Контрольная работа по Эконометрике вариант 22

Контрольная работа по эконометрике вариант 22 ...

Решение задач

Задание I.

Номер Номер наблюдения, t
показателя 1 2 3 4 5 6 7 8 9
42: Y(t) 65 67 63 60 56 63 57 53 51
Требуется:
1) определить наличие тренда Y(t);
2) построить линейную модель Y(t) = a0 + a1 * t, параметры которой оценить с помощью МНК;
3) оценить адекватность построенных моделей на основе исследования:
а) случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
б) независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических использовать уровни d1 = 1,08 и d2 = 1,36 ) или по первому коэффициенту корреляции, критический уровень которого r(1) = 0,36;
в) нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими уровнями 2,7 – 3,7;
4) для оценки точности использовать среднеквадратическое отклонение и среднюю по модулю относительную ошибку;
5) построить точеч ный и интервальный прогнозы на два шага вперед (для вероятности
Р = 70% использовать коэффициент t , = 1,11).

Задание II.

Номер Номер наблюдения, t
показателя 1 2 3 4 5 6 7 8 9
42: Y(t) 65 67 63 60 56 53 57 53 51
43: X1(t) 29 33 32 36 38 41 44 42 46
44: X2(t) 35 40 44 50 53 57 56 60 62
Требуется:
1) построить матрицу коэффициентов парной корреляции Y(t) с X1(t) и X2(t) и выбрать фактор, наиболее тесно связанный с зависимой переменной Y(t);
2) построить линейную однопараметрическую модель регрессии Y(t) = a0 + a1 * Х(t);
3) оценить качество построенной модели, исследовав ее адекватность и точность;
4) для модели регрессии рассчитать коэффициент эластичности и -коэффициент;
5) построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед по модели регрессии (для вероятности Р = 70% использовать коэффициент  = 1,11). Прогнозные оценки фактора X(t) на два шага вперед получить на основе среднего прироста от фактически достигнутого уровня).

