Контрольная работа по эконометрике Вариант 20

Контрольная работа по эконометрике. Вариант 20 ...

решение задачи

Задание I.
Таблица 1
Значения исходных данных
t y
1 50
2 52
3 54
4 59
5 57
6 60
7 63
8 68
9 70
1) определить наличие тренда Y(t);
2) построить линейную модель , параметры которой оценить с помощью МНК;
3) оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
• случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
• независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических использовать уровни и ) или по первому коэффициенту корреляции, критический уровень которого r(1) = 0,36;
• нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими уровнями 2,7 – 3,7;
4) для оценки точности модели использовать среднеквадратическое отклонение и среднюю по модулю относительную ошибку;
5) построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед (д ля вероятности Р=70% используйте коэффициент ;

Найдем R==2,23-(-2,22)=4,45
Так как R/S=3,017[2,7 - 3,7], то модель адекватна по R/S-критерию.
Общие выводы:
- линейная трендовая модель является адекватной фактическому ряду динамики;
- модель может быть использована для построения прогнозных оценок.
4. Оценка точности модели.
Точность модели характеризуется величиной отклонения фактического уровня временного ряда и его оценкой, полученной расчетным путем, с использованием трендовой модели.
В качестве статистических показателей точности применяются среднеквадратическое отклонение и средняя относительная по модулю ошибка аппроксимации.
Среднеквадратическое отклонение определяется по формуле:
Так как , то из таблицы 6 видно, что.
Тогда .
Средняя относительная по модулю ошибка аппроксимации определяется по формуле. Получаем . Таким образом .
Вывод: модель имеет достаточную точность и может быть использована для оценочных расчетов прогноза.
5. Точечный и интервальный прогнозы
Для периода упреждения на шаг вперед
Для периода упреждения на шага вперед
Подставив найденные значения в линейную модель , получим точечные прогнозные значения:
.
Интервальный прогноз рассчитывается по формуле:
где доверительный интервал
.
Тогда при табличном значении критерия Стьюдента
для
для .
Интервальный прогноз на два шага вперед при уровне вероятности P = 70%
,
Результаты прогнозных оценок по модели представлены в таблице 7.
Таблица 7
Прогнозные оценки по уравнению регрессии
Нижняя граница
Верхняя граница
10
1
71,47
69,584
73,606
11
2
73,92
71,623
76,217
Результаты прогнозирования с помощью инструмента Регрессии Пакета анализа данных в MS Excel представлены в табл.8 и на рис.9
Таблица 8
5. Построить точечный интервальный прогноз на два шага вперед.
Время t
Шаг k
Прогнозы Yp(t)
Нижняя граница
Верхняя граница
10
1
71,47222222
69,72190042
73,22254403
11
2
73,92222222
72,17190042
75,67254403
дельта:
1,750321807
Рис.9. Прогнозирование по линейной модели
Задание II
Таблица 9
Исходные данные:
1
50
25
75
2
52
27
77
3
54
30
73
4
59
31
70
5
57
35
66
6
60
41
63
7
63
42
67
8
68
45
63
9
70
47
61
1. Построить матрицу коэффициентов парной корреляции с и , выбрать фактор, наиболее тесно связанный с зависимой переменной ;
2. Построить линейную однопараметрическую модель регрессии ;
3. Оценить качество построенной модели, исследовав ее адекватность и точность;
4. Для модели регрессии рассчитать коэффициент эластичности и -коэффициент;
5. Построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед по модели регрессии (для вероятности Р=70% использовать коэффициент ). Прогнозные оценки фактора на два шага вперед получить на основе среднего прироста от фактически достигнутого уровня.
Решение.
1. Матрица коэффициентов парной корреляции с и
На основании анализа матрицу коэффициентов парной корреляции определяют взаимную зависимость переменных.
Выборочный парный линейный коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:
.
Промежуточные результаты расчетов для коэффициентов приведены в таблице 10.
Таблица 10
Рабочая таблица для вычисления коэффициентов корреляции
1
50
25
118,570321
85,045284
100,418358
75
44,448889
-61,483074
2
52
27
79,014321
52,157284
64,196358
77
75,116889
-62,593074
3
54
30
34,680321
27,269284
30,752358
73
21,780889
-24,371074
4
59
31
23,902321
27,269284
1,085358
70
2,778889
-0,370074
5
57
35
0,790321
4,937284
1,975358
66
5,442889
5,183926
6
60
41
26,122321
0,605284
3,976358
63
28,440889
-4,149074
7
63
42
37,344321
14,273284
23,087358
67
1,776889
-5,036074
8
68
45
83,010321
77,053284
79,976358
63
28,440889
-46,813074
9
70
47
123,454321
116,165284
119,754358
61
53,772889
-79,035074
Сумма
533
323
526,8889
404,7756
425,2222
615
262
-278,667
Среднее
59,222
35,889
-
-
-
68,333
-
-
СКО
7,113
8,115
-
-
-
5,723
-
-
Тогда коэффициенты корреляции
Вычислим коэффициент . Составим вспомогательную таблицу:
Таблица 11
Таблица для вычисления коэффициента корреляции
1
25
75
118,570321
44,448889
-72,596963
2
27
77
79,014321
75,116889
-77,040963
3
30
73
34,680321
21,780889
-27,483963
4
31
70
23,902321
2,778889
-8,149963
5
35
66
0,790321
5,442889
2,074037
6
41
63
26,122321
28,440889
-27,256963
7
42
67
37,344321
1,776889
-8,145963
8
45
63
83,010321
28,440889
-48,588963
9
47
61
123,454321
53,772889
-81,476963
Сумма
323
615
526,8889
262
-348,667
Таким образом
Запишем матрицу коэффициентов парной корреляции:
Таблица 12
матрица коэффициентов парной корреляции
1
0,921
-0,856
0,921
1
-0,938
-0,856
-0,938
1
Построим матрицу коэффициентов парной корреляции с помощью Пакета анализа данных в MS Excel. Для этого:
В главном меню выбираем Сервис/Анализ данных/Корреляция. Щелкаем по кнопке OK.
Заполняем формы в диалоговом окне Корреляция: входной интервал - $B$3:$D$11, выходной интервал $A$13. Щелкаем по кнопке OK.
Анализ матрицы парной корреляции показывает, что фактор наиболее тесно связан с зависимой переменной , так как (по модулю) ( 0,921>0,856) , т.е. наиболее близок к 1.
2. Построение линейной однопараметрической модели регрессии
Построим линейной однопараметрической модели регрессии для :
Так как данная модель линейна относительно параметров и , то для их оценки применим метод наименьших квадратов. Тогда
, , , , , ,
где , , , - средние значения;
, - текущие значения;
- число уровней ряда.
Результаты предварительных расчетов приведены в таблице 13.
Таблица 13
Рабочая таблица для расчета параметров регрессии.
1
50
25
1250
625
2
52
27
1404
729
3
54
30
1620
900
4
59
31
1829
961
5
57
35
1995
1225
6
60
41
2460
1681
7