Методы оптимальных решений

Решу задачи по экономике, бухгалтерскому учету, эконометрике, методы оптимальных решений. Сделаю реферат, курсовую. Оригинальность 80%. Цена договорная. Есть готовые работы. ...

содержание

введение

1. Проверка критерия оптимальности.Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты.2. Определение новой базисной переменной.В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x3, так как это наибольший коэффициент .3. Определение новой свободной переменной.Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai3и из них выберем наименьшее:min (- , 164/5 : 41/5 ) = 4Следовательно, 2-ая строка является ведущей.Разрешающий элемент равен (41/5) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.БазисBx1x2x3x4x5x6minx11/511/10-1/5-3/101/100-x6164/5012/541/524/5-3/514F(X2)12/5+164/5M0-23/10+12/5M-42/5+41/5M-41/10+24/5M7/10-13/5M004. Пересчет симплекс-таблицы.Формируем следующую часть симплексной таблицы.Вместо переменной x6 в план 2 войдет переменная x3.Строка, соответствующая переменной x3 в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x6 плана 1 на разрешающий элемент РЭ=41/5На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1.В остальных клетках столбца x3 плана 2 записываем нули.Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x3 и столбец x3.Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:Bx 1x 2x 3x 4x 5x 61/5-(164/5 • -1/5):41/51-(0 • -1/5):41/51/10-(12/5 • -1/5):41/5-1/5-(41/5 • -1/5):41/5-3/10-(24/5 • -1/5):41/51/10-(-3/5 • -1/5):41/50-(1 • -1/5):41/5164/5 : 41/50 : 41/512/5 : 41/541/5 : 41/524/5 : 41/5-3/5 : 41/51 : 41/5(0)-(164/5 • (-42/5+41/5M)):41/5(0)-(0 • (-42/5+41/5M)):41/5(-23/10+12/5M)-(12/5 • (-42/5+41/5M)):41/5(-42/5+41/5M)-(41/5 • (-42/5+41/5M)):41/5(-41/10+24/5M)-(24/5 • (-42/5+41/5M)):41/5(7/10-13/5M)-(-3/5 • (-42/5+41/5M)):41/5(0)-(1 • (-42/5+41/5M)):41/5Получаем новую симплекс-таблицу:БазисBx1x2x3x4x5x6x1111/60-1/61/141/21x3401/312/3-1/75/21F(X2)190-5/60-11/61/14-M11/21-M1. Проверка критерия оптимальности.Среди значений индексной строки нет положительных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.Окончательный вариант симплекс-таблицы:БазисBx1x2x3x4x5x6x1111/60-1/61/141/21x3401/312/3-1/75/21F(X3)190-5/60-11/61/14-M11/21-MТак как в оптимальном решении отсутствуют искусственные переменные (они равны нулю), то данное решение является допустимым.Оптимальный план можно записать так:x1 = 1x3 = 4F(X) = 7•1 + 3•4 = 19ЗАДАНИЕ 4Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 4x1 + x2 + 3x3 при следующих условиях-ограничений.4x1 - x2 - 2x3=3x1 + 3x2 + x3≥43x1 - x2 + x3≤12Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).В 2-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x4 со знаком минус. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. 4x1-1x2-2x3 + 0x4 + 0x5 = 31x1 + 3x2 + 1x3-1x4 + 0x5 = 43x1-1x2 + 1x3 + 0x4 + 1x5 = 12Введем искусственные переменные x: в 1-м равенстве вводим переменную x6; в 2-м равенстве вводим переменную x7; 4x1-1x2-2x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 + 0x7 = 31x1 + 3x2 + 1x3-1x4 + 0x5 + 0x6 + 1x7 = 43x1-1x2 + 1x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 + 0x7 = 12Для постановки задачи на максимум целевую функцию запишем так:F(X) = 4x1+x2+3x3 - Mx6 - Mx7 → maxЗа использование искусственных переменных, вводимых в целевую функцию, накладывается так называемый штраф величиной М, очень большое положительное число, которое обычно не задается.Полученный базис называется искусственным, а метод решения называется методом искусственного базиса.Причем искусственные переменные не имеют отношения к содержанию поставленной задачи, однако они позволяют построить стартовую точку, а процесс оптимизации вынуждает эти переменные принимать нулевые значения и обеспечить допустимость оптимального решения.