«Поверхностные электромагнитные волны в планарных диэлектрических волноводах»

Задача №13.
Найти фазовую скорость Vф, двух низших волн электрического типа, распространяющиеся вдоль симметричного планарного ДВ, толщиной 2d=2см, с относительной проницаемостью ε2=2.9,ε1=1.0. Длина волны генератора - λ0=3.2 см. Построить графики распределения поперечных составляющих (Hy/Hymax) векторов поля в направление, перпендикулярном диэлектрической пластине.
...

Содержание.
Теоретическая часть……………………………………………………………..3
Вывод соотношений из параграфа 2.1………………………………………………...3
Вывод соотношений из параграфа 2.3………………………………………………...6
Практическая часть курсового проекта……………………………………….14
Задача №13……………………………………………………………………………..14
Задача №17……………………………………………………………………………..19
Список литературы……………………………………………………………………………20

Задача №17.
Условие: определить распространяющиеся типы волн вдоль симметричного планарного ДВ толщиной 2d=12 мм, при частоте поля 10 ГГц. Диэлектрические проницаемости ε2=3, ε1=1.

Подставим (2.5) в граничные условия (2.2) для:
(2.6)
Объединим 2.4 и 2.6 с систему.

=> (2.7)
2.7 это система линейных однородных уравнений, т.к. все свободные члены равны 0. Однородная система имеет не нулевые решения тогда, когда ранг матрицы коэффициентов меньше числа неизвестных: Ran(A)<n.
Однородная система с одинаковым количеством уравнений и неизвестных имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель матрицы коэффициентов равен нулю (det А = 0).
Запишем определитель данной системы уравнений:
Раскроем данный определитель.
Преобразуем последнее выражение:
Получается что: (2.8)
Воспользуемся
В нашем случае получается, что где n, p=0,1,2...
И выражение 2.8 преобразуется к следующему виду:
Перейдём от к n. Тогда последнее уравнение примет следующий вид:
, где m=0,1,2... (2.9)
Уравнение 2.9 - характеристическое уравнение Е - мод, где m = 0, 1, 2,… - индекс моды.
Поскольку тангенс - функция периодическая с периодом, равным π в правой части соотношения (2.9) появилось целое кратное число π. Таким образом, при данной толщине диэлектрического волновода t существует множество решений (типов волн - мод) характеристического уравнения (2.23) с различными значениями поперечных волновых чисел h, p, q. Эти моды различаются индексом m и обозначаются, как и т.д.
Учитывая дополнительные соотношения, следующие из (2.0а) - (2.1в):
(2.10)
исключая в них постоянную распространения Г, можно получить еще 2 уравнения, которые связывают h, q, p.
В результате образуется система уравнений определяющих значения поперечных волновых чисел h,q,p для E – мод.
(2.11)
Выразим из (2.7) амплитудные коэффициенты B, C, D через AЕ и подставим их в (2.3). Таким образом, мы найдем комплексные амплитуды составляющих H - мод через произвольную амплитудную постоянную AЕ (зависит от источника возбуждения, который на данном этапе не рассматривается) и поперечные волновые числа h, q, p.
Запишем сначала систему из 2 уравнений из 2.7, откуда сможем выразить B,C через AЕ.
Получилось что , а (2.12)

Запишем ещё одно уравнение из 2.7, откуда сможем выразить D через AЕ.
Воспользуемся тем, что , тогда последнее соотношение примет вид:
(2.13)

Подставим 2.12, 2.13 в 2.3. Итого получается:
Упростив 2 уравнение системы, аналогично (т.к. выражение одинаковое) тому же, как мы делали это при выводе коэффициента D. Тогда получится следующая система:
(2.14 а)
Использую соотношения 1.5, выразим остальные составляющие электрического поля Е - мод Emx, Emz :
(2.14 б)
Определив из системы (2.11) величины h, q, p, зависящие от толщины ДВ t и от коэффициентов преломления nv сред, можно полностью рассчитать электромагнитное поле любой E-волны по формуле (2.14). Постоянная распространения находится с помощью соотношений (2.10); длина волны в диэлектрическом волноводе λв=2π/Г, а фазовая скорость Vф=ω/Г.
Комплексная постоянная AE, осталась неопределенной, поскольку исследуются «свободные», т.е. не зависящие от источника возбуждения, волны. Модуль и фаза постоянной Aн зависят от амплитуды и фазы источника возбуждения. Используя (2.14) и учитывая то что, можно найти структуру E-мод в направлении распространения волн, например:
где - комплексная амплитуда. Откуда видно, что в фиксированный момент времени вдоль оси ДВ распределение Hy - компоненты носит периодический характер с периодом, равным длине волны в диэлектрическом волноводе λВ.
Практическая часть курсового проекта.
Задача №13.
Найти фазовую скорость Vф, двух низших волн электрического типа, распространяющиеся вдоль симметричного планарного ДВ, толщиной 2d=2см, с относительной проницаемостью ε2=2.9,ε1=1.0. Длина волны генератора - λ0=3.2 см. Построить графики распределения поперечных составляющих (Hy/Hymax) векторов поля в направление, перпендикулярном диэлектрической пластине.
Решение задачи.
Запишем формулу для нахождения фазовой скорости электромагнитной волны.
Vф=ω/Г (3.1)
где ω- круговая частота (частота изменения поля в пространстве от времени), а Γ- постоянная распространения.
Круговая частота вычисляется по формуле
(3.2)
Для нахождения постоянной распространения (Γ) нужно воспользоваться следующими соотношениями.
(3.3)
Но в данных соотношениях неизвестны такие параметры как h,p,q (поперечные волновые числа). Запишем систему уравнений для вычисления данных чисел.
(3.4)
Условия связи для компонентов h,p,q следует записать в следующем виде.


так же стоит и не забывать что ДВ – симметричный (), а значит q=p.
В нашем случае требуется определить фазовую скорость для волн E0 и E1. Поэтому 3 уравнение системы (3.4) примет следующий вид:
для E0.
для E1.
Решим задачу для волны E0.
Система уравнений следующая:
(3.5)
Преобразуем данную систему уравнений, используя то, что и q=p.
Заменим t=2d, тогда
Преобразуем отдельно 1 уравнение из данной системы.
Итого получается система уравнений:
(3.6)
Решим графически данную систему уравнений. ε2=2.9,ε1=1.0.
м. м. Тогда . Изобразим каждую кривую из 3.6, и найдём точку пересечения данных кривых.



Рассмотрим место пересечения подробнее.
В точке пересечения hd=1.37, а qd=2.34, тогда q=234, h=137.
Вычислим постоянную распространения Γ использую следующие соотношения (3.3):
(1/m)
Т.к. точку пересечения не возможно точно определить, то получилось небольшое разногласие в значение Γ. Возьмём среднее значение коэффициента распространения:
Γ=305.241 (1/m).
Подсчитаем круговую частоту, используя соотношение (3.2).
рад/c
Найдём соответственно фазовую скорость для данного типа волны (E0), используя соотношение (3.1).