Математическая модель катастрофы «сборка»

Математика наука строгая, поскольку ее методы и вычисления всегда подчинены строгим законам и правилам. Все математические выводы, предположения и гипотезы рано или поздно находят свое подтверждение. Удастся ли доказать неизбежность некоторых катастроф, например болезней или смерти - этот вопрос интересует ученое научное сообщество давно. Естественно, математическая модель теории катастроф не в состоянии дать ответы на такого рода вопросы. Но, на мой взгляд заслуга математической модели, на которой построена теория катастроф в ее способности к обсуждению развития и целесообразности идей метафизического плана.
Математическая теория катастроф, в частности модель «сборка», может лишь дать прогноз в сфере экономического прогресса или регресса общества, поэтому данные исследования носят скорее ...

Введение 3
Математическая модель катастрофы «сборка» 4
Заключение 11
Список источников 12

В конце шестидесятых начале семидесятых годов прошлого столетия Рене Том и Кристофер Зиман обозначили новое направление рассуждений по поводу дальнейшего развития общества. Данная теория была ими названа «теорией катастроф». В предложенной ими системе координат движения общества это математическая модель, «катастрофа» - резкое качественное изменение объекта при плавном количественном изменении параметров.
Самой главной задачей теории катастроф наблюдение за формой исследуемого объекта и ее изменением, причем необходимо понимать, что данный объект рассматривается в окрестностях «точки катастрофы», на этой основе выстраивается классификация объектов, а далее делается прогноз разных направлений и векторов развития ситуации. Другими словами моделируется ситуация возможного развития после опред еленной «катастрофы». Даже если нельзя чего-то исправить, то необходимо и возможно смягчить последствия любой «катастрофы», либо быть готовым к ее проявлениям. Выводы были сделаны и сформулированы Р. Томом и К. Зиманом на основе математических исследований и открытий.
Для обсуждения научным сообществом Р. Томом было предложено семь элементарных катастроф. Теория катастроф классифицирована по двум заданным параметрам. В первом случае берется потенциальная функция с одной активной переменной и катастрофы классифицируются по четырем типам: «складка», «сборка», «ласточкин хвост», «бабочка». В другом случае рассматриваются потенциальные функции с двумя активными переменными, классификация катастроф соответственно следующая: гиперболическая, эллиптическая и параболическая омбилики. Таким образом, катастроф семь. В нашем исследовании нас интересует математическая модель катастроф «сборка», ее значение и использование в социологии в целом. Задача выявить важность знания закона развития данной катастрофы для социологии, оценить все плюсы и минусы ситуации.