-59,52
58,33
37,89
262,00
270,89
-238,67
yср
x1cр
сумма
сумма
сумма
Тогда
ry,x1 = -238,67 / SQR[ 262,00 *270,89] = -238,67 / 266,41= -0,9
Промежуточные результаты расчетов для коэффициента ry,x2 приведены в таблице 5
Таблица 5
t
Y(t)
X2(t)
Y(t) - yср
X2(t) – x2cр
(Yt - yср)2
(X2t - x2cр) 2
(Y(t) - yср)*( X2t - x2cр)
1
65
35
6,67
-15,78
44,44
248,94
-105,2
2
67
40
8,67
-10,78
75,11
116,16
-93,41
3
63
44
4,67
-6,78
21,78
45,94
-31,63
4
60
50
1,67
-0,78
2,78
0,60
-1,296
5
56
53
-2,33
2,22
5,44
4,94
-5,185
6
53
57
-5,33
6,22
28,44
38,72
-33,19
7
57
56
-1,33
5,22
1,78
27,27
-6,963
8
53
60
-5,33
9,22
28,44
85,05
-49,19
9
51
62
-7,33
11,22
53,78
125,94
-82,3
58,33
50,78
262,00
693,56
-408,33
yср
x2cр
сумма
сумма
сумма
Тогда
ry,x2 = -408,33 / SQR[ 262,00 * 693,56 ] = -408,33 / 426,28 = -0,96
Для построения полной матрицы коэффициентов парной корреляции необходимо вычислить коэффициент rx1,x2 (таблица 6)
Таблица 6
t
X1(t)
X2(t)
X1(t) – x1cр
X2(t) – x2cр
(X1t - x1cр) 2
(X2t - x2cр) 2
(X1t - x1cр)*(X2t - x2cр)
1
29
15
-8,89
-15,78
79,01
248,94
140,13
2
33
20
-4,89
-10,78
23,90
116,16
52,61
3
32
24
-5,89
-6,78
34,68
45,94
39,87
4
36
30
-1,89
-0,78
3,57
0,60
1,466
5
38
33
0,11
2,22
0,01
4,94
0,266
6
41
37
3,11
6,22
9,68
38,72
19,416
7
44
36
6,11
5,22
37,35
27,27
31,95
8
42
40
4,11
9,22
16,90
85,05
37,99
9
46
42
8,11
11,22
65,79
125,94
91,11
37,89
50,78
270,89
693,56
414,80
x1cр
x2cр
сумма
сумма
сумма
Тогда
rx1,x2 = 414,78 / SQR[270,89* 693,56 ] = 414,78 /433,45 =0,9569  0,96
И матрица коэффициентов парной корреляции, построенная по вычисленным значениям, имеет вид:
1
ry,x1 = -0,9
ry,x2 = -0,96
rx1,y = -0,9
1
rx1,x2 = 0,96
rx2,y = -0,96
rx2,x1 = 0,96
1
Вывод: среди двух факторов X1(t) и X2(t) наиболее тесно связанным с зависимой переменной Y(t) является фактор X1(t), так как в абсолютном выражении коэффициент ry,x1 наиболее близок к 1. Отрицательное значение коэффициента корреляции означает обратную (разнонаправленную) линейную связь между Y(t) и X1(t).
2) Линейная однопараметрическая (однофакторная) модель регрессии.
Так как модель Y(t) = a0 + a1 * X(t) линейна относительно параметров a0 и a1 , то для их оценки применим метод наименьших квадратов (традиционный):
a0 = yср – a1 * xср
a1 = nt=1 ( Yt - yср ) * ( Xt - xср ) / nt=1 (Xt - xср ) 2
yср = ( nt=1 Yt ) / n
xср = ( nt=1 Xt ) / n
где: yср, xср – средние значения переменных;
Yt, Xt – текущие значения переменных в момент наблюдения t;
n – длина (количество уровней) ряда наблюдений;
nt=1 – операция суммирования значений уровней с номером t в диапазоне от 1 до n.
Промежуточные результаты расчетов для зависимой переменной Y(t) и фактора X1(t), приведены в таблице 7
Таблица 7
t
Y(t)
Yt - yср
X1(t)
X1t - x1ср
(Yt - yср)*(X1t - x1ср)
(X1t - x1ср) 2
1
65
6,67
29
-8,89
-59,23
79,01
2
67
8,67
33
-4,89
-42,31
23,90
3
63
4,67
32
-5,89
-27,46
34,68
4
60
1,67
36
-1,89
-3,14
3,57
5
56
-2,33
38
0,11
-0,28
0,01
6
53
-5,33
41
3,11
-16,63
9,68
7
57
-1,33
44
6,11
-8,14
37,35
8
53
-5,33
42
4,11
-21,96
16,90
9
51
-7,33
46
8,11
-59,52
65,79
58,33
37,89
-238,67
270,89
yср
x1ср
сумма
сумма
Тогда
a1 = -238,67 / 270,89= -0,88 a0 = 58,33 – (-0,881) * 37,89 = 91,72
Таким образом, искомая линейная модель имеет вид:
<Y(t)> =91,72– 0,881 * X1(t)
где: <Y(t)> - расчетное значение зависимой переменной Y.
3) Оценка адекватности и точности линейной однофакторной модели регрессии.
Для оценки адекватности и точности линейной однофакторной модели регрессии необходимо убедиться в следующем:
- в адекватности вида уравнения модели;
- в статистической значимости модели регрессии в целом (F-критерий Фишера);
- в статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии и коэффициента корреляции;
- в точности модели (в качестве меры точности используют оценки значений ошибок).
3.1. Оценка адекватности уравнения модели
Уравнение модели является адекватным, если:
- математическое ожидание значений остаточного ряда равно или близко нулю (t-критерий Стьюдента);
- значения остаточного ряда случайны (критерий пиков);
- значения остаточного ряда независимы (d-критерий Дарбина-Уотсона);
- значения остаточного ряда подчинены нормальному закону (R/S-критерий).
а) t-критерий Стьюдента:
Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется в ходе проверки статистической нулевой гипотезы Н0 : | ср | = 0. С этой целью строится t-статистика
t = | ср | * SQR[ n ] / S
S = SQR[ n * nt=1 t2 – ( nt=1 t ) 2 / ( n * ( n – 1 )) ]
где: ср – среднеарифметическое значение уровней ряда остатков
t – текущие значения уровней ряда остатков;
