Эконометрика

Контрольная работа по Эконометрике
РЭУ им.Плеханова, заочное отделение, работа была оценена на 5 ...

1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи y и x .
2. Построить уравнение линейной парной регрессии; определить для него коэффициент детерминации и среднюю относительную ошибку аппроксимации.
3. На поле корреляции построить график полученной кривой.
4. Дать с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результирующим признаком.
5. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и модели в целом, а также построить интервальную оценку коэффициентов линейной регрессии с надежностью 0,95.
6. Выполнить прогноз заработной платы y при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума x, составляющего 107% от среднего уровня, и оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.
7. Построить гиперболическую регрессионную модель зависимости среднедневной заработной платы от среднедушевого прожиточного минимума, вычислить индекс корреляции и детерминации, а также статистическую значимость уравнения регрессии по критерию на уровне .
8. Построить степенную регрессионную модель, оценить её точность по индексу детерминации и средней относительной ошибки аппроксимации и установить значимость уравнения регрессии по критерию (на уровне ).
9. На поле корреляции построить графики полученных нелинейных кривых.
10. Сравнить модели парной регрессии (включая линейную) по индексу детерминации и средней относительной ошибки аппроксимации и выбрать наилучшую.
и т.

3 задачи

Найдем значения выборочной дисперсии и СКО для :σy2=33445-180,72=792,01, σy=28,143 . Найдем индекс корреляции:R=1-4273,710·792,01=0,6785.Индекс корреляции близок к единице и это указывает на тесную гиперболическую связь между изучаемыми признаками. Рассчитаем индекс детерминации:R2=0,67852=0,4604.Значение индекса детерминации не очень близко к единице и по нему следует, что з/п по этой модели на 46,04% обусловлена таким фактором, как среднедушевой прожиточный минимум. Проверим качество модели по средней относительной ошибке аппроксимации, вычислив : =10,812.По видно, что в среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 10,8%, что говорит о хорошем качестве модели по этому критерию. Вычислим средний коэффициент эластичности:Найдем производную . Отсюда Э̅=--16326354,12·95,3+-16326=0,9372.Он показывает, что при увеличении среднедушевого прожиточного минимума на 1 % от среднего значения з/п в среднем возрастает на 0,94%. Рассчитаем критерий Фишера (в нашем случае ):F=0,46041-0,4604·8=6,8256.Табличное значение =5,3177 определяем с помощью встроенной статистической функции FРАСПОБР по уровню значимости и числам свободы и k2=n-2=8. Поскольку , то можно сделать вывод о хорошей аппроксимации статистических данных построенной моделью.8. Построим степенную модель . Эта модель является нелинейной по параметру .Выполнив преобразования линеаризованная модель примет вид: . Здесь , .№xiyi xi'yi' xi'yi'xi'2ỹiei=yi-ỹiei2ỹi-y̅(ỹi-y̅)2Ai1851334,4434,8921,72619,737160,11-27,11734,71-20,59424,13620,382891434,4894,96322,27620,148167,62-24,62605,94-13,08171,19417,2143901474,54,9922,45620,248169,49-22,49505,95-11,21125,58915,30241091984,6915,28824,80922,009205,15-7,15351,16924,453597,9613,612751122104,7185,34725,2322,264210,78-0,7820,611330,082904,920,37236962074,5645,33324,3420,833180,7626,243688,710,05670,0032112,6787921894,5225,24223,70220,447173,2515,752248,12-7,45255,53188,33448781784,3575,18222,57618,981146,9631,04963,51-33,741138,4217,4389941884,5435,23623,79120,64217710,998120,95-3,69813,67175,8497101082144,6825,36625,12421,922203,2810,723114,9822,577509,7175,0108Сумма953180745,5151,84236,03207,231794,412,6074034,7-12,613941,14106,19Среднее95,3180,74,5515,18423,60320,723179,441,2607403,47-1,261394,11410,619Введем исходные данные , в таблицу по столбцам и рассчитаем колонки , , , . Вычисляем суммы и средние значения столбцов с помощью функций СУММ(…) и СРЗНАЧ(…).