Развитие логического мышления на уроках математики при изучении темы: "Диофантовые уравнения"

Заключение
Логическое мышление - это вид развития логических универсальных действий, сущность которого в оперировании понятиями, суждениями, умозаключениями на основе законов логики, их сопоставлении и соотнесении с действиями или же совокупность умственных логически достоверных действий или операций мышления, связанных причинно-следственными закономерностями, позволяющими согласовать наличные знания с целью описания и преобразования объективной действительности.
Таким образом, формировать средствами изучения темы "Диофантовые уравнения"у учащихся в процессе обучения математике возможно только в условиях развивающего обучения, поскольку развивающее обучение предполагает не только умственное развитие, но и возникновение новообразований как в содержательной стороне психики ребенка (предст ...

Оглавление
Введение 3
Глава 1. Теоретическое обоснование возможности формирования логического мышления в процессе обучения математике 5
1.1. Теоретические и практические предпосылки формирования логического мышления у школьников 5
1.2. Дидактические условия формирования логического мышления учащихся в процессе обучения математике 15
Глава 2. Опытно-экспериментальная работа по развитию логического мышления школьников в процессе изучении темы: "Диофантовые уравнения 23
2.1. Особенности развитие логического мышления школьников 23
2.2. Система задач по теме "Диофантовые уравнения" 26
2.3. Результаты исследования 37
Заключение 40
Список литературы 41
Приложения 44

Введение
Психологические основы, сущность, факторы и способы развития логического мышления исследованы в работах П.П. Блонского, Д.Н. Богоявленского, А.В. Брушлинского, Л.И. Божович, Л.М. Веккера, Л.С. Выготского, К.Ф. Лебединской, Н.А. Менчинской, С.Л. Рубинштейна и других.
Педагогические аспекты развития логического мышления в учебном процессе школьников нашли отражение в трудах Ю.К. Бабанского, И.А. Барташниковой, В.П. Беспалько, П.Я. Гальперина, В.В. Давыдова, Е.Н. Кабановой-Меллер, В.Ф. Паламарчук и многих других.
Для развития логического мышления средствами математики необходимо знание определенных понятий и законов логики, т.е. логическая грамотность. О развитии логической компетенции средствами логики и математики писали Н.Я. Виленкин, Ю.М. Колягин, Н.А. Менчинская, Ла врова Н.Н, И.Л.Никольская, Д. Пойа, А.А. Столяр, А.Я. Хинчин и др. Ученые неоднократно подчеркивали важность изучения логики для развития логического мышления. Логической подготовке учащихся в процессе обучения математике посвящены работы В.М. Брадиса, Е.К. Войшвилло, Г.Д. Глейзера, Г.В. Дорофеева, А.Н. Колмогорова, Н.И. Кондакова, П.С. Новикова, Л.Г. Петерсон, Н.Ф. Талызиной, А.И. Фетисова, СЛ. Эдельмана, Е.Н. Юшипициной, Б.В. Яковлева и др. В методической литературе выделяются несколько подходов к решению проблемы логической подготовки учащихся: выделение логики в отдельный предмет, изучаемый в средней школе; включение элементов логики в содержание школьного курса математики в качестве содержательно-методической линии (А.Я. Блох, Г.В. Дорофеев, А.Н. Колмогоров, Л.Г. Петерсон и др.) или факультативного курса (Н.Я. Виленкин, Н.Д. Есипова, И.Л. Никольская и др.).
Цель исследования – изучить особенности развития логического мышления на уроках математики при изучении темы: "Диофантовые уравнения".
Объект исследования – развитие логического мышления школьников.
Предмет исследования – развитие логического мышления школьников в процессе изучении темы: "Диофантовые уравнения
Цель, объект, предмет исследования обусловили задачи исследования:
1. Провести теоретический анализ проблемы исследования;
2. Теоретически обоснование возможности формирования логического мышления в процессе обучения математик;
3. Выделить дидактические условия формирования логического мышления учащихся в процессе обучения математике;
4. Провести опытно-экспериментальную работа по развитию логического мышления школьников в процессе изучении темы: "Диофантовые уравнения
Для решения поставленных задач использовались взаимодополняющие методы исследования: методы теоретического исследования (теоретический анализ психолого-педагогических исследований), диагностический метод (тестирование), констатирующий и формирующий эксперименты.
База исследования: В констатирующем и формирующем эксперименте приняли участие ученики 9 класса средней общеобразовательной школы.

