Теория вероятностей и математическая статистика

Контрольная работа в № 9 2 теоретических вопроса и 10 задач ...

Задача 1
Задача 2
Задача 3
Задача 4
Задача 5
Задача 6
Задача 7
Задача 8
Задача 9
Задача 10

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Вариант 9
1) Достаточным условием сдачи коллоквиума является ответ на один из двух вопросов, предлагаемых преподавателем студенту. Студент не знает ответов на 8 вопросов из тех 40, которые могут быть предложены. Какова вероятность того, что студент сдаст коллоквиум?
Решение:
Обозначим А1 –событие, которое заключается в том, что студент знает ответ на первый вопрос, А2 –событие, которое заключается в том, что студент знает ответ на второй вопрос. Событие В – это событие, которое состоит в том, что студент сдаст коллоквиум.
Студент сдаст коллоквиум, если он знает ответ на первый вопрос, или если он не знает ответ на первый, но знает ответ на второй вопрос, то есть:
B=A_1+(A_1 ) ̅∙A_2
p(B)=p(A_1+(A_1 ) ̅∙A_2 )=p(A_1 )+p((A_1 ) ̅∙A_2 )=p(A_1) +p((A_1 ) ̅)∙p(A_2/(A_1 ) ̅ )
Вероятность того, что студент не знает ответ на первый вопрос, составляет:

C=A∙A∙A+A∙A∙A∙+A∙A∙A Вероятность двух попаданий при трех выстрелах можно определить с помощью вероятности произведения независимых событий:p(C)=pA∙pA∙pA+pA∙pA∙pA∙+pA∙pA∙pApC=0,8∙0,8∙0,2+0,8∙0,2∙0,8∙+0,2∙0,8∙0,8=0,384 (38,4%)или по формуле Бернулли:Pnm=Cnmpmqn-m=n!m!n-m!pmqn-mP32=C32p2q3-2=3!2!3-2!p2q3-2=3p2qP32=3∙0,82∙0,2=0,384 (38,4%)Ответ: 0,384 (38,4%).6) Вероятность появления события А в одном испытании равна p. Найти вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А произойдет: а) m раз; б) от k1 до k2 раз. а) p = 0,12, n = 600, m = 70; б) n = 100, p = 0,8, k1 = 90, k2 = 100.Решение:Для определения вероятности наступления событий в независимых испытаниях по схеме Бернулли используем локальную теорему Муавра-Лапласа так как число испытаний n достаточно велико:Pnm≈1npqf(x),гдеfx=12π∙e-x22-функция Гаусса,x=m-npnpqТогда:n=600, m = 70, p = 0,12, q = 1 - 0,12 = 0,88. x=70-600∙0,12600∙0,12∙0,88=-0,25Pnm≈1600∙0,12∙0,88∙f-0,25=1600∙0,12∙0,88∙0,3867==0,0486 (4,86%)б) Для определения вероятности используем интегральную теорему Муавра - Лапласа:Pnk1≤m≤k2≈Фx2-Фx1,гдеФx=12π-∞хet22dt-функция Лапласа,x1=k1-npnpq, x2=k2-npnpqТогда:n=100, k1 = 90, k2 = 100, p = 0,8, q = 1 - 0,8 = 0,2. x1=90-100∙0,8100∙0,8∙0,2=1016=0,79, x2=100-100∙0,8100∙0,8∙0,2=2016=1,12P10080≤m≤100≈Ф1,12-Ф0,79=0,3687-0,2853=0,0832Ответ: а) 0,0486 (4,86%); б)0,0832 (8,32%)7) Случайная величина μ задана функцией распределения Fμ(x). Требуется найти: а) постоянную c; б) плотность распределения вероятностей fμ(x); в) основные числовые характеристики M(μ), D(μ), σμ; г) вычислить вероятность того, что случайная величина μ примет значение, принадлежащее интервалу (α, β); д) построить графики функций fμ(x), Fμ(x).Fμ(x)=0, x<3/2x2+cx,3/2≤x≤21,x>2 = 0; = 1,8.