Выполним расчет параметров уравнения регрессии:b1=23,603-4,55092·5,183820,723-4,55092·4,55092=0,9969, b’0=5,1838-0,9969·4,55092=0,647.Найдем оценку коэффициента :b0=e0,647=1,9098.В результате построена степенная модель ỹ=1,9098x0,9969. Вычислим на основе модели значения з/п по формуле:3691890323850ỹi=1,9098xi0,9969 i=1,10Далее вычисляются остатки , их квадраты , разности , а также их квадраты . В итоге в строке «Сумма» колонки таблицы определится факторная сумма квадратов QR=3941,14. Построим график функции на поле корреляции с помощью Мастера диаграмм и убедимся, что кривая неплохо представляет искомую зависимость. Найдем индекс корреляции (значение σy2=792,01 определено ранее):R=3941,1410·792,01=0,70542.Близость индекса корреляции к единице указывает на тесную степенную связь между изучаемыми признаками. Рассчитаем индекс детерминации:R2=(0,70542)2=0,49761.Из значения индекса детерминации следует, что з/п по этой модели на 49,76% обусловлена прожиточным минимумом. Оценим качество модели по средней относительной ошибке аппроксимации, вычислив : =10,619.По видно, что в среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 10,61%, что говорит о неплохом качестве модели по этому критерию. Вычислим средний коэффициент эластичности:Найдем производную:. Отсюда Э̅=b1=0,9969.Из этого следует, что при увеличении среднедушевого прожиточного минимума на 1 % от среднего значения з/п в среднем возрастает на 0,99%. Рассчитаем критерий Фишера: F=0,497611-0,49761·8=7,92397.Табличное значение =5,3177 уже ранее определено. Так как выполняется неравенство , то можно сделать вывод о надежности и статистической значимости степенной модели.9. Для сравнения двух нелинейных моделей составим итоговую таблицу со значениями средней относительной ошибки аппроксимации и индекса детерминации:МодельАR2Гиперболическая10,810,4604Степенная10,620,4976Линейная10,680,4926Из таблицы видно, что по средней ошибке аппроксимации лучшей является степенная модель, и по индексу детерминации – степенная. Для практического использования можно рекомендовать степенную модель.Задача 2. Изучается влияние стоимости основных x1 и оборотных x2 средств на величину валового дохода y торговых предприятий. Для этого по 12 торговым предприятиям были получены данные, приведенные в таблице 2.2 (все величины измеряются в млн. руб.). Табл. 2.2Номер вариантаПеременныеНомер предприятия1234567891011127x14,34,24,54,245,56,34,85,47,17,97x2111515161719202121202222y777888889111011Требуется: 1. Полагая, что между переменными y, x1, x2 существует линейная корреляционная зависимость, найти ее аналитическое выражение (уравнение регрессии y по x1 и x2 ) и пояснить экономический смысл параметров регрессии.2. Установить раздельное влияние на величину валового дохода двух факторов - основных и оборотных средств через стандартизованные коэффициенты регрессии и средние коэффициенты эластичности. 3. Проверить значимость коэффициентов регрессии и построить для них 95% доверительные интервалы.4. Сравнить значения скорректированного и не скорректированного коэффициентов множественной детерминации и проверить значимость полученного уравнения регрессии по критерию на уровне =0,05.5. С помощью частных F-критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора x1 после x2 , и фактора x2 после x1.Решение выполним в среде MS Excel.Сформируем расчетную таблицу следующей структуры:№ x1x2yx12x22y2x1x2x1yx2yỹee214,311718,491214947,330,1776,920,0830,00724,215717,64225496329,41057,28-0,2830,0834,515720,252254967,531,51057,49-0,4930,24344,216817,642566467,233,61287,390,6080,3754178162896468321367,360,6390,40965,519830,2536164104,5441528,63-0,6280,39576,320839,694006412650,41609,3-1,2971,68284,821823,0444164100,838,41688,36-0,3560,12795,421929,1644181113,448,61898,780,2240,05107,1201150,4140012114278,12209,861,1431,307117,9221062,41484100173,87922010,6-0,6350,40312722114948412115477242100,9950,99Сумма65,2219102374412789012285721902102-3E-136,062Среднее5,43318,38,531,17343,974,2102,347,7158,58,5-2E-140,505Введем исходные данные , , в таблицу по столбцам и рассчитаем колонки , , , , , ,. Вычисляем суммы и средние значения столбцов с помощью встроенных функций СУММ(…) и СРЗНАЧ(…).