В. И. Арнольд предлагает более расширенную классификацию катастроф, использующую глубокие связи с теорией групп Ли: A0 — несингулярная точка; A1 — локальный экстремум: устойчивый минимум или неустойчивый максимум; A2 — складка; A3 — сборка; A4 — ласточкин хвост; A5 — бабочка; Ak — бесконечная последовательность форм от одной переменной; D4+ — кошелёк = гиперболическая омбилика; D4- — пирамида = эллиптическая омбилика; D5 — параболическая омбилика; Dk — бесконечная последовательность других омбилик; E6 — символическая омбилика; E7; E8.Применение математической теории катастроф возможно в разных областях науки. Теория катастроф как часть математического анализа позволила увидеть широкие возможности для наглядного анализа многих сложных явлений, которые встречаются при описании самых разных естественных явлений. Радуга, устойчивость сложных систем, каустика, разрушение и колебания в строительной механике, поведение в этологии, и даже бунты в тюрьмах, все это явления наглядно доказывают выводы теории катастроф и тем самым подтверждают ее право на существование и дальнейшее развитие, практическое применение.Например, исследователи в области системной экологии Дулепов В.И., Лескова О.А., Майоров И.С. хотя и подчеркивают сложность применения моделей, основанных на теории катастроф, которые привлекают стройностью своей теории и наглядностью изображения, но тем не менее, не сомневаются, что в ближайшем будущем эти модели получат дальнейшее развитие и применение при оценке параметров многообразий по экологическим данным.Были также в 20 веке сделаны попытки применять теорию катастроф к всевозможным разнообразным объектам, таких как исследования биений сердца, физической и геометрической оптики, эмбрионов, лингвистики, экспериментальной психологии, экономики (кризисы!), гидродинамики, геологии и теории элементарных частиц. Исследовалась с помощью доказательств теории катастроф устойчивость кораблей, проводилось моделирование деятельности мозга и психических расстройств, в социальной сфере анализировались восстания заключенных в тюрьмах, поведение биржевых игроков, влияние алкоголя на водителей и прочее.В математике расклассифицированы различные виды катастроф. Самая простая из них – «складка». Потом - «сборка», затем идут уже более сложные катастрофы, «бабочка» и так далее. Всего их 20. И каждая из них обладает своими особенностями. Общее же свойство всех катастроф – резкое «падение» (неожиданное и резкое изменение ситуации), казалось бы, непредвиденное.В 1955 году американский математик Хасслер Уитни публикует свою работу «Об отображениях плоскости на плоскость». В ней он доказывает особенности отображения гладких тел на плоскости. Он доказывает, что сборка имеет в отличие от складки устойчивый характер. Поскольку гладкие отображения встречаются везде, следовательно, повсеместно встречаются и их особенности. Арнольд в своей работе «Теория катастроф» ярко описывает пример с ученым: гений – маньяк. Оси координат имеют наименование: техника, увлеченность, достижения. Дает заключения творческой личности, указывает математическую закономерность этих составляющих. Арнольд исследует процесс изменения достижений ученого в зависимости от его техники и увлеченности.Развороты «зонтика» показывают траекторию дальнейшего развития ситуаций: Уитни первый начал систематическое исследование возможностей классификации особенностей не только (и не столько) функций, а произвольных отображений евклидовых пространств. При изучении отображений плоскости в плоскость он и открыл сборку. Основные разработанные до сих пор модели применения теории катастроф относятся как раз к сборке Уитни, в том числе и все модели, описываемые ниже. В качестве внутренней переменной возьмем субъективную оценку скорости. Истинная скорость автомобиля пусть будет первым внешним параметром, который назовем нормальным, так как его увеличение ведет, вообще говоря, к увеличению внутренней переменной (если нет перескоков). За второй параметр возьмем степень интровертированности, назовем его расщепляющим, так как при его увеличении одномодальное распределение заменяется бимодальным. Нас, кстати, сейчас интересуют максимумы, а не минимумы, так что мы должны перевернуть сборку вверх ногами. Рассмотрим сечение сборки при фиксированном значении, достаточно большом, чтобы распределение стало заметно бимодальным. Будем считать, что при малых скоростях, как и при очень больших, субъективная оценка достаточно точна, но при средней скорости, близкой к обычной, водитель вообще не сможет добиться субъективного ощущения, отвечающего ей. Он будет получать то внезапное ощущение слишком большой скорости, то, пытаясь исправиться, внезапно получит ощущение слишком медленной езды. Более привычный к алкоголю водитель будет ехать на грани этого неприятного ощущения перескока, т. е. вблизи одной из сторон полукубической параболы, что и объясняет тот факт, что в 5%-ной окрестности, подобранной по методу наименьших квадратов полукубической параболы, лежит половина всех точек. Следует заметить, что этот эксперимент был проведен независимо от анализа его с точки зрения теории катастроф. В частности, нельзя ожидать, что параметр k имеет одно и то же значение для всех людей (хотя можно ожидать, что он как-то характеризует отдельного человека). Это замечание показывает, что, хотя теория катастроф имеет своей целью главным образом качественное описание, она может дать и количественные оценки. Следует отметить, что сборка Уитни, по-видимому, достаточно часто присутствует в психологических явлениях. Для катастрофы «сборка» обычно дается такой важный комментарий. Для наглядности приводится пример с горнолыжником. Пологий склон - спуск ничего не подозревающего лыжника, который, набирает скорость и не подозревает о нависшем козырьке снега над пропастью (он о нем не знает). Когда же он его уже видит - поздно, наступает «хаос», паника, он падает в пропасть.