятности случайного события
1.1.1 Классическое определение вероятности
Вероятность события – это основное понятие теории вероятностей. Вообще вероятность события есть объективная мера возможности осуществления данного события.
Математическое определение вероятности (оно же классическое). Каждому событию А ставится в соответствие некоторая мера Р(А), которая называется вероятностью этого события и которая удовлетворяет следующим аксиомам:
• для любого события ;
• вероятность невозможного события равна нулю, P(V) = 0;
• вероятность достоверного события равна единице, P(U) = 1;
• если АВ = V, то Р(А В) = Р(А) Р(В), т.е. если события А и В являются несовместными, то вероятность суммы событий равна сумме вероятностей событий.
Все рассматриваемые н ами в дальнейшем определения представляют собой, по сути, следствия математического определения вероятностей.
Классическое определение. Вероятностью Р(А) события А называют отношение числа исходов опыта NA, приводящих к осуществлению события А, к общему числу исходов опыта N в предположении, что все исходы опыта являются равновозможными:
(1)
Под исходами опыта здесь понимаются элементарные события, так что в терминах теории множеств NA = Card(A), N = Card(W). Предположение о равной возможности исходов опыта вносит долю субъективизма в это определение, что и является его недостатком.
Пример 1. Бросается игральная кость. Какова вероятность того, что число выпавших очков будет не менее 5 (событие А)?
Игральная кость имеет 6 граней. Следовательно, общее число исходов опыта равно N = 6. К осуществлению события А приводят только 2 исхода, когда выпадает или 5 или 6 очков, т.е. NA = 2. Таким образом, искомая вероятность равна Р(А) = 2/6 = 1/3.

Сумма событий A1 + А2 + ... + Аn есть событие, состоящее в том, что произойдёт хотя бы одно из суммируемых событий.Противоположным по отношению к нему является событие Это значит, что + A1 + А2 + ... + Аn = U. События А1 + A2+ ... + Ап и являются несовместными, a P(U) = 1. Поэтому MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT (13)Пример SEQ Формула \* ARABIC 5. Два стрелка одновременно, независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, а для второго стрелка – 0,8. Какова вероятность того, что мишень будет поражена (событие С)?Мишень поражена, если будет хотя бы одно попадание. Эго значит, что С = А + В. По условию задачи события A и В статистически независимы.Следовательно, Р(С) = Р(А + В) = Р(A) + Р(В) – Р(AВ);P(C) = Р(А) + Р(В) – Р(А)Р(В) = 0,6 + 0,8-0,6•0,8 = 0,92.С другой стороны, вероятности противоположных по отношению к A и В событий соответственно равны 0,4 и 0,2. По формуле GOTOBUTTON ZEqnNum351249 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum351249 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (13) получим:Р(С) = Р(А + В) = 1–0,4•0,2 = 1–0,08 = 0,92.1.3 Теорема полной вероятностиПусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий Н1, Н2,..., Нп, образующих полную группу. События {Нi}ni=1 назовем гипотезами. Пусть известны вероятности гипотез P(Hi) и условные вероятности Р(А/Нi) .Чему равна вероятность Р(А)?Теорема. Вероятность события А, которое может наступить вместе с одной из гипотез Н1, Н2,..., Нn равна сумме произведений вероятности каждой из гипотез на соответствующую ей условную вероятность события А: MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT (14)Формулу GOTOBUTTON ZEqnNum373138 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum373138 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (14) называют формулой полной вероятности.Доказательство.Так как Н1 + Н2 + ... + Hn = W, HiHj= при , то событие А можно представить в виде следующей суммы попарно несовместных событий:А = AW = А(Н1+Н2 +...+ Нп) = АН1 + АН2 +... + АНп.Далее получим:Р(А) = Р(АН1) + Р(АН2) +... + Р(АНп) == Р(Н1)•Р(А/Н1) + Р(Н2)• Р(А/Н2) + ...+ Р(Нn)•Р(А/Нп).Пусть в результате испытания событие А наступило. Поставим задачу: определить, как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез, то есть будем искать условные вероятностиПо теореме умножения имеем:Заменив Р(А) по формуле GOTOBUTTON ZEqnNum373138 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum373138 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (14), окончательно получим: MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT (15)Формулу GOTOBUTTON ZEqnNum850704 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum850704 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (15) называют формулой Байеса.Формулы Байеса позволяют по априорным (известным до испытания) вероятностям Р(Нi) найти апостериорные (вычисленные после испытания) вероятности P(Hi/A), если известен результат испытания (событие А наступило).Пример SEQ Формула \* ARABIC 6. В пирамиде 5 винтовок, две из них снабжены оптическим прицелом. Вероятность поразить мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0,9, а для винтовки без оптического прицела - 0,7.Требуется:1) Найти вероятность поражения мишени, если стрелок произвел один выстрел из наудачу взятой винтовки.2) Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: мишень поражена из винтовки с оптическим прицелом или без него?Решение.Введем гипотезы:Н1 – винтовка с оптическим прицелом;Н2 – винтовка без оптического прицела;А – цель поражена при одном выстреле.Р(Н1)=2/5; Р(Н2) = 3/5; Р(А/Н1) = 0,9; Р(А/Н2) = 0,7.По формуле полной вероятности найдем:Р(А) = Р(Н1)Р(А/Н1) + Р(Н2)Р(А/Н2) = 2/5•0,9 +3/5•0,7 = 0,78.По формуле Байеса найдем вероятности гипотез после испытания:Так как Р(Н2/А) > Р(Н1/А), то более вероятно, что цель поражена из винтовки без оптического прицела.Знание основных теорем и формул теории вероятностей позволяет по известным вероятностям элементарных событий находить вероятности сложных событий, что имеет важное практическое значение.1.4 Случайная величина. Дискретная случайная величина1.4.1 Понятие случайной величины. Дискретная случайная величинаСлучайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.