Контрольная работа по Эконометрике вариант 1 (СПБГУСЭ)

Контрольная работа выполнена по методичке СПБГУСЭ. Условия задач написаны в введении ...

-

Вариант №1.
Задача №1.
По территориям Южного федерального округа РФ приводятся данные за 2000 год:
Территории федерального округа Валовой региональный продукт, млрд. руб., Y Инвестиции в основной капитал, млрд. руб., X
1. Респ. Адыгея 5,1 1,264
2. Респ. Дагестан 13,0 3,344
3. Респ. Ингушетия 2,0 0,930
4. Кабардино-Балкарская Респ. 10,5 2,382
5. Респ. Калмыкия 2,1 6,689
6. Карачаево-Черкесская Респ. 4,3 0,610
7. Респ. Северная Осетия – Алания 7,6 1,600
8. Краснодарский край1) 109,1 52,773
9. Ставропольский край 43,4 15,104
10. Астраханская обл. 18,9 12,633
11. Волгоградская обл. 50,0 10,936
12. Ростовская обл. 69,0 20,014
Итого,  225,9 75,506
Средняя 20,536 6,8642
Среднее квадратическое отклонение,  21,852 6,4427
Дисперсия, D 477,50 41,5079

1) Предварительный анализ исходных данных выя вил наличие одной территории (Краснодарский край) с аномальными значениями признаков. Эта территория исключена из дальнейшего анализа. Значения показателей в итоговых строках приведены без учёта указанной аномальной единицы.
Задание:
1. Расположите территории по возрастанию фактора X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.
2. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о возможной форме и направлении связи.
3. Рассчитайте параметры а1 и а0 парной линейной функции и линейно-логарифмической функции
4. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции (ryx и ηylnx) и детерминации (r2yx и η2ylnx), проанализируйте их значения.
5. Надёжность уравнений в целом оцените через F-критерий Фишера для уровня значимости =0,05.
6. На основе оценочных характеристик выберите лучшее уравнение регрессии и поясните свой выбор.
7. По лучшему уравнению регрессии рассчитайте теоретические значения результата ( ), по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите среднюю ошибку аппроксимации - ε'ср., оцените её величину.
8. Рассчитайте прогнозное значение результата , если прогнозное значение фактора ( ) составит 1,062 от среднего уровня ( ).
9. Рассчитайте интегральную и предельную ошибки прогноза (для =0,05), определите доверительный интервал прогноза ( ; ), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала ( ), оценив точность выполненного прогноза.


Задача № 2.
Проводится анализ значений социально-экономических показателей по территориям Северо-Западного федерального округа РФ за 2000 год:
Y – Валовой региональный продукт, млрд. руб.;
X1 – Инвестиции 2000 года в основной капитал, млрд. руб.;
X2 – Среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.;
X3 – Кредиты, предоставленные в 2000 году предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам, млрд. руб.
Требуется изучить влияние указанных факторов на стоимость валового регионального продукта.
Предварительный анализ исходных данных по 10 территориям выявил наличие одной территории (г.Санкт-Петербург) с аномальными значениями признаков. Эта единица должна быть исключена из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учёта указанной аномальной единицы.
При обработке исходных данных получены следующие значения:
А) - линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений -σ:
N=9.
Y X1 X2 X3
Y 1 0,7677 0,8653 0,4237
X1 0,7677 1 0,8897 0,0157
X2 0,8653 0,8897 1 -0,0179
X3 0,4237 0,0157 -0,0179 1
Средняя 31,92 8,87 121,18 0,5683
σ 14,61 5,198 48,19 0,6942

Б) - коэффициентов частной корреляции
Y X1 X2 X3
Y 1 -0,1462 0,8737 0,8791
X1 -0,1462 1 0,5562 0,1612
X2 0,8737 0,5562 1 -0,7842
X3 0,8791 0,1612 -0,7842 1

Задание:
1. По значениям линейных коэффициентов парной и частной корреляции выберите неколлинеарные факторы и рассчитайте для них коэффициенты частной корреляции. Проведите окончательный отбор информативных факторов во множественную регрессионную модель.
2. Выполните расчёт бета коэффициентов () и постройте с их помощью уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Проанализируйте с помощью бета коэффициентов () силу связи каждого фактора с результатом и выявите сильно и слабо влияющие факторы.
3. По значениям -коэффициентов рассчитайте параметры уравнения в естественной форме (a1, a2 и a0). Проанализируйте их значения. Сравнительную оценку силы связи факторов дайте с помощью общих (средних) коэффициентов эластичности - .
4. Оцените тесноту множественной связи с помощью R и R2, а статистическую значимость уравнения и тесноту выявленной связи - через F-критерий Фишера (для уровня значимости =0,05).
5. Рассчитайте прогнозное значение результата, предполагая, что прогнозные значения факторов составят 102,1 процента от их среднего уровня.
6. Основные выводы оформите аналитической запиской.

