Вариант №4

Задача №1
Анализ оптимального плана задачи об использовании ресурсов с использованием двойственных оценок.
Задача №2
На имеющихся у фермера 400 гектарах земли он планирует посеять кукурузу и сою. Сев и уборка кукурузы требует на каждый гектар 200 ден. ед. затрат, а сои – 100 ден. ед. На покрытие расходов, связанных с севом и уборкой, фермер получил ссуду в 60 тыс. ден. ед.. Каждый гектар, засеянный кукурузой, принесет 30 центнеров, а каждый гектар, засеянный соей – 60 центнеров. Фермер заключил договор на продажу, по которому каждый центнер кукурузы принесет ему 3 ден. ед., а каждый центнер сои – 6 ден. ед. Однако, согласно этому договору, фермер обязан хранить убранное зерно в течение нескольких месяцев на складе, максимальная вместимость которого равна 21 тыс. центнеров.
Задача №3.

Ис ...

Задача №2
На имеющихся у фермера 400 гектарах земли он планирует посеять кукурузу и сою. Сев и уборка кукурузы требует на каждый гектар 200 ден. ед. затрат, а сои – 100 ден. ед. На покрытие расходов, связанных с севом и уборкой, фермер получил ссуду в 60 тыс. ден. ед.. Каждый гектар, засеянный кукурузой, принесет 30 центнеров, а каждый гектар, засеянный соей – 60 центнеров. Фермер заключил договор на продажу, по которому каждый центнер кукурузы принесет ему 3 ден. ед., а каждый центнер сои – 6 ден. ед. Однако, согласно этому договору, фермер обязан хранить убранное зерно в течение нескольких месяцев на складе, максимальная вместимость которого равна 21 тыс. центнеров.

Задача №1
Анализ оптимального плана задачи об использовании ресурсов с использованием двойственных оценок.