Очевидно, что для их формирования необходимы особые дидактические условия.Следовательно, критерии сформированности логического мышления у учащихся необходимо рассматривать как критерии сформированности всех выделенных компонентов ее структуры: знаний и умений, деятельности и ценностного отношения. Критериями сформированности знаний и умений (логических и математических) будут сформированные у учащихся уровни обученности.Значит, дидактические условия формирования логического мышления должны способствовать формированию каждого элемента структуры логической компетентности учащихся начальной школы в процессе обучения математике. Первым дидактическим условием формирования логического мышления, естественно, является включение в содержание курса математики школы элементов формальной и математической логики, необходимых для развития логического мышления учащихся с помощью математики. Но включение дополнительных тем в учебный курс увеличит объем материала для изучения и не обеспечит формирование логического мышления, несмотря на то, что логические знания являются основой его развития. Значит, для развития логического мышления необходимо создание специальных условий.П.Я. Гальперин отмечает, что приобретаемые в процессе обучения в школе знания можно разделить на две неравные части. Одну составляют приемы интеллектуальной деятельности, другую - конкретный материал изучаемого предмета. По общему объему вторая часть намного превышает первую, но в такой же степени уступает ей по значению в развитии мышления [22]. Следовательно, для повышения эффективности обучения необходимо уделять большее внимание формированию логических приемов теоретического мышления у учащихся.Развитие мышления учащихся в процессе обучения в традиционной системе сталкивается с такой трудностью, как соотнесение процесса усвоения большого объема знаний с овладением детьми приемами интеллектуальной деятельности. Поэтому необходимо создавать условия для развития мышления в процессе усвоения знаний, для развития личности в целом. Таким образом, следующее дидактическое условие формирования логической компетентности - уточнение целей учебной деятельности учащихся в процессе обучения математике, их ориентация на развитие личностных качеств ребенка в этом процессе.Задачи усвоения учебного материала часто вступают в противоречие с задачами развития ребенка. С одной стороны, приобретаемые учащимися знания выступают как необходимый фактор развития теоретического мышления, но они же могут послужить тормозом или барьером к развитию. Это подтверждают и результаты исследований, проведенных Ю.А. Горяевым, О.П. Гориной, Н.В. Горбачевой, В.В. Давыдовым, Л.В. Занковым, Е.Л. Мельниковой, Л.Г. Петерсон, Д.Б. Элькониным и др. Они подчеркивают, что эффективно развивать личность ребенка позволяет проблемное обучение. Проблемное обучение ориентировано на развитие, а развитие - это не приобретение суммы знаний и навыков, а процесс перестройки ребенка, в ходе которого происходят интеллектуальные, личностные, поведенческие, деятельностные изменения в самом человеке. Не случайно развивающее обучение, цели которого ориентированы на развитие личности ребенка, явилось основой научного обоснования компетентностного подхода зарубежными учеными (Я. Лефстед, Д. Равен, В. Чепанах и др.). Цель развивающего обучения состоит в побуждении у ребенка особой активности и направлении ее на изменение самого себя как субъекта учения. Именно участие ребенка как активного субъекта отличает развивающее обучение от традиционного. Развивающее обучение - это обучение, в котором содержание, методы и формы организации ориентированы на закономерности развития [29].В начале тридцатых годов выдающийся русский психолог-гуманист Л.С. Выготский обосновал возможность и целесообразность обучения, ориентированного на развитие ребенка как на свою непосредственную основную цель. Конечно же, он ни в коей мере не отрицал необходимость усвоения знаний и умений. Но последние являются не конечной целью обучения, а всего лишь средством развития учащихся. По теории Л.С. Выготского, обучение и воспитание может проходить в двух зонах: зоне актуального развития (обученность) и зоне ближайшего развития (обучаемость). Зона актуального развития: ребенок самостоятельно справляется с заданием; зона ближайшего развития является опережающим развитием: ребенок сегодня выполняет задание с помощью учителя, а завтра может это сделать самостоятельно (зона актуального развития). Возможности обучения должны опираться на достигнутый (актуальный) уровень развития, обгонять его и определяться зоной ближайшего развития. Л.С. Выготский писал: «Только то обучение является хорошим, которое забегает вперед развития» [19]. Развитие в процессе обучения нельзя ограничивать только умственным развитием ребенка. Развивающее обучение предполагает возникновение новообразований как в содержательной стороне психики (представлениях, понятиях, суждениях), так и в способах психической деятельности: умственной, эмоционально-волевой, практической, которые, по мнению Л.