Решение:a) Постоянную c можно найти из соотношений:при x=3/2x2+cx=0322+c∙32=032+c=0c=-32при x=2x2+cx=122+c∙2=13+2c=0c=-32Таким образом, функция распределения имеет вид:Fμ(x)=0, x<3/2x2-32x,3/2≤x≤21,x>2 б) Функция распределения непрерывной случайной величины связана с плотностью распределения:fμx=Fμ/(x)Тогда:fμx=Fμ/(x)=0/=0, x<3/2x2-32x/=2x-32,3/2≤x≤21/=0,x>2 в) Математическое ожидание непрерывной случайной величины находится по формуле:Mμ=-∞+∞xfμxdx Mμ=-∞+∞xfμxdx= -∞3/2xfμxdx+3/22xfμxdx +2+∞xfμxdx= =-∞3/2x∙0dx+ 322x∙2x-32dx +2+∞x∙0dx=322x∙2x-32dx ==3/222x2-32xdx =143/22xdx = 2∙x33-32∙x2223/2=2∙233-3∙222∙2--2∙3233-3∙3222∙2=163-3-94+278=8324=31124 Дисперсия непрерывной случайной величины находится по формуле:Dμ=-∞+∞x-Mμ2fμxdx Dμ=-∞+∞x-Mμ2fμxdx =-∞3/2x-Mμ2fμxdx ++3/22x-Mμ2fμxdx +2+∞x-Mμ2fμxdx =-∞32x-83242∙0dx++3/22x-83242∙2x-32dx+2+∞x-83242∙0dx=322x-83242∙2x-32dx==3/222x3-836x2+6889288x-32x2+848x-6889384dx==3/222x3-926x2+9913288x-6889384dx==2∙x44-926∙x33+9913288∙x22-6889384x23/2==x42-469x3+9913576x2-6889384x23/2= =242-469∙23+9913576∙22-6889384∙2-12∙324-469∙323+9913576∙322-6889384∙32==8-3689+9913144-6889192-8132-694+9913256-6889256==8-3689+9913144-6889192-8132+694-9913256+6889256=8-4089+68121144--35169192-21732+1714-38185256+26233 256=12 107192=2411192Среднее квадратическое отклонение равно:σμ=D(μ)σμ=12 107192≈3,54г) Вероятность того, что случайная величина μ примет значение, принадлежащее интервалу (α, β) находится по формуле:P(α<x<β) = F(β) – F(α)P0<x<1,8=F1,8-F0=1,82-32·1,8-0=0,54д) Построим графики функций fμ(x), Fμ(x).8) Дан закон распределения системы двух случайных величин (μ,η). Требуется: а) вычислить коэффициент корреляции и проанализировать тесноту связи между μ и η; б) составить условный закон распределения случайной величины μ и найти условное математическое ожидание; в) составить уравнение прямой регрессии μ на η и построить ее график.ημ–20210,160,120,0420,120,340,0430,020,040,12Решение:а) Коэффициент корреляции – это отношение ковариации к произведению средних квадратических отклонений: ρμη=Kμησμση=KμηDμDηКовариация рассчитывается по формуле:Kμη=i=1nj=1mxi-M(μ)yi-M(η)pij ,Определим математические ожидания и дисперсии случайных величин μ и η по их законам распределения.