n – длина (количество уровней) ряда;
nt=1 – операция суммирования значений уровней с номером t в диапазоне от 1 до n;
SQR[ ] – операция извлечения квадратного корня.
Если рассчитанное значение t < tтабл , то гипотеза Н0 принимается.
Промежуточные результаты расчетов, проведенных для t-критерия Стьюдента, а также остальных критериев адекватности (рассчитанных в порядке аналогичном описанному в Задании I), приведены в таблице 8
Таблица 8
t
Y(t)
X1(t)
<Y(t)>
t
точка
поворота
t2
t - t-1
(t - t-1 )2
t * t-1
t - ср
(t - ср )2
1
65
29
65,34
-0,34
-
0,12
-
-
-
-0,48
0,23
2
67
33
62,18
4,82
1
23,23
5,16
26,63
-1,64
4,68
21,90
3
63
32
62,97
0,03
1
0,00
-4,97
22,94
0,14
-0,11
0,01
4
60
36
59,81
0,19
1
0,04
0,16
0,03
0,01
0,05
0.00
5
56
38
58,23
-2,23
4,97
-2,42
5,86
-0,42
-2,37
5,62
6
53
41
55,86
-2,86
1
8,18
-0,63
0,4
6,38
-3
9
7
57
44
53,49
3,51
1
12,32
6,37
40,58
-10,04
3,37
11,36
8
53
42
55,07
-2,07
1
4,28
-5,58
31,14
-7,27
-2,21
4,88
9
51
46
51,91
-0,91
-
0,83
1,16
1,35
1,88
-1,05
1,10
0.14
6
53,97
128,93
-10,9
54,1
ср
всего
сумма
сумма
сумма
сумма
S = SQR[ 9 * 53,97 – ( 0,14 ) 2 / ( 9 * ( 9 – 1 )) ] = SQR[485,73 – 0,0196/ 72] = 22,04
t = | 0,14 | * SQR[ 9 ] / 22,04 = 0,0191
Так как рассчитанное значение t близко к нулю и меньше табличного, например
tтабл (1-)=0,9 m=7 = 1, 8946, то гипотеза о равенстве нулю математического ожидания значений остаточного ряда принимается.
б) критерий пиков:
ркр = 2/3 * ( n – 2) – 1,96 * SQR[(16 * n – 29) / 90]
Подставив значение n = 9, получим ркр = 2,4511. Так как суммарное количество поворотных точек больше критического значения, то гипотеза о случайности остаточной компоненты принимается.
в) d-критерий Дарбина-Уотсона:
d = nt=2 ( t - t-1 ) 2 / nt=1 t 2 = 128,93/ 53,97 = 2,39
Так как 2 < d < 4, вычисляем
d` = 4 - d = 1,61
Вычисленное значение d` = 1,61 попадает в зону определенности и модель считается адекватной процессу по данному критерию.
г) R/S-критерий:
R/S = ( max – min ) / S
S = SQR[ nt=1 ( t - ср ) 2 / ( n – 1 ) ]
ср = ( nt=1 t ) / n
Подставив значения из таблицы 8: max = 4,82 min = -2,86 ср = 0,14 для n = 9 получим
S = SQR[ 54,1 / 8 ] = 6,7625  2,60
R/S = (4,82 – (-2,86)) / 2,60 = 2,95
Так как значение R/S-критерия попадает в интервал между критическими уровнями 2,7 и 3,7 – то гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается.
3.2. Статистическая значимость модели регрессии в целом (F-критерий Фишера)
F-критерий (F-отношение) Фишера применяется для установления истинности статистической гипотезы о том, что фактор регрессии X(t) действительно влияет на зависимую переменную Y(t) или, точнее, действительно ли часть дисперсии зависимой переменной Y(t) объясняется влиянием фактора X(t). F-отношение Фишера рассчитывается по формуле
R2 / k
F = ------------------------------------
( 1 – R2 ) / ( n – k – 1 )
где: R2 – коэффициент детерминации;
k – число параметров при переменных, включенных в модель;
n – длина (количество уровней) ряда.
Используя введенные ранее обозначения, коэффициент детерминации можно записать в виде
R2 = nt=1 ( <Y(t)> – yср ) 2 / nt=1 ( уt – yср ) 2
однако, для однофакторной модели значение R совпадает с ry,x1 , рассчитанном в первом пункте задания. Тогда, подставив значения R2 = r2y,x1 = (-0,9) 2 = 0,81 при k = 1 (линейная однофакторная модель) и n = 9, получим
F = 0,81 / [ ( 1 – 0,81) / ( 9 – 1 –1 ) ] = 0,81 / 0,027 = 30
Табличное значение критерия Фишера при  = 0,05 и при степенях свободы k1 = k = 1 и
k2 = n – k – 1 = 7
Fтабл = 5,59
Так как расчетное значение F > Fтабл , то модель считается значимой, при этом коэффициент детерминации R2 показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемого фактора, т.е. в данном случае ~81% вариации зависимой переменной Y учтено в модели и обусловлено влиянием включенного фактора X1(t).
3.3. Статистическая значимость коэффициентов регрессии и корреляции
Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции проводится с помощью
t-критерия Стьюдента путем сопоставления значений коэффициентов с величиной случайной ошибки m
t a1 = a1 / m a1 t a0 = a0 / m a0 t r = r / m r
где
nt=1 ( Yt –<Y(t)> ) 2 / ( n – 2 )
m a1 = SQR [ ---------------------------------------------- ]
nt=1 ( Xt – xср ) 2
nt=1 ( Yt –<Y(t)> ) 2 * nt=1 Xt 2
m a0 = SQR [ ---------------------------------------- ]
( n – 2 ) * n * nt=1 ( Xt – xср ) 2
1 – r xy 2
m r = SQR [ ----------------------- ]
n – 2
Промежуточные результаты вычислений приведены в таблице 9
Таблица 9
t
Yt
Xt
<Y(t)>
Yt - <Y(t)>
(Yt - <Y(t)>) 2
Xt - xср
(Xt – xср) 2
Xt 2
1
65
29
65,34