Сформируем на свободном поле числовые матрицы: 12 65,2 219 X'X= 65,2 373,98 1227,5 , 219 1227,5 4127 102X'Y= 572,1 , 1902Находим обратную матрицу : 2,6435 -0,019 -0,135(X'X)-1= -0,019 0,1127 -0,033 -0,135 -0,033 0,01712,7099b= 0,69980,1089Таким образом, уравнение регрессии в натуральном масштабе имеет вид:ỹ=2,7099+0,6998x1+0,1089x2 .Из него следует, что при увеличении основных средств на 1 млн.руб. валовый доход увеличивается в среднем на 0,6998 млн.руб., а увеличение оборотных средств на 1млн.руб. приводит к увеличению в среднем на 0,1089 млн.руб..Найдем дисперсии и средние квадратические отклонения переменных:σ2х1=31,165-5,43332=1,6439 , σх1=1,6439=1,2821σ2х2=343,92-18,252=10,854 , σх2=10,854=3,2946σ2y=74,167-8,52=1,9167 , σy =1,9167=1,3844Вычислим стандартизованные коэффициенты регрессии:a1=0,6998·1,28211,3844=0,6481 , a2=0,1089·3,29461,3844=0,2592 Уравнение регрессии в стандартизованном масштабе записывается:ty=0,6481tx1+0,2592tx2Оно показывает, что с ростом фактора на одно при неизменности второго фактора рост добычи угля на одного рабочего увеличивается в среднем на 0,6481 , а при увеличении только на одно результат увеличивается в среднем на 0,2592. Отсюда видно, что первый фактор оказывает большее воздействие на результат, чем второй фактор.Определим средние коэффициенты эластичности:Э̅1=0,6998·5,43338,5=0,4473 , Э̅2=0,1089·18,258,5=0,2339 .Таким образом, увеличение по отдельности переменных , на 1% приводит в среднем к росту результата на 0,4473% и 0,2339% соответственно.Из этого также следует, что фактор оказывает большее влияние на , нежели фактор .Вычислим предсказанные моделью значения по формуле:442531513335ỹi=2,7099+0,6998x1i+0,1089x2i i=1,12и тем самым заполним колонку расчетной таблицы. Далее вычисляются остатки и их квадраты . В итоге в строке "Сумма" колонки таблицы определится остаточная сумма квадратов Qв=6,0623.Находим стандартную ошибку уравнения регрессии:s=6,0623/9=0,8207, mb1=0,82070,1127=0,2755, mb0=0,82072,6435=1,3344, mb2=0,8207(0,0171)=0,1072. Рассчитаем статистики Стьюдента:tb0=2,70991,3344=2,0308, tb1=0,69980,2755=2,5397,tb2=0,10890,1072=1,0159.Найдем с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР(…) табличное значение tкр=2,2622 по уровню значимости и числу степеней свободы k=n-p-1=9. Сравнение модулей расчетных значений с табличным указывает на статистическую значимость параметра . Параметры же и не является значимым.Построим интервальную оценку только для коэффициента . Для этого определим предельную ошибку, которая в 95% случаев не будет превышена:∆b1=2,2622·0,2755=0,6233;0,6998-0,6233=0,0765; 0,6998+0,6233=1,3231 ;0,0765≤β≤1,3231.Из него следует, что с надежностью 0,95 за счет увеличения основных средств на 1 млн.руб. переменная будет увеличиваться по разным предприятиям в пределах от 0,0765 тонн до 1,3231 млн.руб..4. Вычислим парные коэффициенты корреляции:ryx1= 47,675-5,4333·8,51,2821·1,3844=0,8404; ryx2= 158,5-18,25·8,53,2946·1,3844=0,7399.Определим множественный коэффициент корреляции:R=0,6481·0,8404+0,2592·0,7399=0,8581.Множественный коэффициент корреляции достаточно высокий, что свидетельствует о существенной линейной зависимости результата от включенных в модель факторов.Далее находим множественный коэффициент детерминации:R2=(R)2=0,7364.Таким образом, на 74% включенные в модель факторы определяют воздействие на переменную , а на все остальные факторы, не включенные в модель, приходится 26%. Скорректируем коэффициент детерминации:R€2=1-1191-0,7364=0,6778.Рассчитаем дисперсионное отношение Фишера:F=0,73641-0,7364·92=12,573.Табличное значение = 4,2565 определяем с помощью встроенной статистической функции FРАСПОБР по уровню значимости и числам свободы и k2=n-p-1=9. Поскольку , то можно сделать вывод о статистической значимости построенной модели.