эконометрика теория и практика

эконометрика теория и практические задачи ...

Вариант 7
Исследовать зависимость фондоотдачи (у) в процентах на единицу основных производственных фондов (ОПФ) от среднечасовой производительности оборудования (х1) и удельного веса активной части ОПФ (х2).
№ п/п у х1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 26
33
24
29
42
24
52
26
26
45
27
54 15
36
26
24
15
33
44
34
63
44
43
31

Теоретический материал.
1. Общий вид модели парной регрессии зависимости переменной у от переменной х:
yi = β0 + β1 xi + i,
где yi - результативные переменные, i=1, 2,...,n; хi - факторные переменные; β0, β1 - неизвестные параметры модели парной регрессии; i - случайная ошибка регрессионной модели.
2. Случайная ошибка модели парной регрессии возникает на основе объективных условий, таких как:
1) условие нерепрезентативности выборки, при котором в парную регрессионную модель включается только один фактор, не способный полностью объяснить изменение результативной переменной;
2) условие ошибочного измерения переменных, участвующих в регрессионной модели.
3. Суть метода наименьших квадратов состоит в том, что нужно рассчитать такие значения коэффициентов b0 и b1, которые минимизировали бы с умму квадратов отклонений наблюдаемых значений результативной переменной у от теоретических значений , т.е. доставляли минимум функции (1):

Иными словами, если совместное распределение вероятностей  наблюдений  сделанных в любые моменты времени , такое же, что и для   наблюдений , сделанных в соответствующие  моменты времени . Поэтому, чтобы дискретный процесс был строго стационарным, взаимное распределение любой совокупности наблюдений не должно изменяться при сдвиге всех времен наблюдений вперед или назад на любое целое число 56. Как определяются автокорреляции временного ряда?Автокорреляция между уровнями временного ряда оценивается с помощью выборочного коэффициента автокорреляции, который рассчитывается по формуле:где– среднее арифметическое произведения двух рядов наблюдений, взятых с лагомl: – значение среднего уровня ряда x1+l,x2+l,…,xn: – значение среднего уровня ряда x1,x2,…,xn–l:G(xt), G(xt–l) – средние квадратические отклонения, рассчитанные для рядов наблюдений x1+l,x2+l,…,xn и x1,x2,…,xn–l соответственно.Структуру временного ряда можно определить, рассчитав несколько последовательных коэффициентов автокорреляции. В результате данных вычислений можно выявить лаг l, для которого значение выборочного коэффициента автокорреляции rlявляется наибольшим.60. Какие переменные системы уравнений называются экзогенными, эндогенными и предопределенными?Эндогенными переменными называются взаимозависимые переменные, которые определяются внутри модели (системы). Число эндогенных переменных, обозначаемых обычно буквой y, равно числу уравнений системы.Экзогенными (предопределенные) переменными называются переменные,которые определяются вне системы. Это независимые переменные, обозначаемые буквой x. К предопределенным переменным относятся и лаговые (значения переменных за предыдущие моменты времени) переменные системы.Лаговые переменные – независимые переменные за предыдущие моменты времени. Лаговыми могут быть эндогенные переменные за предшествующий период времени, и тогда они являются экзогенными.Предопределённые переменные – это экзогенные и лаговые. Вариант 7Исследовать зависимость фондоотдачи (у) в процентах на единицу основных производственных фондов (ОПФ) от среднечасовой производительности оборудования (х1) и удельного веса активной части ОПФ (х2).№ п/пух1123456789101112263324294224522626452754153626241533443463444331Корреляционный анализ. Уравнение парной регрессии. Использование графического метода. Этот метод применяют для наглядного изображения формы связи между изучаемыми экономическими показателями. Для этого в прямоугольной системе координат строят график, по оси ординат откладывают индивидуальные значения результативного признака Y, а по оси абсцисс - индивидуальные значения факторного признака X. Совокупность точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции. На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер. Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a Оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где ei – наблюдаемые значения (оценки) ошибок εi, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти. Здесь ε - случайная ошибка (отклонение, возмущение). Причины существования случайной ошибки: 1. Невключение в регрессионную модель значимых объясняющих переменных; 2. Агрегирование переменных. Например, функция суммарного потребления – это попытка общего выражения совокупности решений отдельных индивидов о расходах. Это лишь аппроксимация отдельных соотношений, которые имеют разные параметры. 