ПАРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ

- ...

По n = 12 регионам приводятся данные за 199… г.
Табл. 1
№ региона Среднедушевой прожиточный минимум в день для одного трудоспособного, руб., x Среднедневная заработная плата, руб., y
1 78 133
2 82 148
3 87 134
4 79 154
5 89 162
6 106 195
7 67 139
8 88 158
9 73 152
10 87 162
11 76 159
12 115 173

Требуется:
1. Построить линейное уравнение парной регрессии у на x.
2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции, коэффициент детерминации и среднюю ошибку аппроксимации.
3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.
4. Выполнить прогноз заработной платы y при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума x, составляющем 107% от среднего уровня.
5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.
6. На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую.

-

Выдвигается (нулевая) гипотеза Н0 о случайной природе показателей, т.е. о незначимом отличии их от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента выполняется путём сопоставления их значений с величиной случайной ошибки: ta = a/ma; tb = b/mb; tr = r/mr.Табличное значение -критерия для числа степеней свободы и составит .Найдём сначала – остаточную дисперсию на одну степень свободы; она вычисляется по формуле Тогда Sост = 12,55.Определим случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции , , :;;.Тогда;;.Фактические значения t-статистики превосходят табличное значение:;;,поэтому параметры a, b и не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии a и b. Дляэтого определим предельную ошибку каждого показателя:;.Доверительные интервалыАнализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры a и b, находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит руб., то прогнозное значение заработной платы руб. Это точечная оценка, которая должна сопровождаться расчётом доверительного интервала значений результативного признака.Ошибка прогноза составит:Предельная ошибка прогноза, которая в случаев не будет превышена, составит:.Доверительный интервал прогноза: руб.; руб.Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы является надёжным () и находится в пределах от 131,88 руб. до 190,62 руб.В заключение построим на одном графике (Диаграмма, точечная, Ряд1, Ряд2) исходные данные и теоретическую прямую (рис. 1):Рис. 1.Решение задачи с помощью Пакета анализа ExcelДля решения задачи имеющиеся данные вводятся в Excel. После ввода исходной информации экран Excel принимает следующий вид:472440-5202555Рис.2Для выполнения регрессионного анализа следует в основном меню войти в опцию «Сервис». В развернувшемся подменю выбрать «Анализ данных». При отсутствии опции «Анализ данных» в меню «Сервис» следует зайти в «Надстройки» и поставить флажок ٧ в опции «Пакет анализа», после чего ещё раз выбрать в меню «Сервис» опцию «Анализ данных». В выведенном на экран перечне инструментов анализа следует выбрать пункт «Регрессия» и подтвердить выбор, щёлкнув левой кнопкой мыши по экранной кнопке ОК. На экране появится окно ввода исходной информации, в котором следует указать диапазоны значений зависимой переменной (от ячейки С1 до С13) и независимой переменной (от ячейки В1 до В13). Чтобы при выводе результатов регрессионного анализа имена переменных задавались пользователем, в диапазоны переменных включаются ячейки, содержащие имена переменных (в нашем случае это ячейки В1 и С1), возле опции «Метки» нажатием левой кнопкой мыши ставится флажок ٧. Если есть необходимость помимо 95%-го доверительного интервала получить интервал с другим уровнем надёжности результатов, следует нажатием левой кнопки мыши поставить флажок ٧ возле опции «Уровень надежности» и в соседней ячейке указать его значение.Помимо диапазона входных данных задается информация о параметрах вывода. Результаты регрессионного анализа могут быть выведены на текущий рабочий лист, на отдельный рабочий лист (установкой флажка ٧ возле опции «Новый рабочий лист») и в новый файл (установкой флажка ٧ возле опции «Новая рабочая книга»). В нашем случае результаты регрессионного анализа выводятся на новый рабочий лист, которому присваивается имя «Решение». Для этого устанавливается флажок возле опции «Новый рабочий лист», а рядом указывается имя этого листа (Решение). Для полноты анализа следует получить значения остатков. Чаще всего исследуются остатки (отклонения расчётных значений ŷ от реальных у) и стандартизованные (нормированные) остатки – возле названных опций ставятся флажки ٧. В случае, когда величина стандартизованного остатка превышает по модулю значение 2, соответствующее наблюдение условно рассматривается как статистический выброс.Поставьте также флажки возле «Графика остатков» и «Графика подбора».После выбора опций для выполнения регрессионного анализа следует нажать экранную кнопку ОК.Рис. 3Ниже приведены результаты выполнения регрессионного анализа. С помощью опций Excel местами изменены цвет, размер и начертание символов для удобства отображения и считывания информации. Числа округлены до двух десятичных знаков (Формат → Ячейки → Числовой).Рис. 4Рис. 5Рис. 6Рис. 7Рис. 8В столбцах Значимость F и Р-значения (Рис. 5) к выведенным результатам применен процентный формат.В блоке «Регрессионная статистика» коэффициент корреляции (Множественный R) показывает степень тесноты (жёсткости) связи между совокупным доходом х и совокупным потреблением у. В нашем случае коэффициент корреляции (0,72; см. Рис. 4) не очень близок к единице, что свидетельствует о средней тесноте связи между исследуемыми экономическими показателями. Поскольку полученный коэффициент корреляции положителен, то связь между х и у является прямой (положительной): с увеличением прожиточного минимума увеличивается и средняя заработная плата. Исследуем надежность коэффициента корреляции. Поскольку объем анализируемой информации составляет меньше 50 наблюдений, то исследование надежности проводится с использованием величины погрешности коэффициента корреляции: = = 0,14.Определим гарантированные минимум и максимум коэффициента корреляции:min R = R – 3 PR = 0,72 30,14 = 0,30 ;max R = R + 3 PR = 0,72 + 30,14 = 1,14 → 1,00.(разумеется, больше единицы он быть не может!).Коэффициент детерминации (R-квадрат, R2 = ) равен 0,52 (Рис.