Из уравнений выражаем искусственные переменные:x6 = 3-4x1+x2+2x3x7 = 4-x1-3x2-x3+x4которые подставим в целевую функцию:F(X) = 4x1 + x2 + 3x3 - M(3-4x1+x2+2x3) - M(4-x1-3x2-x3+x4) → maxилиF(X) = (4+5M)x1+(1+2M)x2+(3-M)x3+(-M)x4+(-7M) → maxМатрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:4-1-20010131-10013-110100Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.Экономический смысл дополнительных переменных: дополнительные переменные задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана.Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x6, x7, x5Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:X1 = (0,0,0,0,12,3,4)Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.БазисBx1x2x3x4x5x6x7x634-1-20010x74131-1001x5123-110100F(X0)-7M-4-5M-1-2M-3+MM000Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.Итерация №0.1. Проверка критерия оптимальности.Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.2. Определение новой базисной переменной.В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент по модулю.3. Определение новой свободной переменной.Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1и из них выберем наименьшее:min (3 : 4 , 4 : 1 , 12 : 3 ) = 3/4Следовательно, 1-ая строка является ведущей.Разрешающий элемент равен (4) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.БазисBx1x2x3x4x5x6x7minx634-1-200103/4x74131-10014x5123-1101004F(X1)-7M-4-5M-1-2M-3+MM00004. Пересчет симплекс-таблицы.Формируем следующую часть симплексной таблицы.Вместо переменной x6 в план 1 войдет переменная x1.Строка, соответствующая переменной x1 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x6 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=4На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.В остальных клетках столбца x1 плана 1 записываем нули.Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x1 и столбец x1.Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.НЭ = СЭ - (А*В)/РЭСТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (4), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:Bx 1x 2x 3x 4x 5x 6x 73 : 44 : 4-1 : 4-2 : 40 : 40 : 41 : 40 : 44-(3 • 1):41-(4 • 1):43-(-1 • 1):41-(-2 • 1):4-1-(0 • 1):40-(0 • 1):40-(1 • 1):41-(0 • 1):412-(3 • 3):43-(4 • 3):4-1-(-1 • 3):41-(-2 • 3):40-(0 • 3):41-(0 • 3):40-(1 • 3):40-(0 • 3):4(0)-(3 • (-4-5M)):4(-4-5M)-(4 • (-4-5M)):4(-1-2M)-(-1 • (-4-5M)):4(-3+M)-(-2 • (-4-5M)):4(M)-(0 • (-4-5M)):4(0)-(0 • (-4-5M)):4(0)-(1 • (-4-5M)):4(0)-(0 • (-4-5M)):4Получаем новую симплекс-таблицу:БазисBx1x2x3x4x5x6x7x13/41-1/4-1/2001/40x713/4013/43/2-10-1/41x539/40-1/45/201-3/40F(X1)3-31/4M0-2-31/4M-5-11/2MM01+11/4M0Итерация №1.1. Проверка критерия оптимальности.Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.2. Определение новой базисной переменной.В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент по модулю.3. Определение новой свободной переменной.Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2и из них выберем наименьшее:min (- , 31/4 : 31/4 , - ) = 1Следовательно, 2-ая строка является ведущей.Разрешающий элемент равен (31/4) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.БазисBx1x2x3x4x5x6x7minx13/41-1/4-1/2001/40-x731/4031/411/2-10-1/411x593/40-1/421/201-3/40-F(X2)3-31/4M0-2-31/4M-5-11/2MM01+11/4M004. Пересчет симплекс-таблицы.Формируем следующую часть симплексной таблицы.Вместо переменной x7 в план 2 войдет переменная x2.Строка, соответствующая переменной x2 в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x7 плана 1 на разрешающий элемент РЭ=31/4На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1.