3. Неправильное описание структуры модели; 4. Неправильная функциональная спецификация; 5. Ошибки измерения. Так как отклонения εi для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то: 1) по наблюдениям xi и yi можно получить только оценки параметров α и β 2) Оценками параметров α и β регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т.к. соответствуют случайной выборке; Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов). Метод наименьших квадратов дает наилучшие (состоятельные, эффективные и несмещенные) оценки параметров уравнения регрессии. Но только в том случае, если выполняются определенные предпосылки относительно случайного члена (ε) и независимой переменной (x). Формально критерий МНК можно записать так: S = ∑(yi - y*i)2 → min Система нормальных уравнений. a•n + b∑x = ∑y a∑x + b∑x2 = ∑y•x Для наших данных система уравнений имеет вид 12a + 408 b = 408 408 a + 15894 b = 13945 Домножим уравнение (1) системы на (-34), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения. -408a -13872 b = -13872 408 a + 15894 b = 13945 Получаем: 2022 b = 73 Откуда b = 0.0361 Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1): 12a + 408 b = 408 12a + 408 • 0.0361 = 408 12a = 393.27 a = 32.7725 Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.0361, a = 32.7725 Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии): y = 0.0361 x + 32.7725 Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных. Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1) xyx2y2x • y152622567639036331296108911882624676576624242957684169615422251764630332410895767924452193627042288342611566768846326396967616384445193620251980432718497291161315496129161674408408158941524813945 1. Параметры уравнения регрессии. Выборочные средние. EQ \x\to(x) = \f(∑xi;n) = \f(408;12) = 34EQ \x\to(y) = \f(∑yi;n) = \f(408;12) = 34EQ \x\to(xy) = \f(∑xiyi;n) = \f(13945;12) = 1162.08Выборочные дисперсии: EQ S2(x) = \f(∑x2i;n) - \x\to(x)2 = \f(15894;12) - 342 = 168.5EQ S2(y) = \f(∑y2i;n) - \x\to(y)2 = \f(15248;12) - 342 = 114.67Среднеквадратическое отклонение EQ S(x) = \r(S2(x)) = \r(168.5) = 12.981EQ S(y) = \r(S2(y)) = \r(114.67) = 10.708Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно: EQ b = \f(\x\to(x • y)-\x\to(x) • \x\to(y);S2(x)) = \f(1162.08-34 • 34;168.5) = 0.03611.1. Коэффициент корреляции Ковариация. EQ cov(x,y) = \x\to(x • y) - \x\to(x) • \x\to(y) = 1162.08 - 34 • 34 = 6.08Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле: EQ rxy = \f(\x\to(x • y) -\x\to(x) • \x\to(y) ;S(x) • S(y)) = \f(1162.08 - 34 • 34;12.981 • 10.708) = 0.0438Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1. Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока: 0.1 < rxy < 0.3: слабая; 0.3 < rxy < 0.5: умеренная; 0.5 < rxy < 0.7: заметная; 0.7 < rxy < 0.9: высокая; 0.9 < rxy < 1: весьма высокая; В нашем примере связь между признаком Y фактором X слабая и прямая. Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b: EQ rx,y = b\f(S(x);S(y)) = 0.0361\f(12.981;10.708) = 0.04381.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии). EQ yx = rxy \f(x - \x\to(x);S(x)) S(y) + \x\to(y) = 0.0438 \f(x - 34;12.981) 10.708 + 34 = 0.0361x + 32.77Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 0.0361 x + 32.77 Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл. Коэффициент регрессии b = 0.0361 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y повышается в среднем на 0.0361. Коэффициент a = 32.77 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями. Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо. Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения. Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь прямая. 1.3. Коэффициент эластичности. Коэффициенты регрессии (в примере b) нежелательно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак в том случае, если существует различие единиц измерения результативного показателя у и факторного признака х. Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета - коэффициенты. Средний коэффициент эластичности E показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора x на 1% от своего среднего значения. Коэффициент эластичности находится по формуле: EQ E = \f(∂y;∂x) \f(x;y) = b\f(\x\to(x);\x\to(y))EQ E = 0.0361\f(34;34) = 0.0361Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами - влияние Х на Y не существенно. 