В. Занкова, могут «возникать в процессе прямого научения, а также в результате самостоятельной переработки внешних воздействий, вследствие постепенного внутреннего движения» [20, 108].Развитие представляет собой, по мнению.Я. Лернера, возникновение и углубление таких новообразований, которые обуславливают возможность универсально использовать эти новообразования в своей деятельности, так как совокупность новообразований характеризует культуру личности, ее социальный опыт, И.Я Лернер определяет их сущность в различных компонентах этого социального опыта. И не только как психическую категорию, но и в сфере интеллектуально-психических, психофизических новообразований, новообразований в области творческих поисков, эмоционально-ценностной сфере [12].Развитие в условиях обучения связано с такими характеристиками, как направленность, интенсивность, характер и качество. Считается, что психическое развитие ребенка одновременно происходит в познавательной, деятельностной и личностной сферах. В познавательной сфере: становление интеллекта, развитие механизмов познания. В сфере психологической структуры и содержания деятельности происходит становление целей, мотивов и развитие их соотношения, освоение способов и средств деятельности. В сфере личности: направленности, ценностных ориентации, самосознания, самооценки, взаимодействия с социальной средой.Л.В. Занков писал: «Под общим развитием мы понимаем развитие личности ребенка, всех ее сторон, то есть развитие интеллекта, воли, чувств, духовных потребностей. Нельзя пройти мимо черты, характеризующей общее развитие. Качество личности, равно, как и способы действия, имеющие своей основой общее развитие, обнаруживаются на любом материале, в самых разнообразных ситуациях» [47]. В.В. Давыдов видит сущность развивающего обучения в создании условий для развития каждого ученика как «самоизменяющего субъекта учения». Быть таким субъектом - «значит иметь потребность в самоизменении и быть способным удовлетворять ее посредством учения, то есть хотеть, любить и уметь учиться» [27].И.С. Якиманская отмечает, что в условиях развивающего обучения учащиеся самостоятельно добывают знания и способы действия, перестраивают ранее полученные, осуществляют широкий перенос усвоенного на решение новых учебных и практических задач. То есть выполняют в основном не воспроизводящую, а преобразующую деятельность [28].Многообразие вариантов технологий развивающего обучения объединяет общее стремление сделать ребенка субъектом учения, то есть учащимся, способным обучаться. В развивающем обучении коренным образом меняется содержание деятельности учителя. Главная задача учителя не объяснить и показать, а организовать совместный поиск решения возникающей перед учащимися задачи. Новые условия обучения требуют от учителя умения выслушать всех желающих по каждому вопросу, не отвергнув ни один ответ, встать на позицию каждого отвечающего, понять логику рассуждения ребенка и найти выход из постоянно меняющейся учебной ситуации, анализировать ответы, предложения детей и незаметно для них вести их к решению проблемы. Обучение логике учебного спора, диалога, решению учебной задачи не предполагает скорейшего получения правильного ответа, возможны ситуации, при которых дети не смогут открыть истину. В самом деле, правильно построенный процесс мышления характеризуется тем, что «возникновение неясных знаний, вопросов обгоняет процесс формирования ясных знаний. Значит, чем быстрее мы приходим к истине, тем короче процесс мышления, тем меньше возможности для его развития» [54].Развивающее обучение немыслимо без постоянного учебного общения, при котором ребенок, поняв, чего он не знает, не умеет делать сам, начинает активно действовать, восполняя недостаток знания и включая в этот процесс учителя как более опытного партнера. Мнение учителя воспринимается детьми как одна из возможных точек зрения, которую нужно соотнести с собственной точкой зрения и мнениями других учеников. Необходимость такого общения вытекает из природы поисковой, исследовательской деятельности, при которой поиск истины в одиночку невозможен, необходим коллективный поиск, сопровождающийся постоянным обменом мнений. Учитель может реально строить сотрудничество с ребенком на уроке только в том случае, если он постоянно удерживает особенности детской точки зрения на предмет и на самого себя. Развивающее обучение имеет специальные методы, включающие детей в коллективный поиск: создание проблемных ситуаций, ситуация учебного спора, метод коллизий, метод решения учебных задач, учебный диалог и другие.Развивающее обучение обеспечивает формирование теоретического уровня мышления ребенка [54]. Осуществляется теоретическое мышление в словесно-знаковой форме через решение логических задач. Ребенок еще в начальной школе переходит от решения задач сначала в предметно-действенной форме, затем - в наглядно образной и, наконец, в словесно-знаковой. То, что развивающее обучение формирует у детей основы теоретического мышления, которое проявляется в решении задач обобщенным способом, многократно подтвердили исследования вышеназванных авторов развивающего обучения, их учеников и последователей.