В остальных клетках столбца x2 плана 2 записываем нули.Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x2 и столбец x2.Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:Bx 1x 2x 3x 4x 5x 6x 73/4-(31/4 • -1/4):31/41-(0 • -1/4):31/4-1/4-(31/4 • -1/4):31/4-1/2-(11/2 • -1/4):31/40-(-1 • -1/4):31/40-(0 • -1/4):31/41/4-(-1/4 • -1/4):31/40-(1 • -1/4):31/431/4 : 31/40 : 31/431/4 : 31/411/2 : 31/4-1 : 31/40 : 31/4-1/4 : 31/41 : 31/493/4-(31/4 • -1/4):31/40-(0 • -1/4):31/4-1/4-(31/4 • -1/4):31/421/2-(11/2 • -1/4):31/40-(-1 • -1/4):31/41-(0 • -1/4):31/4-3/4-(-1/4 • -1/4):31/40-(1 • -1/4):31/4(0)-(31/4 • (-2-31/4M)):31/4(0)-(0 • (-2-31/4M)):31/4(-2-31/4M)-(31/4 • (-2-31/4M)):31/4(-5-11/2M)-(11/2 • (-2-31/4M)):31/4(M)-(-1 • (-2-31/4M)):31/4(0)-(0 • (-2-31/4M)):31/4(1+11/4M)-(-1/4 • (-2-31/4M)):31/4(0)-(1 • (-2-31/4M)):31/4Получаем новую симплекс-таблицу:БазисBx1x2x3x4x5x6x7x1110-5/13-1/1303/131/13x21016/13-4/130-1/134/13x5100034/13-1/131-10/131/13F(X2)500-41/13-8/13011/13+M8/13+MИтерация №2.1. Проверка критерия оптимальности.Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.2. Определение новой базисной переменной.В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x3, так как это наибольший коэффициент по модулю.3. Определение новой свободной переменной.Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai3и из них выберем наименьшее:min (- , 1 : 6/13 , 10 : 28/13 ) = 21/6Следовательно, 2-ая строка является ведущей.Разрешающий элемент равен (6/13) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.БазисBx1x2x3x4x5x6x7minx1110-5/13-1/1303/131/13-x21016/13-4/130-1/134/1321/6x5100028/13-1/131-10/131/13314/17F(X3)500-41/13-8/13011/13+M8/13+M04. Пересчет симплекс-таблицы.Формируем следующую часть симплексной таблицы.Вместо переменной x2 в план 3 войдет переменная x3.Строка, соответствующая переменной x3 в плане 3, получена в результате деления всех элементов строки x2 плана 2 на разрешающий элемент РЭ=6/13На месте разрешающего элемента в плане 3 получаем 1.В остальных клетках столбца x3 плана 3 записываем нули.Таким образом, в новом плане 3 заполнены строка x3 и столбец x3.Все остальные элементы нового плана 3, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:Bx 1x 2x 3x 4x 5x 6x 71-(1 • -5/13):6/131-(0 • -5/13):6/130-(1 • -5/13):6/13-5/13-(6/13 • -5/13):6/13-1/13-(-4/13 • -5/13):6/130-(0 • -5/13):6/133/13-(-1/13 • -5/13):6/131/13-(4/13 • -5/13):6/131 : 6/130 : 6/131 : 6/136/13 : 6/13-4/13 : 6/130 : 6/13-1/13 : 6/134/13 : 6/1310-(1 • 28/13):6/130-(0 • 28/13):6/130-(1 • 28/13):6/1328/13-(6/13 • 28/13):6/13-1/13-(-4/13 • 28/13):6/131-(0 • 28/13):6/13-10/13-(-1/13 • 28/13):6/131/13-(4/13 • 28/13):6/13(8/13+M)-(1 • (-41/13)):6/13(0)-(0 • (-41/13)):6/13(0)-(1 • (-41/13)):6/13(-41/13)-(6/13 • (-41/13)):6/13(-8/13)-(-4/13 • (-41/13)):6/13(0)-(0 • (-41/13)):6/13(11/13+M)-(-1/13 • (-41/13)):6/13(8/13+M)-(4/13 • (-41/13)):6/13Получаем новую симплекс-таблицу:БазисBx1x2x3x4x5x6x7x111/615/60-1/301/61/3x313/6013/61-2/30-1/62/3x513/30-17/305/31-1/3-5/3F(X3)135/6085/60-31/301/6+M31/3+MИтерация №3.1. Проверка критерия оптимальности.Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.2. Определение новой базисной переменной.В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x4, так как это наибольший коэффициент по модулю.3. Определение новой свободной переменной.Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai4и из них выберем наименьшее:min (- , - , 41/3 : 12/3 ) = 23/5Следовательно, 3-ая строка является ведущей.Разрешающий элемент равен (12/3) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.БазисBx1x2x3x4x5x6x7minx115/615/60-1/301/61/3-x321/6021/61-2/30-1/62/3-x541/30-52/3012/31-1/3-12/323/5F(X4)135/6085/60-31/301/6+M31/3+M04.