1.4. Ошибка аппроксимации. Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических: EQ \x\to(A) = \f(∑|y\s\do4(i) - y\s\do4(x)| : y\s\do4(i);n)100%Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным. EQ \x\to(A) = \f(3.375;12) 100% = 28.13%В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 28.13%. Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии. 1.6. Коэффициент детерминации. Квадрат (множественного) коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака. Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах. R2= 0.04382 = 0.00192 т.е. в 0.19 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - низкая. Остальные 99.81 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели (а также ошибками спецификации). Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 2) xyy(x)(yi-ycp)2(y-y(x))2(xi-xcp)2|y - yx|:y152633.316453.53610.28363334.0711.1540.0325262433.7110094.31640.4242933.642521.521000.16154233.316475.453610.21332433.9610099.2810.42445234.36324311.131000.34342634646400.31632635.056481.858410.35444534.36121113.191000.24432734.324953.65810.27315433.89400404.3490.3740840840813761373.3620223.38 2. Оценка параметров уравнения регрессии. 2.1. Значимость коэффициента корреляции. Выдвигаем гипотезы: H0: rxy = 0, нет линейной взаимосвязи между переменными; H1: rxy ≠ 0, есть линейная взаимосвязь между переменными; Для того чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе H1 ≠ 0, надо вычислить наблюдаемое значение критерия (величина случайной ошибки) EQ tнабл = rxy \f(\r(n-2);\r(1 - r2xy))и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k = n - 2 найти критическую точку tкрит двусторонней критической области. Если tнабл < tкрит оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если |tнабл| > tкрит — нулевую гипотезу отвергают. EQ tнабл = 0.0438 \f(\r(10);\r(1 - 0.04382)) = 0.14По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=10 находим tкрит: tкрит (n-m-1;α/2) = (10;0.025) = 2.228 где m = 1 - количество объясняющих переменных. Если |tнабл| > tкритич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается). Поскольку |tнабл| < tкрит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим Отметим значения на числовой оси. Принятие H0Отклонение H0, принятие H195%5%0.14 2.228 В парной линейной регрессии t2r = t2b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии. 2.2. Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал). EQ (r - tкрит \r(\f(1-r2;n-2)); r + tкрит \r(\f(1-r2;n-2)))Доверительный интервал для коэффициента корреляции. EQ (0.0438 - 2.228\r(\f(1-0.04382;12-2)); 0.0438 + 2.228\r(\f(1-0.04382;12-2)))r(-0.66;0.748) 2.3. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии. Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина: EQ S2 = \f(∑(yi - yx)2;n - m - 1)EQ S2 = \f(1373.36;10) = 137.336S2 = 137.336 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии). EQ S = \r(S2) = \r(137.336) = 11.72S = 11.72 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии). Sa - стандартное отклонение случайной величины a. EQ Sa = S \f(\r( ∑x2);n S(x))EQ Sa = 11.72 \f( \r(15894);12 • 12.981) = 9.48Sb - стандартное отклонение случайной величины b. EQ Sb = \f(S;\r(n) S(x))EQ Sb = \f( 11.72; \r(12) • 12.981) = 0.262.4. Доверительные интервалы для зависимой переменной. Экономическое прогнозирование на основе построенной модели предполагает, что сохраняются ранее существовавшие взаимосвязи переменных и на период упреждения. Для прогнозирования зависимой переменной результативного признака необходимо знать прогнозные значения всех входящих в модель факторов. Прогнозные значения факторов подставляют в модель и получают точечные прогнозные оценки изучаемого показателя. (a + bxp ± ε) где EQ ε = tкрит S \r(\f(1;n) + \f((\x\to(x)-xp)2;∑(xi - \x\to(x))2))tкрит (n-m-1;α/2) = (10;0.025) = 2.228 Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и Xp = 80 Вычислим ошибку прогноза для уравнения y = bx + a EQ ε = 2.228 • 11.719 \r(\f(1;12) + \f((34 - 80)2;2022)) = 27.753y(80) = 0.0361*80 + 32.773 = 35.661 35.661 ± 27.753 (7.91;63.41) С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов. Вычислим ошибку прогноза для уравнения y = bx + a + ε EQ ε = tкрит S \r(1 + \f(1;n) + \f((\x\to(x)-xp)2;∑(xi - \x\to(x))2))EQ ε = 2.228 • 11.719 \r(1 + \f(1;12) + \f((34 - 80)2;2022)) = 38.1(-2.44;73.77) Индивидуальные доверительные интервалы для Y при данном значении X. (a + bxi ± ε) где EQ ε = tкрит S \r(1 + \f(1;n) + \f((\x\to(x)-xi)2;∑(xi - \x\to(x))2 ))EQ ε = 2.228 • 11.72 \r(1 + \f(1;12) + \f((34 - xi)2;2022)) tкрит (n-m-1;α/2) = (10;0.025) = 2.228 xiy = 32.77 + 0.0361xiεiymin = y - εiymax = y + εi1533.3129.333.9862.643634.0727.26.8761.272633.7127.576.1461.282433.6427.795.8561.431533.3129.333.9862.643333.9627.186.7861.154434.3627.796.5762.15343427.186.8261.186335.0531.973.0867.024434.3627.796.5762.154334.3227.676.6562 С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов. 2.5. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии. 1) t-статистика. Критерий Стьюдента. С помощью МНК мы получили лишь оценки параметров уравнения регрессии, которые характерны для конкретного статистического наблюдения (конкретного набора значений x и y). Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Н0 о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Чтобы проверить, значимы ли параметры, т.е. значимо ли они отличаются от нуля для генеральной совокупности используют статистические методы проверки гипотез. В качестве основной (нулевой) гипотезы выдвигают гипотезу о незначимом отличии от нуля параметра или статистической характеристики в генеральной совокупности. Наряду с основной (проверяемой) гипотезой выдвигают альтернативную (конкурирующую) гипотезу о неравенстве нулю параметра или статистической характеристики в генеральной совокупности. Проверим гипотезу H0 о равенстве отдельных коэффициентов регрессии нулю (при альтернативе H1 не равно) на уровне значимости α=0.05. H0: b = 0, то есть между переменными x и y отсутствует линейная взаимосвязь в генеральной совокупности; H1: b ≠ 0, то есть между переменными x и y есть линейная взаимосвязь в генеральной совокупности. В случае если основная гипотеза окажется неверной, мы принимаем альтернативную. Для проверки этой гипотезы используется t-критерий Стьюдента. Найденное по данным наблюдений значение t-критерия (его еще называют наблюдаемым или фактическим) сравнивается с табличным (критическим) значением, определяемым по таблицам распределения Стьюдента (которые обычно приводятся в конце учебников и практикумов по статистике или эконометрике). Табличное значение определяется в зависимости от уровня значимости (α) и числа степеней свободы, которое в случае линейной парной регрессии равно (n-2), n-число наблюдений. Если фактическое значение t-критерия больше табличного (по модулю), то основную гипотезу отвергают и считают, что с вероятностью (1-α) параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности значимо отличается от нуля. Если фактическое значение t-критерия меньше табличного (по модулю), то нет оснований отвергать основную гипотезу, т.е. параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности незначимо отличается от нуля при уровне значимости α. tкрит (n-m-1;α/2) = (10;0.025) = 2.228 EQ tb = \f(b;Sb)EQ tb = \f(0.0361;0.26) = 0.14Отметим значения на числовой оси. Отклонение H0, принятие H1Принятие H0Отклонение H0, принятие H12.5%95%2.5%-2.228 0.13852854 2.228 Поскольку 0.14 < 2.228, то статистическая значимость коэффициента регрессии b не подтверждается (принимаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента). Это означает, что в данном случае коэффициентом b можно пренебречь. EQ ta = \f(a;Sa)EQ ta = \f(32.77;9.48) = 3.46Поскольку 3.46 > 2.228, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента). Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии. Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими: (b - tкрит Sb; b + tкрит Sb) (0.0361 - 2.228 • 0.26; 0.0361 + 2.228 • 0.26) (-0.545;0.617) С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале. Так как точка 0 (ноль) лежит внутри доверительного интервала, то интервальная оценка коэффициента b статистически незначима. (a - tкрит Sa; a + tкрит Sa) (32.773 - 2.228 • 9.48; 32.773 + 2.228 • 9.48) (11.64;53.905) С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале. 2) F-статистика. Критерий Фишера. Коэффициент детерминации R2 используется для проверки существенности уравнения линейной регрессии в целом. Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели. Если расчетное значение с k1=(m) и k2=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой. EQ R2 = 1 - \f(∑(yi - yx)2; ∑(yi - \x\to(y))2) = 1 - \f(1373.36;1376) = 0.00192где m – число факторов в модели. Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму: 1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H0: R2=0 на уровне значимости α. 2.