Пример SEQ Формула \* ARABIC 7. Число появлений герба при трех бросаниях монеты.Пример SEQ Формула \* ARABIC 8. Дальность полета артиллерийского снаряда в общем случае зависит от температуры воздуха, атмосферного давления, скорости и направления ветра и т.д.Будем далее обозначать случайные величины большими буквамиX, У, Z, а их возможные значения – соответствующими малыми буквамих, у, z.Например, если случайная величина X – число попаданий при трех выстрелах, то ее возможные значения х1 = 0, х2 = 1, х3 = 2, х4 = 3.Рассматривая примеры, приведенные выше, заметим, что в нервом из них случайная величина X могла принять одно из следующих возможных значений: 0, 1,2, 3. Эти значения отделены одно от другого промежугками, в которых нет возможных значений X.Таким образом, в этом примере случайная величина принимает отдельные, изолированные возможные значения. В примере ( REF _Ref378104440 \h Пример 8) случайная величина могла принять любое из значений промежутка (а; b). Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значений случайной величины.Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.1.4.2 Закон распределения дискретной случайной величиныРассмотрим дискретную случайную величину X с возможными значениями х1, х2, х3, хп. В результате опыта величина X примет одно из этих значений, т.е. произойдет одно из полной группы несовместных событий:Обозначим вероятности этих событий Р(Х=х1) = р1, Р(Х=х2) = р2, Р(Х=х3) = р3,.., Р(Х=хп) = рп.Так как несовместные события образуют полную группу, то т.е. сумма вероятностей всех возможных значений равна единице. Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями.Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если будет задано это распределение, т.е. в точности будет указано, какой вероятностью обладает каждое из событий х1, х2, х3,..., хп. Этим устанавливается т.н. закон распределения случайной величины.Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая – их вероятности:Если множество возможных значений X бесконечно (счетно), то ряд сходится и его сумма равна единице.Пример SEQ Формула \* ARABIC 9. Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. За каждое попадание стрелку засчитывается 5 очков. Найти закон распределения случайной величины X - числа выбитых очков.Решение. Напишем возможные значения X:х1 =0, х2 = 5, х3 = 10, х4 = 15.Соответствующие вероятности этих возможных значений найдем по формуле Бернуллир1 = 0,63 = 0,216, р2 = •0,4•0,62 = 0,432,р3 = •0,42•0,6 = 0,288, р4 = 0,43 = 0,064.Напишем искомый закон распределения:0,216+0,432+0,288+0,064=1.Рис. SEQ Рисунок \* ARABIC 1.Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (хi, pi), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения ( REF _Ref378104753 \h Рис. 1).Среди законов распределения для дискретных случайных величин наиболее распространенными являются биномиальное распределение, распределение Пуассона, геометрическое распределение и некоторые другие.1.4.3 Функция распределения – свойства и график. Ступенчатая функцияКак говорилось ранее, дискретная случайная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Такой способ задания не является общим: он неприменим, например, для непрерывных случайных величин.Действительно, рассмотрим случайную величину X, возможные значения которой сплошь заполняют интервал (а;b). Можно ли составить перечень всех возможных значений X? Очевидно, что этого сделать нельзя.Этот пример указывает на целесообразность дать общий способ задания любых типов случайных величин. С этой целью и вводят функции распределения вероятностей случайной величины.Пусть х – действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что X примет значение, меньшее х, т. е. вероятность события X < х, обозначим через F(x). Разумеется, если х изменяется, то, вообще говоря, изменяется и F(x), т. е. F(x) – функция от х.Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее х, т. е.F(x) = Р(Х < х).С геометрической точки зрения это равенство можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки x.Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция».С учетом вышесказанного, можно дать более точное определение непрерывной случайной величины: случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.Перечислим основные свойства функции распределения (в силу ограниченности объема работы приведем их без доказательства).Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;1]: 0 < F(x) < 1.Это свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы.Свойство 2. F (х) – неубывающая функция, т. е.F(x2)>F(x1), если х2>х1.Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а;b), то:F(x) = 0, если х < а;F(x) = 1, если х > b.Рис. SEQ Рисунок \* ARABIC 2.Сформулированные свойства позволяют представить, как выглядит график функции распределения непрерывной случайной величины.График расположен в полосе, ограниченной прямыми у = 0, у = 1 (первое свойство).При возрастании х в интервале (а;b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, ордината точек графика возрастает (второе свойство).При х < а ординаты графика равны нулю; при х > b ординаты графика равны единице (третье свойство).График функции распределения непрерывной случайной величины изображен на REF _Ref378106000 \h Рис. 2.Функция распределения дискретной случайной величины всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции F(x) равна единице.1.5 Математическое ожидание дискретной случайной величины. Его свойства1.5.1 Понятие математического ожидания ДСВМатематическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.Пусть случайная величина X может принимать только значениях1, х2, х3,..., хп вероятности которых соответственно равны р1, р2, р3,..., рп. Тогда математическое ожидание М(Х) случайной величины X определяется равенством:Если дискретная случайная величина X принимает счетное множество возможных значений, топричем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.Замечание. Из определения следует, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.Пример SEQ Формула \* ARABIC 10.