Задача № 3.
Данные о стоимости экспорта ( ) и импорта ( ) Индии, млрд. $, приводятся за 1990-1999 гг.
В уровнях рядов выявлены линейные тренды:
для экспорта - , а для импорта –
По указанным трендам произведено выравнивание каждого ряда, то есть рассчитаны теоретические значения их уровней: и .

Годы Экспорт (St) Импорт (Kt)
Sфакт. =
K факт..

1990 18,0 16,4 23,6 18,5
1991 17,7 18,7 20,4 21,4
1992 19,6 21,0 23,6 24,3
1993 21,6 23,3 22,8 27,2
1994 25,1 25,6 26,8 30,1
1995 30,8 27,9 34,5 33,0
1996 33,1 30,2 37,4 35,9
1997 34,2 32,5 41,0 38,8
1998 32,9 34,8 42,2 41,7
1999 36,3 37,1 44,9 44,6

Предварительная обработка исходной информации дала следующие результаты:

St Kt t
St 1 0,9725 0,9658
Kt 0,9725 1 0,9558
T 0,9658 0,9558 1
Итого 269,3 317,2 55
Средняя 26,93 31,72 5,5

6,926 8,795 2,872

Задание:
1. Для изучения связи рядов рассчитайте отклонения фактических значений каждого ряда от теоретических ( );
2. Для оценки тесноты связи рассчитайте: а) линейный коэффициент парной корреляции отклонений от линии тренда: ; б) уровней рядов: и в) коэффициент частной корреляции уровней: ; поясните их значения, укажите причины различий значений парных коэффициентов корреляции (пп. «а» и «б») и схожести коэффициентов парной корреляции отклонений и частной корреляции уровней (пп. «а» и «в»);
3. Постройте уравнение множественной регрессии с участием временной составляющей:

4. Проанализируйте полученные результаты.

