кривые и поверхности второго порядка

исследование кривой и поверхности второго порядка. Закрепление теоретических знаний и практических навыков по изучению и анализу свойств кривых и поверхностей второго порядка.
В данной курсовой работе представлен теоретический материал по кривым и поверхностям второго порядка, также представлены три примера по кривым второго порядка
...

Оглавление
Введение
1. Кривые второго порядка
1.1 Основные понятия
1.2 Окружность
1.3 Эллипс
1.4 Гипербола
1.5 Парабола
1.6 Уравнение кривых со смещенным центром
2. Кривые в полярной системе координат
3. Кривые, заданные параметрическими уравнениями
4. Поверхности второго порядка
4.2 Эллипсоид
4.3 Однополостный гиперболоид
4.4 Двуполостный гиперболоид
4.5 Эллиптический параболоид
4.6 Гиперболический параболоид
4.7 Конус второго порядка
4.8 Цилиндры второго порядка
4.8.1 Эллиптический цилиндр
4.8.2 Гиперболический цилиндр
4.8.3 Параболический цилиндр
Заключение
Список используемой литературы

1 . Кривые второго порядка
1.1 Основные понятия
Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0
Коэффициенты уравнения – действительные числа, но по крайней мере одно из чисел А, В или С отлично от нуля. Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка. Уравнение определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или пораболу.
1.2 Окружность
Окружностью радиуса R с центром в точке М0 называется множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию М0М=R. Пусть точка М0 в прямоугольной системе координат Оху имеет координаты х0, у0, а М(х;у) – произвольная точка окружности.(рис. 1)
Рис. 1

Тогда из условия М0М = R получаем уравнение
√((x- x_0 )^2+ (y- y_0 )^2 )=R
То есть
(x- x_0 )^2+ (y- y_0 )^2= R^2. (1.2.1)
Уравнение (1.2.1) удовлетворяют координаты любой точки М (х;у) данной окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности.
Уравнение (1.2.1) называется каноническим уравнением окружности.

