Контрольная работа по Математике

Контрольная работа по Математике, писала на 1 курсе, ЧелГУ, оценка 5. В контролькой решение задач. ...

Задача № 2
Даны матрицы , , числа a = 8, b = 9, вектор и .
Вычислить: 1) транспонированные матрицы А* и В*; матрицы С = АВ*, D = А*В, F = aA + bB; векторы z = Ах, u = By и их скалярное произведение (z, u);
2) Вычислить ранги матриц А и В;
3) Вычислить определители матриц С и D.
Решение.
1) Транспонированные матрицы


7

Задача № 1
Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
(1)
Решение.
Дана неоднородная линейная система из 3-х уравнений с 5-ю неизвестными.. Определим совместна или нет данная система. Вычисляем для этого ранги расширенной и основной матриц системы: Rg(A,B) и RgA. Для этого приведем матрицу (А, В) к матрице (А, В), имеющей ступенчатую форму.

к. х2, х5 – свободные неизвестные, то можно считать х2 = , х5 = b.Тогда общее решение системы (3), а значит и (1) имеет видПроверка общего решения (по исходной системе). общее решение найдено верно.Ответ: Задача № 2Даны матрицы , , числа a = 8, b = 9, вектор и .Вычислить: 1) транспонированные матрицы А* и В*; матрицы С = АВ*, D = А*В, F = aA + bB; векторы z = Ах, u = By и их скалярное произведение (z, u); 2) Вычислить ранги матриц А и В;3) Вычислить определители матриц С и D.Решение.1) Транспонированные матрицы7Вычислим F = aA + bBвычислим вектораСкалярное произведение (z, u) = 4316 + 2471 = 688 + 1704 = 23922) вычислить ранги матриц А и В.Определение   Рангом матрицы А называется наибольший из порядков миноров матрицы А, отличных от нуля. rg A = 2, т.к. существует минор 2-го порядка отличный от нуля, . rg В = 2, т.к. существует минор 2-го порядка отличный от нуля, например . 3) Вычисление определителя матрицы481 + 721 + 0460 – (780 + 420 + 1146) = 46 – 46 = 0Задача № 3 Вычислить определитель матрицы А.Решение. = 11(–2) + 200 + 0(–1)(–4) – (–122 + 1(–4)0 – 200) = –2 + 2 = 0Ответ: 0Задача № 4Исходя из определения предела числовой последовательности, показать, что А = 2.Решение.По определению число 2 будет пределом последовательности , n N, если > 0, найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N выполняется неравенство, , т.е. 1 < n + 2n > 1 – 2Оно справедливо для всех , т.е. для всех n > N = , где – целая часть числа. Итак, для > 0 указано соответствующее значение N. Это и доказывает, что . Задача № 5Найти сумму числового ряда Решение.Найдем сумму ряда по определению: Ответ: S = Задача № 6Исследовать на сходимость числовой рядРешение.Исходный ряд имеет вид: Признак Даламбера.