методы моделирования производственных систем

методы моделирования производственных систем
теория и практика ...

Практическая часть.
Задание 1.
Рассмотрев предложенную организационную структуру, проанализируйте ее эффективность с использованием методов моделирования производственных систем.

Для проведения структурного анализа организационной структуры предприятия представим ее в виде графа G= {X, U}, где X - множество вершин (|Х| = n), соответствующее множеству структурных элементов; U -множество ребер (|U| = m), соответствующее множеству связей между структурными элементами предприятия.

1.Системой называют совокупность взаимосвязанных элементов, предназначенную для достижения определенной цели. Система находится в постоянном взаимодействии с внешней средой, которая представляет собой совокупность всех объектов, изменение свойств которых влияет на систему, а также тех объектов, чьи свойства меняются в результате поведения системы.
Производственная система - это система организации промышленного производства. Производство в широком смысле слова - это выпуск товаров, переработка сырья и оказание связанным с этим процессом услуг (последнее иногда называется операциями).Производство - это любой процесс (процедура) превращения совокупности ресурсов в продукцию определенного качества и состава.

Для описания графа G построим матрицу смежности (таблица 1), которая для неориентированного графа имеет вид А= ||аij||, где аij- элементы матрицы смежности, определяемые следующим образом:аij =1 – при наличии связи между элементами i и jаij= 0 при отсутствии связи.Таблица1. Матрица смежности.1234567891011121314151617PiPi²ri11110.032111390.093111390.09411114160.125111390.09611240.067111390.098111390.0991110.0310111390.09111110.03121110.03131110.03141110.03151110.03161110.03171110.031. По матрице смежности определим ранг каждого элементадля нашего случая ΣΣaij= 33, Ранги структурных элементов приведены в последнем столбце таблицы 1.Чем выше ранг элемента, тем более сильно он связан с другимиэлементами и тем более тяжелыми будут последствия при потере качестваего функционирования, В нашем случае наиболее высокий ранг (0.12) имеет четвертый элемент структуры.2.Проверим связность структуры.Для связных структур (не имеющих обрывов и висячих элементов) должно выполняться условиеПравая часть неравенства определяет необходимое минимальное числосвязей в структуре графа, содержащего n вершин.Для нашего случая n (количество структурных элементов) равно 17 иусловие 1/2 33 = 17-1 выполняется, т. е. структура является связной.3. Проведем оценку структурной избыточности R, отражающейпревышение общего числа связей над минимально необходимым:где m - множество ребер графа (1/2 количества связей в матрице смежности);n - количество вершин (элементов) структуры;где aij- элементы матрицы смежности.Данная характеристика является косвенной оценкой экономичности и надежности исследуемой структуры и определяет принципиальную возможность функционирования и сохранения связей системы при отказе некоторых ее элементов. Система с большей избыточностью R потенциально более надежна, но менее экономична. Возможны три варианта: если R< 0, то система несвязная; R = 0, система обладает минимальной избыточностью; R> 0, система имеет избыточность; чем выше R, тем выше избыточность.Для нашего случая R = 33*0.5/(17-1)-1= 0,031, т. е. структура имеет избыточность.4. Определим неравномерность распределения связей - Е. данный показатель характеризует недоиспользование возможностей данной структуры, имеющей m ребер и n вершин, в достижении максимальной связности. Величина Е определяется по формулегде - вес i-гo элемента, или количество связей i-го элемента совсеми остальными.Для нашего случая Е= 3,87.Однако для сравнения различных структур по неравномерности связей используют относительную величину:где Емах - максимальное значение неравномерности связей, которое достигается в системе, имеющей максимально возможное число вершин, имеющих одну связь.Величину Е определяют но эмпирической формулеДля нашего случая у- 16.5-17=-0,5; х= 0.615Тогда Еm ах =14.35Определим величину Е для нашего случая. Е = 3.84/14.35 = 0.27 Величина E для различных типов структур изменяется от 0 (для структур с равномерным распределением связей) до 1,В нашем случае распределение связей в структуре довольно равномерное.5. Определим структурную компактность структуры Q, которая отражает общую структурную близость элементов между собой. Для этого используем формулугде dij - расстояние от элемента i до элемента j, т. е. минимальное число связей, соединяющих элементы i и j.