рис. 5). В выбранной системе фокус F имеет координаты (p2; 0), а уравнение директрисы имеет вид х = - p2, или х + p2 = 0. Пусть М (х; у) – произвольная точка параболы. Соединим точку М с F. Проведем отрезок MN перпендикулярно директрисе. Согласно определению параболы MF = MN. По формуле расстояния между двумя точками находим:MF= (x- p2)2+ y2, а MN= (x+ p2)2+ (y-y)2 , (1.5.1)Следовательно,(x- p2)2+ y2= (x+p2)2, (1.5.2)Возведя обе части уравнения в квадрат, получимx2- px+ p24+ y2= x2+ px+ p24, (1.5.3)т. е. y2=2px (1.5.4)Уравнение (1.5.4) называется каноническим уравнением параболы. Парабола есть линия второго порядкауРис. 5xrNOx= - p2М (х; у)хF (p2; 0)Парабола не имеет асимптот. Эксцентриситет параболы равен 1 и не влияет на форму кривой. Вид кривой показан на рис. 6.Рис. 6OFxyp2p2M1.6 Уравнения кривых со смещенным центромЕсли в общем уравнении кривой 2-го порядкаAx2+ Cy2+ 2Dx+2Ey+F=0 (1.6.1)в частности В = 0, то есть отсутствует член с произведением переменных, то это означает, что оси кривой параллельны координатным. Рассмотрим уравнение:Ax2+ Cy2+ 2Dx+2Ey+F=0(A и C одновременно). Можно показать, что при этом:1) Если АС > 0 (коэффициенты при квадратах переменных одного знака), то уравнение определяет эллипс;2) Если АС < 0 (коэффициенты при квадратах переменных имеют разные знаки), то уравнение определяет гиперболу;3) Если АС = 0 (один из членов с квадратом переменных отсутствует), то этим уравнением определяется парабола.Для того, чтобы понять, как именно расположена кривая относительно системы координат и каковы ее параметры, уравнение можно преобразовать способом выделения полных квадратов. После этого уравнение примет вид одного из невырожденных уравнений кривой 2-го порядка со смещенным центром: 1) (x-x0)2a2+ (y- y0)2b2=1,это уравнение эллипса с центром O1 (x0; y0) и осями, параллельными осям Ox и Oy (см. рис. 7);Рис. 72) - (x-x0)2a2+ (y- y0)2b2=1 и (x-x0)2a2- (y- y0)2b2=1,эти уравнения определяют гиперболы с центром O1 (x0; y0) и осями, параллельными координатным (см. рис. 8);Рис. 8 3) (x-x0)2=2p(y- y0),(y-y0)2=2p(x- x0)(x-x0)2=-2p(y- y0) (y-y0)2=2p(x- x0)это параболы с вершиной O1 (x0; y0) и осью, параллельной одной из координатных (см. рис. 9).Рис. 9 Пример 1. Построить кривую, заданную уравнением x2+2x+6y-2=0, приведя его к каноническому виду.Решение. Преобразуем уравнение следующим образом x2+2x+6y-2=0,x2+2x=-6y+2,x2+2x+1=-6y+2+1,(x+1)2=-6(y-0,5)Получили уравнение параболы (см. 10) с вершиной в точке O’(− 1; 0,5) и с осью симметрии, параллельной оси Oy . Перенося начало координат в точку O’ , получим в системе координат x’O’y’ уравнение(x’)2= -6 (y’),где параметр p определяется из условия 2p = 6 или p = 3.Парабола симметрична относительно оси O’y’ или относительно прямойx = −1. Фокус параболы находится на ее оси и отстоит от вершины на 2p .Поскольку из уравнения следует, что y’ ≤ 0 , то ветви параболы направлены вниз и фокус F лежит на p2=1,5 ниже вершины, то есть его координаты F (− 1;−1).y’y = 2yx’O’x Рис. 10Директрисой параболы является прямая, перпендикулярная ее оси и находящаяся на расстоянии p2=1,5 от вершины, причем фокус и директриса расположены по разные стороны от вершины. Учитывая все это, можно записать уравнение директрисы y = 0,5 + 1,5, или y = 2 . Кривая построена на рис. 10.2. Кривые в полярной системе координатПолярная система координат задана, если задана точка O, называемая полюсом, и исходящий из полюса луч Ox , который называется полярной осью (рис. 11).ρxO Рис. 11Положение любой точки M в полярной системе координат однозначно определяется ее полярными координатами: полярным радиусом ρ – расстоянием от полюса O до точки M и полярным углом φ – углом поворота полярной оси до совпадения с вектором OM (рис.12). В полюсе полярный радиус ρ = 0 , а полярный угол не определен. Для всех точек плоскости, не совпадающих с полюсом ρ > 0 .yMyφρxOx Рис.12Полярный угол измеряется в радианах и считается положительным, если отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки. Полярный уголопределяется с точностью до 2πk , где k – целое число. Это означает, чтоточки с полярными координатами (ρ, φ) и (ρ, φ + 2πk ) при целом kсовпадают.Если задана полярная система координат, то каждой паре чисел (ρ, φ), из которых ρ ≥ 0 , соответствует точка плоскости, для которой эти числаявляются ее полярными координатами. Если ρ > 0 , то эта точкарасположена на луче, составляющим угол φ с полярной осью Ox , и нарасстоянии ρ от полюса. Если ρ = 0 , то эта точка совпадает с полюсом.Из определения полярных координат следует, что уравнение ρ = rзадает на плоскости окружность с центром в полюсе и радиусом r , ауравнение φ = α задает на плоскости луч, проходящий через полюс исоставляющий с полярной осью угол α , в частности уравнение полярной осиφ = 0 .Если задать на плоскости прямоугольную декартову систему координат,поместив ее начало в полюс и совместив ось абсцисс с полярной осью, тодекартовы координаты x и y (рис. 10) выражаются через полярныекоординаты из соотношений: x= pcosφy=psinφ (2.1)Если каждое уравнение системы возвести в квадрат и сложить их, тополучим уравнение: ρ2 = x2 + y2 , или ρ = x2+ y2. (2.2)из которого по заданным декартовым координатам можно определитьполярный радиус.Координатными линиями полярной системы координат являются окружности ρ = C с центром в полюсе лучи φ = C , проходящие через полюс.Пример 2. Построить кривую, заданную в полярных координатах уравнением ρ = φ.Решение. Кривая, заданная уравнением ρ = φ, называется спиральюАрхимеда. Для ее построения зададим значения полярного угла и найдем из уравнения соответствующие значения полярного радиуса (табл.1).Таблица 1φ0π2π3π22πρ0π2π3π22πНа лучах φ=0, φ = π2, ϕ = π, φ = 3π2 и φ = 2π (последний луч совпадает с полярной осью) отложим соответствующие значения ρ . Из уравнения кривой следует, что если мы будем увеличивать φ , то ρ будет возрастать. Кривая построена на рис. 13.yx Рис. 133. Кривые, заданные параметрическими уравнениямиРассмотрим вопрос о том, как траектория движения точки описывается с помощью уравнений. Поскольку положение точки на плоскости однозначно определяется ее координатами, то для задания движения точки достаточно задать зависимости ее координат x, y от времени t, т.е. задать функции x=x(t)y=y(t) (3.1)В этом случае для каждого момента времени t мы можем найти положение точки на плоскости.Кривая на плоскости, описываемая точкой, координаты которой удовлетворяют этим уравнениям при изменении параметра t, называется параметрически заданной кривой на плоскости. Сами уравнения называются параметрическими уравнениями.График функции y=f(x) является частным случаем параметрически заданной кривой на плоскости. Параметрическими уравнениями в этом случае будут уравненияx=t y=f(t) (3.2)Если кривая задана уравнением в полярных координатах r = r(j), то, переходя к декартовым координатам, ее можно задать и параметрическими уравнениямиx=r(t)costy=r(t)sint (3.3)Окружностьx=Rcosty=RsintR – радиус, x2 + y2 = R2См. рис. 14Рис. 14Эллипсx=acosty=bsintгде a и b полуосиx2a2+ y2b2=1См. рис. 15Рис. 16Астроидаx=acosty=bsintгде a. b > 0 см. рис. 17Рис. 17Циклоидаx=a(t- sint)y=a(1-cost)где a > 0 , T = 2πa – периодсм. рис. 18Рис. 18Пример 3. Построить кривую, заданную уравнениями x=3t2y=3t3-tРешение. При всех значениях t x ≥ 0 . Следовательно, кривая расположена в правой полуплоскости. Корнями функции являются x1 = 0 , так как y(0) = 0 и x(0) = 0 , а также x2 = 1, так как y=±13=0 и x=±13=1При t →±∞ x→+∞, а y →±∞. Значит, кривая не является однозначной и имеет две ветви.Если t ∊ 0;13, то x ∊ (0; 1), а y < 0. Если t ∊ 13; +∞, то x ∊ (1; +∞), а y > 0.Если t ∊ -13;0, то x ∊ (0; 1), а y > 0. Если t ∊ -∞;-13, то x ∊ (1; +∞), а y < 0.Вычислим производные x’(t) и y’(t), x’(t) = 6t , y’(t) = 9t2 −1.Поскольку производная y’(t) = 0 при t= ±13 и меняет знак в этих точках, тоt= ±13 – точки экстремума (рис. 19). В этих точках x=13y=±89++-13-13x maxmin Рис. 19Кривая построена на рис. 20.