Теория вероятности и математическая статистика

8 решенных задач по Теории вероятности и математической статистике ...

Задача №1.
Стрелок делает три выстрела по мишени. Аi – событие, заключающееся в том, что стрелок попал при i-том выстреле (i=1;2;3). Найти выражения для событий:
A – стрелок попал на втором выстреле,
B – стрелок попал только один раз,
C – стрелок попал все три раза,
D – стрелок попал не менее двух раз,
E – стрелок не попал ни одного раза.
Указать (если есть) несовместные события, противоположные события. Найти пару событий, среди которых одно влечёт наступление другого.
Задача №2.
В читальном зале 7 учебников по теории вероятностей, из которых 4 в переплёте. Библиотекарь наудачу взял 3 учебника. Найти вероятности следующих событий:
A – все выбранные учебники оказались в переплёте (попробовать решить двумя способами: через сочетания, через условную вероятность),
B – 2 учебника оказались в переплёте,
C – хотя бы один учебник в переплёте.
Задача №3.
В круг радиуса 6 см помещён меньший круг радиуса 3 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадёт также и в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.
Задача №4.
В электрической цепи три элемента. Тока в цепи нет. Вероятность того, что первый элемент испорчен 0,3, вероятность того, что второй элемент испорчен 0,6, вероятность того, что третий элемент испорчен 0,5. Найти вероятности следующих событий:
A – только один элемент испорчен, B – по крайней мере один элемент испорчен.
Задача №5.
В семье двое детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными 0,5, найти закон распределения случайной величины ξ – числа мальчиков в семье.
(Для решения задачи воспользоваться схемой Бернулли).

Задача №7.
Непрерывная случайная величина ξ задана функцией распределения

1) Найти плотность распределения вероятностей сл.величины ξ, проверить выполнимость условия нормировки;
2) Определить мат. ожидание и дисперсию сл. величины ξ.
При изучении некоторого признака из генеральной совокупности была извлечена выборка:
11, 10, 9, 12, 11, 10, 13, 10, 9, 10.
1) Составить распределение частот и относительных частот и построить полигон частот;
2) Найти несмещённую оценку генеральной средней признака;
3) Найти смещённую и несмещённую оценки генеральной дисперсии признака.

8 решенных задач по Теории вероятности и математической статистике

Число всевозможных способов выбора 3 учебников из 7 равно , среди них благоприятных способов Тогда .Найдем вероятность события C= «хотя бы один учебник в переплете». Рассмотрим противоположное событие C= «ни один учебник не в переплете». Эти события несовместны, тогда событие C+C заключается в том, что произойдет либо только событие C, либо только событие C, то есть событие C+C достоверное. Тогда PC+C=1, но PC+C=PC+P(C). Поэтому PC=1-P(C). Вероятность события C по теореме о вероятности произведения зависимых события равна , тогда .Задача №3.В круг радиуса 6 см помещён меньший круг радиуса 3 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадёт также и в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависитот его расположения.Решение:Обозначим событие A= {точка, брошенная в большой круг, попадёт в малый круг}.В соответствии с геометрическим определение вероятности события , где mes(G) — геометрическая мера, выражающая общее число всех возможных и равновозможных исходов данного испытания, а mesA — мера, выражающая количество благоприятствующих событию исходов. Здесь mesG=Sвнешнего круга=πr2=π⋅62=36π, mesA=Sвнутреннего круга=πr2=π⋅32=9π, тогда .Задача №4.В электрической цепи три элемента. Тока в цепи нет. Вероятность того, что первый элемент испорчен 0,3, вероятность того, что второй элемент испорчен 0,6, вероятность того, что третий элемент испорчен 0,5. Найти вероятности следующих событий:A – только один элемент испорчен, B – по крайней мере один элемент испорчен.Решение:Событие A= «только один элемент испорчен», событие B= «по крайней мере один элемент испорчен».Обозначим вероятности испорченности i-го элемента (i=1, 2, 3) через Pi, тогда по условию задачи P1=0,3, P2=0,6, P3=0,5. Так как вероятности Pi не зависят друг от друга, то по теореме о вероятности произведения независимых событий PA=P1P2P3+P1P2P3+P1P2P3=0,3⋅1-0,6⋅1-0,5++ 1-0,3⋅0,6⋅1-0,5+1-0,3⋅1-0,6⋅0,5=0,41. Вероятность события B проще всего найти, используя противоположное событие B = «ни один элемент не испорчен», то есть PB=1-PB==1-P1P2P3=1-1-0,3⋅1-0,6⋅1-0,5=0,86.Задача №5.В семье двое детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными 0,5, найти закон распределения случайной величины ξ – числа мальчиков в семье. (Для решения задачи воспользоваться схемой Бернулли).Решение:Пусть случайная величина ξ — число мальчиков в семье. Значения, которые может принимать ξ: 0, 1, 2. Вероятности этих значений можно найти по формуле Pξ=k=Cnk⋅pk⋅1-pn-k, где n=2 — число независимых испытаний, p=0,5 — вероятность появления события в серии из n испытаний. Получаем:Pξ=0=C20⋅0,50⋅1-0,52-0=0,52=0,25;Pξ=1=C21⋅0,5⋅1-0,52-1=2⋅0,5⋅0,5=0,5;Pξ=2=C22⋅0,52⋅1-0,52-2=0,52=0,25.Тогда закон распределения случайной величины ξ есть соответствие между значениями 0, 1, 2 и их вероятностями, то есть:ξ012P(ξ)0,250,50,25Сумма вероятностей в законе распределения должна быть равна 1, то есть .Задача №6.Дискретная случайная величина X задана законом распределения: Xi4679Pi0,20,30,40,1Составить многоугольник распределения сл. величины X;Найти функцию распределения сл. величины X;Определить мат. ожидание и дисперсию сл. величины X;Найти вероятность события .Решение:Составим многоугольник распределения случайной величины ξ. Для этого в декартовой системе координат Oxy по оси ординат отложим значения случайной величины ξ, а по оси абсцисс вероятности P(ξ) этих значений.