ημ–202pi(μ)10,160,120,040,3220,120,340,040,530,020,040,120,18pj(η)0,30,50,211Таким образом, получен закон распределения случайной величины μ:μ123p0,320,50,18Математическое ожидание дискретной случайной величины находится по формуле:M(μ)=i=1nxipi=1∙0,32+2∙0,5+3∙0,18=1,86Dμ=i=1nxi-Mμ2pi=1-1,862∙0,32+2-1,862∙0,5++3-1,862∙0,18=0,4804Закон распределения случайной величины η имеет вид:η–202p0,30,50,2Математическое ожидание дискретной случайной величины η находится по формуле:Mη=j=1myjpj=-2∙0,3+0∙0,5+2∙0,2=-0,2Dη=j=1myj-Mη2pj=-2--0,22∙0,3+0--0,22∙0,5++2--0,22∙0,2=1,96Ковариация равна:Kμη=1-1,86-2--0,2∙0,16+ 1-1,860--0,2∙0,12++1-1,862--0,2∙0,04+2-1,86-2--0,2∙0,12++2-1,860--0,2∙0,34+2-1,862--0,2∙0,04++3-1,86-2--0,2∙0,02+3-1,860--0,2∙0,04++3-1,862--0,2∙0,12=0,412ρμη=0,4120,4804∙1,96=0,4246По значению коэффициента корреляции можно сделать вывод о достаточной (средней) прямой зависимости между μ и η. б) Условным законом распределения одной из одномерных составляющих двумерной случайной величины называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая составляющая приняла определенное значение. Для нахождения условного закона распределения рассчитаем условные вероятности дискретной случайной величины по формуле:pjμi=pijpjУсловные законы распределения случайной величины μ:при η = - 2:p1μ1=0,160,3=0,53p1μ2=0,120,3=0,4p1μ3=0,120,3=0,07μ123p0,530,40,07при η = 0:p2μ1=0,120,5=0,24p2μ2=0,340,5=0,68p2μ3=0,040,5=0,08μ123p0,240,680,08при η = 2:p3μ1=0,040,4=0,2p3μ2=0,040,2=0,2p3μ3=0,120,2=0,6μ123p0,20,20,6Условное математическое ожидание μ равно:Mj(μ)=i=1nxipjμi при η = - 2:Mη=-2(μ)=i=1nxipη=-2μi=1∙0,53+2∙0,4+3∙0,07=1,53при η = 0:Mη=0(μ)=i=1nxipη=0μi=1∙0,24+2∙0,68+3∙0,08=1,84при η = 2:Mη=2(μ)=i=1nxipη=2μi=1∙0,2+2∙0,2+3∙0,6=2,4в) Для нахождения уравнения прямой регрессии μ на η μ =α+βη используем формулы:β=ρμησμσηα=Mμ-bMηβ=0,4246∙0,691,4=0,21α=1,86-0,21∙-0,2=0,98Уравнение прямой регрессии μ на η имеет вид:μ =0,98+0,21η9) Произведено выборочное обследование роста 25 студентов и получены следующие результаты (в см):159162,5 164164,5 165,5 166168,5 169169170,5 171171171 173174,5 174,5 176176,5 178179182183,5 184185188.Требуется: а) найти выборочную среднюю; б) составить интервальное распределение выборки с шагом h, взяв за начало первого интервала х0; в) построить полигон и гистограмму частот; г) проверить с помощью критерия Пирсона при заданном уровне значимости гипотезу о том, что случайная величина μ – количественный признак генеральной совокупности – имеет нормальное распределение; д) найти с надёжностью γ доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания признака μ генеральной совокупности. ; = 0,95; = 7; h = 5; x0 = 155.Решение:а) Выборочную среднюю определим по формуле средней арифметической простой:x=1ni=1nxix=125i=125xi=125·(159+162,5+164+164,5+165,5+166+168,5++169+169+170,5+171+171+171+173+174,5+174,5+176++176,5+178+179+182+183,5+184+185+188)=173,02б) Составим интервальное распределение выборки с шагом h=5, взяв за начало первого интервала х0=155. Границы интервалов определим следующим образом:x0=155см.x0+h=160см.x0+2h=165см.x0+3h=170см.x0+4h=175см.x0+5h=180см.x0+6h=185см.x0+7h=190см.