Решенная контрольная по предмету "Теория вероятностей и математическая статистика"

Восемь подробно решенных задач с гистограммами, полигонами частот, эмпирической функцией распределения.

1. Дана выборка (...) Построить гистограммы частот и относительных частот.
2. Из генеральной совокупности извлечена выборка. Найти несмещенную оценку генеральной средней.
3. Одним и тем же прибором со средним квадратическим отклонением случайных ошибок измерений =40м произведено 5 равноточных измерений расстояний от орудия до цели. Найти доверительный интервал для оценки истинного расстояния а до цели с надежностью =0,95, зная среднее арифметическое результатов измерений . Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.
4. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n =21 и по ней исправленная выборочная дисперсия . Требуется при уровне значимост ...

Решения задач

Условия, решения задач, выводы

Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу , приняв в качестве конкурирующей гипотезы .Решение:Находим наблюденное значение критерия:набл2=n-1s2σ02=21-1*16,215=21,6По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид σ2>15, поэтому критическая область правосторонняя.По таблице «Критические точки распределения 2» , по уровню значимости 0,01 и числу степеней свободы k=n-1=21-1=20 находим критическую точку крит 2 (0,01; 20) = 37,6.Т.к. набл 2<крит 2, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. На уровне значимости 0,05 требуется проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных средних нормальных совокупностей X и Y при конкурирующей гипотезе по малым независимым выборкам, объемы которых n=10 и m=16.Получены следующие результаты:xi12,312,512,813,013,5ni12421yi12,212,313,0mi682Решение:Выборочные средние:xв=(nixi)n=12,3*1+12,5*2+12,8*4+13*2+13,5*110=12810=12,8 yв=(miyi)m=12,2*6+12,3*8+13*216=197,616=12,35 Перейдем к условным вариантам:ui=10xi-129vi=10xi-126ui-6-4-116ni12421vi-4-34mi682Su2=niui2-niui2/nn-1=110-121109=10.88, Sx2=Su2102=0,11;Sv2=mivi2-mivi2/mm-1=200-10015=6.67, Sy2=0,07.Исправленные дисперсии различны.Тнабл=x-yn-1*Sx2+m-1*Sy2*n*mn+m-2n+m=3,7По условию конкурирующая гипотеза имеет вид H1: M(X) > M(Y), следовательноk=n+m-2=10+16-2=24.tправост. крит.0,05;24=1,71 (по таблице)Т.к. Тнабл > t правост. крит. , то нулевая гипотеза отвергается.Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением извлечена выборка объема n=100 и по ней найдена выборочная средняя . Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе .Решение:При конкурирующей гипотезе Н0: а ≠ а0 нужно вычислить наблюдаемое значение критерия по формуле:Uнабл=(x-a0)nσUнабл=(27,56-26)1005,2=1,565,2=3 По таблице для функции Лапласа находим критическую точку uкр двусторонней критической области из равентсва Фuкр=1-α2.В данном случае, uкр = 1,96.Если |Uнабл| < uкр, тонет оснований отвергать гипотезу Н0. Если |Uнабл| > uкр , то нулевая гипотеза Н0 отвергается.В данном случае, т.к. |Uнабл| = 3 > uкр =1,96, то нулевая гипотеза отвергается.Приведены результаты независимых наблюдений над случайной величиной Х. Требуется: а) сгруппировать эти данные в интервальную таблицу, подобрав длину интервала; б) построить гистограмму, полигон частот и эмпирическую функцию распределения; в) найти числовые характеристики выборки – выборочную среднюю и выборочную дисперсию. При составлении интервальной таблицы следует все интервалы выбирать одинаковой длины таким образом, чтобы минимальное значение выборки вошло в первый, а максимальное значение выборки – в последний интервал.48, 29, 6, 18, 24, 30, 35, 25, 17, 23, 27, 33, 28, 19, 14, 6, 24, 36, 42, 47, 40, 28, 12, 7, 25, 27, 15, 6, 16, 25Решение:а) Составим ранжированный вариационный ряд (выпишем варианты в порядке возрастания):6, 6, 6, 7, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 23, 24, 24, 25, 25, 25, 27, 27, 28, 28, 29, 30, 33, 35, 36, 40, 42, 47, 48Находим наибольшее и наименьшее значение:xmax = 48xmin = 6Нужное количество групп может быть ориентировочно вычислено по формуле Стерджесса:k=1 + 3,322 lg n = 1+ 3,322 lg30 = 5,907Число групп принимаем равным 6 (округляем в большую сторону).