Методы исследования симметрии в дифференциальных уравнениях (классический и неклассический)

Групповой анализ дифференциальных уравнений в последние годы находит широкое применение при построении решений уравнений в частных производных. Оказалось, что инварианты соответствующих групп преобразований для уравнений такого вида позволяют существенно упростить процедуру получения аналитического решения. Это, по-видимому, один из самых важных практических результатов теории симметрии дифференциальных уравнений.
После открытия солитонов в 60-х годах нашего столетия резко усилился интерес к применению теории симметрии при решении нелинейных уравнений в частных производных, и идеи Софуса Ли в работах ряда ученых были обобщены. Эти работы расширили наше понимание симметрии дифференциальных уравнений и привели к понятию «высшей» симметрии. В последнее время этот раздел нелинейной математичес ...

Введение 3
1 Симметрические многочлены 4
1.1 Понятие симметрических многочленов 4
1.2 Применение симметрических многочленов для решения уравнений и систем 5
2 Групповые преобразования 8
2.1 Понятие об абстрактной группе 8
2.2 Однопараметрическая группа преобразований 9
2.3 Инварианты преобразований 11
3 Схема группового анализа дифференциальных уравнений 15
Заключение 19
Список литературы 20
 

Каждому человеку, основываясь на собственном житейском опыте, свойственно определенное, хоть какое-либо представление о симметрии, по причине того, что она является одним из наиболее распространенных в природе явлений, а так же проявляется в искусстве и науке.
Тем не менее, как правило, под симметрией понимают либо зеркальную симметрию – случай, когда одна половина предмета зеркально симметрична другой, либо центральную – случай, подобный букве И. Симметрия такого рода подразумевает наличие преобразования (поворота), посредством которого предмет переводится сам в себя.
В некоторых случаев симметрия оказывается вполне очевидным фактом. К примеру, любому школьнику в процессе рассмотрения равностороннего треугольника, может прийти мысль, почему эта фигура симметрична, и для подтверждения свое й мысли некоторые даже смогут предложить ряд преобразований, в результате которых треугольник не изменит своего вида.
В действительности понятие симметрии гораздо шире, и под ней понимается неизменность при какой-либо операции не только предметов, но и физических явлений, математических формул, уравнений и т. д.
Дать точное определение симметрии в общем случае не представляется возможным, поскольку она принимает свою конкретную форму в каждой области человеческой деятельности. Например, в искусстве симметрия проявляется в соразмерности и взаимосвязанности отдельных частей, образующих произведение.
В классической механике она выражается в виде принципа относительности. Симметрия сыграла чрезвычайно важную роль при проведении исследований в физике микромира [1]. И не случайно крупнейший физик-теоретик академик Л.Б. Мигдат в книге «Поиски истины» [2] утверждает, что «главными направлениями физики двадцатого века были поиски симметрии и единства картины мира».
В данной работе речь пойдет о симметрии алгебраических и дифференциальных уравнений и о том, как использовать это свойство, чтобы находить решения. 