Многие исследователи мышления отмечают, что развитие логического мышления непосредственно связано с организацией учебной деятельности [7, 43, 15 и др.], которая в период младшего и среднего возраста является ведущей. Мы также придерживаемся этой точки зрения, что развитие учащихся зависит от той деятельности, которую они выполняют в процессе обучения. И считаем, что изучение логики и математики должно проходить в деятельности. Это нужно для того, чтобы изучение элементов формальной и математической логики способствовало формированию понимания универсального характера ее законов и применению их для разрешения различных проблем и жизненных ситуаций.Л.С. Выготский писал о том, что процессы обучения и воспитания «не сами по себе непосредственно развивают человека, а лишь тогда, когда они сами имеют деятельностные формы и, обладая соответствующим содержанием, в определенных возрастах способствуют формированию тех или иных типов деятельности» [20]. То есть между обучением и психическим развитием человека всегда стоит его деятельность. Вот почему для выбора дидактических условий формирования логической компетентности мы рассматриваем развивающее обучение и считаем необходимым проанализировать содержание и структуру учебной деятельности, с которой непрерывно связано психическое развитие ребенка, так как «естественное состояние человека - состояние деятельности» [21] и «...знания никогда нельзя давать в готовом виде, они всегда усваиваются через включение в деятельность» [18]. В основе учения об учебной деятельности лежат: представления А.Н. Леонтьева о ведущих типах деятельности, характерных для каждого периода психического развития [56]; Д.Б. Эльконина о периодизации психического развития человека в онтогенезе [74]; В.В. Давыдова о том, что усвоение знаний и развитие - две стороны единого процесса [28].Учебная деятельность - ведущая деятельность в психическом развитии детей до двенадцати лет. Усвоение материала возможно в рамках учебной деятельности. Л.С. Выготский обосновал идею о совместной распределенной деятельности ребенка и взрослого. Ребенок развивается в рамках освоения человеческой деятельности. Позже эта идея была сформулирована в концепции А.Н. Леонтьева, затем Д.Б. Эльконин построил классификацию периодизации развития, связанную с исследованием учебной деятельности, то есть ответил на вопрос, что происходит с ребенком в процессе его развития.И последним дидактическим условием формирования логической компетентности является использование специального комплекса методов и форм обучения, способствующих формированию ценностного отношения учащихся к знаниям, умениям и опыту собственной деятельности. Методы и организационные формы формирования логической компетентности мы рассмотрим подробно в следующей главе, но они должны через обучение в деятельности способствовать формированию у ребенка умения самостоятельно ставить перед собой цели, организовывать свою деятельность для их достижения и оценивать результаты своих действий, формировать личностные качества и познавательные мотивы деятельности, ценностное отношение учащихся к логической грамотности и опыту собственной деятельности на ее основе.Таким образом, для формирования логической компетентности учащихся начальной школы мы выделили следующие дидактические условия: -включение в содержание курса математики начальной школы элементов формальной и математической логики, необходимых для развития логического мышления с помощью математики; -уточнение целей учебной деятельности учащихся в процессе обучения математике, их ориентацию на развитие личностных качеств ребенка в этом процессе;-включение в деятельность, формирование внутренних мотивов учебной деятельности, создание проблемных учебных ситуаций в деятельности учащихся, формирование у учащихся опыта собственной деятельности; -использование специального комплекса методов и форм обучения, способствующих формированию ценностного отношения учащихся к логической грамотности и опыту собственной деятельности на ее основе. Таким образом, формировать логическую компетентность у учащихся начальной школы в процессе обучения математике возможно только в условиях развивающего обучения, поскольку развивающее обучение предполагает не только умственное развитие, но и возникновение новообразований как в содержательной стороне психики ребенка (представления, понятия, суждения), так и в способах психической деятельности: умственной, эмоционально-волевой, практической, развитие новообразований в различных компонентах социального опыта, характеризующих культуру личности. А именно: в интеллектуальной сфере, эмоционально-ценностной сфере, познавательной сфере (становление интеллекта, развитие механизмов познания), в сфере психологической структуры и содержания деятельности (становление целей, мотивов, освоение способов и средств деятельности), сфере личности (направленность, ценностная ориентация, самосознание, самооценка, взаимодействие с окружающим миром), что особенно важно для формирования логической компетентности учащихся.