—
—
—
Δа1=
15150,1
3,016
—
—
—
—
—
Расчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты:
; .
В конечном счёте,получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:
В уравнении коэффициент регрессии а1 = 3,016 означает, что при увеличении доходов населения на 1 тыс. руб. (от своей средней) объём розничного товарооборота возрастет на 3,016 млрд. руб. (от своей средней).
Свободный член уравнения а0 = -0,164 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на объём розничного товарооборота.
Относительную оценку силы связи даёт общий (средний) коэффициент эластичности:
В нашем случае, когда рассматривается линейная зависимость, расчётная формула преобразуется к виду:
Это означает, что при изменении общей суммы доходов населения на 1% от своей средней оборот розничной торговли увеличивается на 1,01 процента от своей средней.
Для оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:
Коэффициент корреляции, равный 0,889, показывает, что выявлена весьма тесная зависимость между общей суммой доходов населения за год и оборотом розничной торговли за год. Коэффициент детерминации, равный 0,79, устанавливает, что вариация оборота розничной торговли на 79% из 100% предопределена вариацией общей суммы доходов населения; роль прочих факторов, влияющих на розничный товарооборот, определяется в 21%, что является сравнительно небольшой величиной.
Для оценки статистической надёжности выявленной зависимости дохода от доли занятых рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера – Fфактич. и сравним его с табличным значением – Fтабл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе , то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости α=0,05). ; где - число факторов в уравнении; - число изучаемых объектов.
Фактическое значение критерия показывает, что факторная вариация результата почти в 34 раза больше остаточной вариации, сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными, а являются результатом систематического взаимодействия оборота розничной торговли и общей суммы доходов населения. Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным значением критерия: при степенях свободы d.f.1=k=1 и d.f.2=n-k-1=11-1-1=9 и уровне значимости α=0,05.
В силу того, что , нулевую гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости оборота розничной торговли от общей суммы доходов населения и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.
Определим теоретические значения результата Yтеор. Для этого в полученное уравнение
последовательно подставим фактические значения фактора X и выполним расчёт.
Например, . См. гр. 5 расчётной таблицы. По парам значений Yтеор. и Xфакт. строится теоретическая линия регрессии, которая пересечётся с эмпирической регрессией в нескольких точках. См. график 1.
Оценку качества модели дадим с помощью скорректированной средней ошибки аппроксимации:
.
В нашем случае, скорректированная ошибка аппроксимации составляет 37,3%. Она указывает на невысокое качество построенной линейной модели и ограничивает её использование для выполнения точных прогнозных расчётов даже при условии сравнительно небольшого изменения фактора X (относительно его среднего значения ).
Построение логарифмической функции предполагает предварительное выполнение процедуры линеаризации исходных переменных. Для преобразования нелинейной функции в линейную введём новую переменную , которая линейно связана с результатом. Следовательно, для определения параметров модели будут использованы традиционные расчётные приёмы, основанные на значениях определителей второго порядка. См. расчётную таблицу №3.
Расчёт определителей второго порядка даёт следующие результаты:
; ; . Отсюда получаем параметры уравнения:
Полученное уравнение имеет вид:.
Оценочные показатели позволяют сделать вывод, что линейно-логарифмическая функция описывает изучаемую связь хуже, чем линейная модель: оценка тесноты выявленной связи ρ=0,824 (сравните с 0,889), скорректированная средняя ошибка аппроксимации здесь выше и составляет 48%, то есть возможности использования для прогноза данной модели более ограничены.
Таким образом, можно прийти к выводу, что по сравнению с линейной моделью данное уравнение менее пригодно для описания изучаемой связи.
таблица 3
№
А
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0,61
-0,494
4,3
0,244
-2,124
-6,3
10,6
112,36
0,52
2
0,93
-0,073
2
0,005
-0,146
-0,2
2,2
4,84
0,11
3
1,264
0,234
5,1
0,055
1,193
4,3
0,8
0,64
0,04
4
1,6
0,470
7,6
0,221
3,572
7,8
-0,2
0,04
0,01
5
2,382
0,868
10,5
0,753
9,114
12,7
-2,2
4,84
0,11
6
3,344
1,207
13
1,457
15,691
18,6
-5,6
31,36
0,27
7
6,689
1,900
2,1
3,61
3,990
28,7
-26,6
707,56
1,30
8
10,936
2,392
50
5,722
119,600
35,9
14,1
198,81
0,69
9
12,633
2,536
18,9
6,431
47,930
38,0
-19,1
364,81
0,93
10
15,104
2,715
43,4
7,371
117,831
40,6
2,8
7,84
0,14
11
20,014
2,996
69
8,976
206,724
44,8
24,2
585,64
1,18
Итого
 
14,753
225,9
34,845
523,376
 
 
 
528
Средняя
 
1,369
20,536
—
47,58
 
 
 
48
Сигма
 
1,23
21,852
 
 
 
 
 
 
Дисперсия, D
 
1,51
477,5
 
 
 
 
 