В каждом двучлене, стоящем в скобках, можно выделить множитель z + 1, посколькуz2m + 1 + 1 = (z + 1)(z2m - z2m - 1 + z2m - 2 + _ + z2 - z + 1). Принимая это соотношение во внимание, получаем изP (z) = (z + 1)R(z), Где R(z) - возвратный многочлен степени 2k. В качестве примера рассмотрим решение уравнения пятой степениx5 - 8x4 + 11x3 + 11x2 - 8x + 1 = 0. Хорошо известно, что в общем случае уравнение пятой степени и выше не может быть решено при помощи корней (радикалов). Это было доказано в 1824 году норвежским математиком Нильсом Абелем. Однако уравнение является возвратным нечетной степени, и поэтому одним из его корней является x = -1. Поделив уравнение на x + 1, получаем возвратное уравнение четвертой степени.x4 - 9x3 + 20x2 - 9x + 1 = 0, Которое сводится к квадратному уравнению относительно ss2 - 9s + 18 = 0. Симметричные многочлены используются также при доказательстве неравенств, при решении иррациональных уравнений, при разложении многочленов на множители и при решении некоторых других задач.Понятие об абстрактной группе. Понятие группы возникло при изучении симметрии, относящейся к корням алгебраических уравнений. Из школьного курса алгебры известно, что квадратное уравнениеx2 + ax + b = 0 Может быть записано в виде(x - x1)(x - x2) = 0, Где x1 и x2 - корни квадратного уравнения, причемx1 + x2 = - a,x1x2 = b. Эти соотношения известны как теорема Виета. Для кубического уравненияx3 + ax2 + bx = c = 0 Аналогичное представление для корней приводит к соотношениямx1 + x2 + x3 = - a,x1x2 + x2x3 + x1x3 = b,x1x2x3 = - c. Любопытно, что корни уравнения в эти соотношения входят симметрично и a, b, c являются элементарными симметрическими многочленами. Такие равенства могут быть написаны для корней алгебраического уравнения произвольного порядка. Именно эти соотношения были использованы Нильсом Абелем, чтобы доказать, что в общем случае решения уравнения пятой степени не могут быть получены через радикалы. После Абеля полную теорию разрешимости уравнений в радикалах создал французский математик Эварист Галуа, которому, в частности, принадлежит определение алгебраической операции. Определение 2. Пусть задано множество G каких-то элементов, тогда если каждым двум элементам из этого множества, взятым в определенном порядке, однозначно ставится в соответствие некоторый элемент из множества G, то говорят, что на множестве G определена алгебраическая операция. Обычно алгебраическая операция, определенная на множестве G, называется умножением или сложением. Определение 3. Множество G с определенной в нем алгебраической операцией является группой, если:1) Для любых трех элементов этого множества (a, b, c k G) выполняется ассоциативный закон:a(bc) = (ab)c;2) Для любого элемента a k G в множестве G существует единичный элемент e такой, что:ae = ea = a;3) Для любого элемента a k G в множестве G существует обратный элемент a-1 k G такой, что:aa-1 = a-1a = e. Рассмотрим совокупность всех целых чисел. Состоящую из положительных, отрицательных и нуля. Покажем, что множество таких чисел образуют группу относительно операции сложения. В самом деле, если за единицу в этом множестве возьмем нуль, то сумма двух целых чисел всегда целое число. Прибавление нуля к любому числу не изменит его, поэтому в данном множестве есть единичный элемент. Кроме того, прибавление к любому числу числа с обратным знаком дает также нуль. Таким образом, все три пункта определения 3 выполнены, и совокупность целых чисел относительно операции сложения, в самом деле, образуют группу.Однопараметрическая группа преобразований. Применение теории групп для анализа дифференциальных уравнений было открыто норвежским математиком Софусом Ли (1842-1899). Ему удалось показать, что большинство методов, используемых при решении дифференциальных уравнений и казавшихся до него искусственными и хитроумными, могут быть получены с помощью теории групп. Пусть задано дифференциальное уравнение первого порядка Где E - некоторая функция от трех переменных x, y и yx . Рассмотрим семейство преобразований на плоскости (x, y) Зависящее от вещественного параметра a. Фактически соотношения отображают точку (x, y) некоторого множества М в точку (x', y') того же множества, но поскольку эти преобразования зависят от параметра, то таких отображений целое семейство. Предположим, что семейство преобразований достаточное число раз дифференцируемо по всем переменным и по параметру а и имеет следующие свойства:1) Существует a0 k D (D - интервал вещественной оси), такое, чтоj(x, y, a0) = x, y(x, y, a0) = y(далее полагаем a0 = 0);2) Последовательное выполнение двух преобразований равносильно применению третьего того же вида. Это свойство может быть записано в видеj(x', y', b) = j(x, y, a + b),y(x', y', b) = y(x, y, a + b);3) Существует - a k D, такое, чтоj(x', y', - a) = j(x, y, a),y(x', y', - a) = y(x, y, a). Теперь можно сформулировать определение однопараметрической группы преобразований. Определение 4. Семейство преобразований, которое можно дифференцировать достаточное число раз по x, y и по параметру а и имеющее свойства 1-3, называется однопараметрической группой преобразований. Легко заметить, что свойства 1-3 - это обычные групповые свойства. Существенно новым моментом этого определения является то, что эти преобразования можно дифференцировать. Условие 2 в определении может выполняться не для всех значений параметра а и b из интервала D, а только при достаточно малых. О таком семействе преобразований говорят как о локальной однопараметрической группе преобразований. Примерами локальных однопараметрических групп преобразований, которые часто используются, являются следующие преобразования на плоскости:1) Преобразование переноса (сдвига) параллельно прямой kx + ly = 0 (k и l - постоянные).2) Преобразование вращения на плоскости (x, y).3) Преобразование дилатации (неоднородного растяжения). Нетрудно проверить, что все эти преобразования образуют однопараметрические группы преобразований.Инварианты преобразований. С помощью однопараметрической группы преобразований можно найти некоторое соотношение между переменными, которое не меняется при действии на него преобразований. Такое соотношение называется инвариантом соответствующей группы преобразований. Если задана также функция F (x, y) от двух переменных, то точка (x, y) может подвергаться преобразованию в соответствии с формулами. Тогда и функция F в общем случае изменится при действии преобразования, причем F (x', y') будет, вообще говоря, зависеть от группового параметра a. Однако для каждой однопараметрической группы преобразований существуют инвариантные функции, которые не меняются при действии преобразований. Инвариант может быть найден путем исключения группового параметра a из соответствующей группы преобразований. В качестве примера рассмотрим, как найти инвариант групп преобразований неоднородного растяжения на плоскости. Возведя первое соотношение семейства преобразований в степень k. И разделив на второе равенство, получим Это соотношение показывает, что функция Является инвариантом группы преобразований неоднородного растяжения. Аналогично можно доказать, что инвариантами групп преобразований и будут соответственно соотношенияI2 = kx' + ly' = kx + lyИI3 = x'2 + y'2 = x2 + y2. Класс функций, который будет инвариантен относительно группы преобразований растяжения, определяется функциями, которые зависят от инварианта I1 , для групп преобразований - соответственно функциями от I2 и I3 . Инвариант группы преобразований может быть получен и более формальным путем. Для этой цели при заданной группе преобразований находятся функции, называемые компонентами касательного векторного поля: В теории Софуса Ли доказано, что необходимым и достаточным условием того, что функция F инвариантна относительно группы преобразований, является выполнение равенстваXF = 0.