Выводы по главе 1.Выявлены теоретические и практические предпосылки формирования логической компетентности у школьников, выделена педагогическая конструкция (состав) логической компетентности как составляющей математической, социально-личностной, общекультурной и предметно-мировоззренченской компетентностей выпускника средней школы.Выявлены дидактические условия формирования логической компетентности в процессе обучения математике учащихся начальной школы:включение в содержание курса математики начальной школы элементов формальной и математической логики, необходимых для развития логического мышления с помощью математики;уточнение целей учебной деятельности учащихся в процессе обучения математике, их ориентация на развитие личностных качеств ребенка в этом процессе;включение в деятельность, формирование внутренних мотивов учебной деятельности, создание проблемных учебных ситуаций обучения в деятельности учащихся; формирование у учащихся опыта собственной деятельности;использование специального комплекса методов и форм обучения, способствующих формированию ценностного отношения учащихся к логической грамотности и опыту собственной деятельности на ее основе.Дидактические условия представлены комплексом целей развивающего обучения, его требований к отбору содержания, методов и организационных форм обучения в деятельности. Глава 2. Опытно-экспериментальная работа по развитию логического мышления школьников в процессе изучении темы: "Диофантовые уравнения 2.1. Особенности развитие логического мышления школьников Эксперимент проводится на базе средней общеобразовательной школы. В эксперименте принимало участие 20 человек, МБОУСОШ №5, 9 "В" класс.Первый этап нашего экспериментального исследования состоит в изучении уровня развития логического мышления, то есть констатирующий эксперимент. Для исследования уровня развития логического мышления нами были использованы методики "Исключение слов", Методика «Исключение лишнего» активно применяющиеся на практике многими исследователями. Результаты каждой методики оценивались в баллах от 0 до 10.На их основе мы определили следующие уровни развития логических универсальных действий:Низкий – показатели по всем методикам это 0-3баллов.Средний – показатели по всем методикам 3-5 баллов.Достаточный – показатели по всем методикам 5-8 баллов.Высокий – показатели по всем 8-10 баллов. Методика "Исключение слов"Для проведения исследования потребуются бланки методики "Исключение слов", позволяющей оценить способности испытуемого к обобщению и выделению существенных признаков. Методика состоит из 15 серий, в каждой серии – по каждой серии – по 4слова (приложение 1).Исследование проходит индивидуально. Начинать нужно, лишь убедившись, что у испытуемого есть желание выполнять задание. Инструкция испытуемому: " Три из четырех слов в каждой серии являются в какой-то мере однородными понятиями и могут быть объединены по общему для них признаку, а одно слово не соответствует этим требованиям и должно быть исключено. Назови слово, которое не подходит по смыслу к данному ряду. Выполнять задание нужно быстро и без ошибок". Если испытуемый не усвоил инструкцию, то один-два примера, но не из экспериментальной карточки, исследователь решает вместе с ним. Убедившись, что принцип работы понятен, ребенку предлагают выполнить задание – перечисляться слова на бланке, ребенок должен назвать подлежащие исключению слова. Экспериментатор фиксирует время и правильность выполнения задания в протоколе. Обработка результатов.В соответствии с ключом оценить в баллах выполнение задания каждый правильный ответ – 1балла, за неправильный – 0.Методика «Исключение лишнего»Одним из наиболее распространенных в практике исследования развития логического мышленияявляется метод “Исключение лишнего”. С помощью этого метода можно достаточно убедительно показать особенности аналитической и синтетической деятельности .Цель: исследование способности к обобщению и абстрагированию, умения выделять существенные признаки предметов и явлений.Стимульный материал и оборудование: набор карточек с изображением четырех предметов на каждой (см. приложение 2) Ход работы. Карточки одна за другой предъявляются испытуемому. Из нарисованных из каждой карточке четырех предметов он должен исключить один предмет, а остальным дать одно название. Когда лишний предмет исключен, испытуемый должен объяснить, почему он исключил именно этот предмет.Исследователь вместе с испытуемым решает и разбирает первое задание. Остальные испытуемый по мере возможности разбирает самостоятельно. Если он испытывает затруднения, исследователь задает ему наводящий вопрос.