3. Введем ограничения:
Первое ограничение задачи – по площади – имеет вид: х1+ х2 ≤ 400, т.к. у фермера всего имеется 400 га земли.
Второе ограничение – по общим затратам на сев и уборку:
200х1+100х2 ≤ 60 000, т.к. фермер получил на расходы ссуду в 60 т. ден.
Третье ограничение – по объему собранного зерна: 30х1+60х2 ≤ 21 000, т.к. вместимость склада составляет 21 тыс. центнеров.
Последнее ограничение прямое x1,2 0, так как количество гектаров не может быть отрицательным.
Это задача линейного программирования с двумя переменными, а значит ее можно решить графическим методом.
Последнее ограничение – прямое, означает, что область решений будет лежать в первой четверти декартовой системы координат.
Остальные три – функциональные ограничения.
1.Определим область допустимых решенийпервого неравенства. Оно состоит из решения уравнения и строгого неравенства. Решением уравнения служат точки прямой x1+x2=400. Построим прямую А по двум точкам (0;400) и (400;0), которые легко получить в результате последовательного обнуления одной из переменных.
Область решений строгого неравенства — одна из полуплоскостей, на которую делит плоскость построенная прямая. Какая из них является искомой, можно выяснить при помощи одной контрольной точки. Если в произвольно взятой точке, не принадлежащей прямой, неравенство выполняется, то оно выполняется и во всех точках той полуплоскости, которой принадлежит контрольная точка, и не выполняется во всех точках другой полуплоскости. В качестве такой точки удобно брать начало координат. Подставим координаты (0; 0) в неравенствоx1+x2≤400, получим 0 ≤ 400, т.е. оно выполняется. Следовательно, областью решения неравенства служит нижняя полуплоскость.
Аналогичным образом построим области решения двух других неравенств
200x1+100x2=60 000
2 x1+ x2 = 600
x1= 0, x2 = 600
x1= 300, x2 = 0
По точкам (0;600), (300;0) построим прямую В.
200х1+100х2 ≤ 60 000 при x1 = x2 = 0;
0 ≤ 60 000выполняется, берется левая полуплоскость.
30x1+60х2=21 000
x1= 0, x2 = 350
x1= 700, x2 = 0
По точкам (0;350) и (700;0) построим прямую С.
30х1+60х2 ≤ 21 000 при x1 = x2 = 0;
0 ≤ 21 000 выполняется, берется нижняя полуплоскость.
Выделим общую область для всех неравенств. Обозначим вершины области латинскими буквами и определим их координаты, решая систему уравнений двух пересекающихся соответствующих прямых. Например, определим координаты точки C, являющейся точкой пересечения первой и второй прямой:
x1+x2=400, x1 = 200; x2 = 200
2 x1+ x2 = 600.
Аналогично поступим для других точек, являющихся вершинами области АВСDO, представляющей собой область допустимых решений рассматриваемой ЗЛП. Координаты этих вершин имеют следующие значения: А(0;350), В(100;300), С(200;200), D(300;0), О(0;0).
2. Построим вектор-градиент , координаты которого являются частными производными функции f(X), т.е. =(-110;260). Чтобы построить этот вектор, нужно соединить точку (-110;260) с началом координат. При максимизации целевой функции необходимо двигаться в направлении вектора-градиента, а при минимизации — в противоположном направлении.
3. Приравняем целевую функцию постоянной величине а:
-110x1+260x2 = а.
Это уравнение является множеством точек, в котором целевая функция принимает значение, равное а. Меняя значение а, получим семейство параллельных прямых, каждая из которых называется линией уровня. Пусть а=0, вычислим координаты двух точек, удовлетворяющих соответствующему уравнению -110x1+260x2= 0. В качестве одной из этих точек удобно взять точку О(0;0), а так как приx1 = 260x2 = 110, то в качестве второй точки возьмем точку E(260;110).
Через эти две точки проведем линию уровня f(Х)= -110x1+260x2 = 0.
В нашем случае движение линии уровня будет осуществляться до ее пересечения с точкой А,далее она выходит из области допустимых решений. Следовательно, именно в этой точке достигается максимум целевой функции.
Решение исходной ЗЛП:
Вычислим значение целевой функции в точкеА (0;350):
f(Х)= -110x1+260x2= -110∙0 + 260∙350 = 91000.
maxf(Х) =91000, достигается при x1 = 0, x2=350.
Следовательно, чтобы получить максимальную прибыль, фермер должен засеять 0 га земли кукурузой, 350 га – соей. При этом прибыль составит 91000 ден. ед.
Если поставить задачу минимизации функции f(Х) =-110x1+260x2при тех же ограничениях, линию уровня необходимо смещать параллельно самой себе в направлении, противоположном вектору-градиенту. В нашем случае минимум функции будет в точке D(300;0). Это означает, что фермер уйдет в минус по прибыли, если засеет 300 га кукурузой, 0 га – соей. При этом расходы составят 33000 ден. ед.
Задача №3.
Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.
В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице.
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Y(t)
30
28
33
37
40
42
44
49
47
Требуется:
1) проверить наличие аномальных наблюдений;
2) построить линейную модель , параметры которой оценить МНК (- расчетные, смоделированные значения временного ряда);
3) оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7-3,7);
4) оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации;
5) по построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р=70%);
6) фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Решение.
1) Для проверки наличия аномальных наблюдений рассчитаем критерий Ирвина для каждого наблюдения:
Результаты расчетов по методу Ирвина представлены в таблице 3.1.
Таблица 3.1
t
Y(t)
Y(t)-Y(t-1)
(Y(t)-Yср)2
λt
1
30
 
79,01
 
2
28
2
118,57
0,27
3
33
5
34,68
0,67
4
37
4
3,57
0,54
5
40
3
1,23
0,40
6
42
2
9,68
0,27
7
44
2
26,12
0,27
8
49
5
102,23
0,67
9
47
2
65,79
0,27