Поле двоичной арифметики.

Двоичная система счисления в которой используются цифры: 0 и 1 оказалась удобной для построения ЭВМ, в силу видимой простоты создания устройства с двумя типами состояний и их различения.
При этом двоичная арифметика обладает всеми свойствами поля, а значит, позволяет производить операции, аналогичные операциям в десятичной системе, что открывает широкие возможности для использования данной системе в компьютерных вычислениях.

...

Введение 3
Построение двоичной системы счисления 4
Основные арифметические операции в двоичной системе. 5
Поле двоичной арифметики 7
Заключение 10
Литература 11

Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 2.
Эта система является самой простой из всех возможных, так как в ней любое число образуется только из двух цифр 1 и 0. Например : 10, 111, 101.
Благодаря этому, данная система счисления широко применяется в информатике и других областях знаний.

В качестве примера сложим в столбик двоичные числа 1102 и 112.+1102   112______10012Проверим правильность вычислений сложением в десятичной системе счисления. Переведем двоичные числа в десятичную систему счисления и затем их сложим.1102 = 1 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20 = 610112 = 1 * 21 + 1 * 20 = 310610 + 310 = 910Теперь переведем результат двоичного сложения в десятичное число.10012 = 1 * 23 + 0 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 = 910Вычитание.Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В его основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой.Таблица 20 - 0 = 00 - 1 = -11 - 0 = 11 - 1 = 0.Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей вычитания с учетом возможных заемов в старших разрядах. В качестве примера произведем вычитание двоичных чисел 1102 и 112.-1102   112_____   112Умножение.В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел:Таблица 3.0 * 0 = 00 * 1 = 01 * 0 = 01 * 1 = 1.Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышепривеленной таблицей умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя. В качестве примера произведем умножение двоичных чисел 11102 и 1012.(1410 * 510 = 7010 или 11102 * 1012 = 10001102):Деление.Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. В качестве примера произведем деление двоичного числа 1102 и 112 Докажем, что двоичная арифметика является полем.По определению:  поле — алгебра над множеством , образующая коммутативную группу по сложению  над  с нейтральным элементом  и коммутативную группу по умножению над ненулевыми элементами , при выполняющемся свойстве дистрибутивности умножения относительно сложения. Коммутативность двоичной арифметики по сложению следует из определения операции сложения в таблице 1.