Для определения величины общей структурной компактности построим матрицу расстояний D = ||dij|| - (таблица 2), По таблице определяем Q = 336,Таблица 2 - Матрица расстояний D1234567891011121314151617сумма1122333344444445555211122223333333444032121133222444433414212331144422225543532132441135555224863213244331555544547323144255511336654832314425553311665494324135524666633631043241355246666115911432431554466667773124342551366624477691343425513666244776914434255316664427769154342553166644277691654352466315777727417543524663157777274Однако для количественной оценки структурной компактности и возможности объективного сравнения различных организационных структур чаще используют относительный показатель определяемый по формуле:где Qmin = n (п-1) - минимальное значение компактности для структуры типа «полный граф» (каждый элемент соединен с каждым).Для нашей структуры Qmin =17*(17-1)=272.Тогда = 1008/272—1 = 2,7Структурную компактность можно характеризовать и другой характеристикой - диаметром структуры: d = maxdij, равным максимальному значению расстояния dij в матрице расстояний. Для нашей структуры d = 7.С увеличением Q0 TH и d увеличиваются средние временные задержки при обмене информацией между подразделениями, что вызывает снижение общей надежности. С этой точки зрения, структура исследуемого предприятия имеет надежность низкого уровня (максимальную надежность имеет полный граф, для которого Qотн=0, ad =1).Для характеристики степени централизации системы используется показатель центральности структурного элементакоторый характеризует степень удаленности i -го элемента от других элементов структуры.Чем меньше удален i-й элемент от других, тем больше его центральность и тем большее количество связей осуществляется через него. В нашем случае наиболее центральным является первый элемент, для которого Σdij=40-min , то есть он обладает максимальным коэффициентом центральности Zmax = 272/2*40=4.Степень центральности в структуре в целом может быть охарактеризована индексом центральности:Таким образом, δ=3.Значение степени центральности находится в диапазоне 1 ≥ 5 ≥ 0, при этом для структур с равномерным распределением связей δ = 0, для структур, имеющих максимальную степень централизации, δ = 1.Для нашего случая среднее значение степени центральности структуры предъявляет достаточные требования к пропускной способности центра (элемент 2), через который устанавливается большое число связей по приему и переработке информации, и надежности его функционирования, так как отказ центрального элемента ведет к полному разрушению структуры.Задание 2.Имеются данные по объему выпускаемой продукции и ее себестоимости:Объем выпуск.продукции,тыс.шт21292028272625242322Себестоимость продукции, ден.ед3,92,84,83,03,13,23,33,43,53,7Построить графическую зависимость между двумя показателями .Определить уравнение регрессии и коэффициент корреляции. Проанализировать полученные результаты. Решение:Уравнение парной регрессии. Использование графического метода.Этот метод применяют для наглядного изображения формы связи между изучаемыми экономическими показателями. Для этого в прямоугольной системе координат строят график, по оси ординат откладывают индивидуальные значения результативного признака Y, а по оси абсцисс - индивидуальные значения факторного признака X.Совокупность точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции. График:На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + aОценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где ei – наблюдаемые значения (оценки) ошибок εi, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.Здесь ε - случайная ошибка (отклонение, возмущение).Причины существования случайной ошибки:1. Невключение в регрессионную модель значимых объясняющих переменных;2. Агрегирование переменных. Например, функция суммарного потребления – это попытка общего выражения совокупности решений отдельных индивидов о расходах. Это лишь аппроксимация отдельных соотношений, которые имеют разные параметры.3. Неправильное описание структуры модели;4. Неправильная функциональная спецификация;5. Ошибки измерения.Так как отклонения εi для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то:1) по наблюдениям xi и yi можно получить только оценки параметров α и β2) Оценками параметров α и β регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т.к. соответствуют случайной выборке;Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов).Метод наименьших квадратов дает наилучшие (состоятельные, эффективные и несмещенные) оценки параметров уравнения регрессии. Но только в том случае, если выполняются определенные предпосылки относительно случайного члена (ε) и независимой переменной (x).Формально критерий МНК можно записать так:S = ∑(yi - y*i)2 → minСистема нормальных уравнений.a•n + b∑x = ∑ya∑x + b∑x2 = ∑y•xДля наших данных система уравнений имеет вид10a + 34.7 b = 24534.7 a + 123.33 b = 836Домножим уравнение (1) системы на (-3.47), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.-34.7a -120.41 b = -850.1534.7 a + 123.33 b = 836Получаем:2.92 b = -14.15Откуда b = -4.8442Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):10a + 34.7 b = 24510a + 34.7 • (-4.8442) = 24510a = 413.09a = 41.3095Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = -4.8442, a = 41.3095Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):y = -4.8442 x + 41.