 
Заключительным этапом решения данной задачи является выполнение прогноза и его оценка.
Если предположить, что прогнозное значение средней суммы доходов населения, по всем областям возрастёт с =6,864 млрд. руб.на 6,2% и составит 7,29 млрд. руб., то есть Xпрогнозн.= 6,864*1,062=7,29, тогда прогнозное значение результата сформируется на уровне:Yпрогнозн. =-0,164+3,016*7,29=21,82 (млрд. руб.). То есть, прирост фактора на 6,2% приводит к приросту результата на 6,25 процента (.
Рассчитаем интегральную ошибку прогноза - , которая формируется как сумма двух ошибок: из ошибки прогноза как результата отклонения прогноза от уравнения регрессии-и ошибки прогноза положения регрессии -. То есть, .
В нашем случае , где k- число факторов в уравнении, которое в данной задаче равно 1. Тогда (млрд. руб.).
Ошибка положения регрессии составит: =
= = 0,058 (млрд. руб.).
Интегральная ошибка прогноза составит: = = 9,62 (млрд. руб.).
Предельная ошибка прогноза, которая не будет превышена в 95% возможных реализаций прогноза, составит: = 2,26*9,62 =21,74 (млрд. руб.). Табличное значение t-критерия для уровня значимости α=0,05 и для степеней свободы n-k-1 = 11-1-1=9 составит 2,26. Следовательно, ошибка большинства реализаций прогноза не превысит млрд. руб.
Это означает, что фактическая реализация прогноза будет находиться в доверительном интервале . Верхняя граница доверительного интервала составит
= 21,82 + 21,74 = 43,65(млрд. руб.).
Нижняя граница доверительного интервала составит:
= 21.82 – 21,74 = 0,08(млрд. руб.).
Относительная величина различий значений верхней и нижней границ составит: = раза. Это означает, что верхняя граница в 544,5 раза больше нижней границы, то есть точность выполненного прогноза весьма невелика, но его надёжность на уровне 95% оценивается как высокая. Причиной небольшой точности прогноза является повышенная ошибка аппроксимации. Здесь её значение выходит за границу 5-7% из-за недостаточно высокой типичности линейной регрессии, которая проявляется в присутствии единиц с высокой индивидуальной ошибкой. Если удалить территории с предельно высокой ошибкой (например, Ростовскую область с ), тогда качество линейной модели и точность прогноза по ней заметно повысятся.
Задача № 2.
Проводится анализ значений социально-экономических показателей по территориям Северо-Западного федерального округа РФ за 2000 год:
Y – Валовой региональный продукт, млрд. руб.;
X1 – Инвестиции 2000 года в основной капитал, млрд. руб.;
X2 – Среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.;
X3 – Кредиты, предоставленные в 2000 году предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам, млрд. руб.
Требуется изучить влияние указанных факторов на стоимость валового регионального продукта.
Предварительный анализ исходных данных по 10 территориям выявил наличие одной территории (г.Санкт-Петербург) с аномальными значениями признаков. Эта единица должна быть исключена из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учёта указанной аномальной единицы.
При обработке исходных данных получены следующие значения:
А) - линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений -σ:
N=9.
Y
X1
X2
X3
Y
1
0,7677
0,8653
0,4237
X1
0,7677
1
0,8897
0,0157
X2
0,8653
0,8897
1
-0,0179
X3
0,4237
0,0157
-0,0179
1
Средняя
31,92
8,87
121,18
0,5683
σ
14,61
5,198
48,19
0,6942
Б) - коэффициентов частной корреляции
Y
X1
X2
X3
Y
1
-0,1462
0,8737
0,8791
X1
-0,1462
1
0,5562
0,1612
X2
0,8737
0,5562
1
-0,7842
X3
0,8791
0,1612
-0,7842
1
Задание:
1. По значениям линейных коэффициентов парной и частной корреляции выберите неколлинеарные факторы и рассчитайте для них коэффициенты частной корреляции. Проведите окончательный отбор информативных факторов во множественную регрессионную модель.
2. Выполните расчёт бета коэффициентов () и постройте с их помощью уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Проанализируйте с помощью бета коэффициентов () силу связи каждого фактора с результатом и выявите сильно и слабо влияющие факторы.
3. По значениям -коэффициентов рассчитайте параметры уравнения в естественной форме (a1, a2 и a0). Проанализируйте их значения. Сравнительную оценку силы связи факторов дайте с помощью общих (средних) коэффициентов эластичности -.
4. Оцените тесноту множественной связи с помощью R и R2, а статистическую значимость уравнения и тесноту выявленной связи - через F-критерий Фишера (для уровня значимости =0,05).
5. Рассчитайте прогнозное значение результата, предполагая, что прогнозные значения факторов составят 102,1 процента от их среднего уровня.
6. Основные выводы оформите аналитической запиской.
Решение.
1. По коэффициентам парной корреляции можно сделать вывод, что валовой региональный продукт наиболее тесно связан со среднегодовой стоимостью основных активов, также тесно связан с инвестициями 2000 года в основной капитал.
1. Поэтому для уточнения окончательного вывода выполним расчёт серии коэффициентов частной корреляции Y с тремя возможными комбинациями факторных признаков: для Y с и с , Y с и с а также для Y c и .
Расчёты частных коэффициентов корреляции выполним по следующим формулам:
Как видим, факторы и , действительно, тесно связаны с результатом, а между собой практически не взаимодействуют.
Расчёт аналогичных показателей по следующей паре факторов приводит к иным результатам: