СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В УПРАВЛЕНИИ КАЧЕСТВОМ (12 задач)

Файл содержит подробное решение представленных ниже задач. Можно использовать как шаблон для решения подобных заданий. ...

Задание 12. Для исследования распределения диаметров стальных осей, изготовленных на токарном станке, были измерены диаметры 90 осей (табл. 1). Построить гистограмму распределения диаметров стальных осей, разбив данные на 9 интервалов.
Таблица 1 – Исходные данные
Номер выборки
1-10 2,510 2,517 2,522 2,510 2,511 2,519 2,532 2,543 2,525 2,522
11-20 2,527 2,536 2,506 2,541 2,512 2,515 2,521 2,536 2,529 2,524
21-30 2,529 2,523 2,523 2,523 2,519 2,528 2,543 2,538 2,518 2,534
31-40 2,520 2,514 2,512 2,534 2,526 2,530 2,532 2,526 2,523 2,520
41-50 2,535 2,523 2,526 2,525 2,532 2,522 2,502 2,530 2,522 2,514
51-60 2,533 2,510 2,542 2,524 2,530 2,521 2,522 2,535 2,540 2,528
61-70 2,525 2,515 2,520 2,519 2,526 2,527 2,522 2,542 2,540 2,528
71-80 2,531 2,545 2,524 2,522 2,520 2,519 2,519 2,529 2,522 2,513
81-90 2,518 2,527 2,511 2,519 2,531 2,527 2,529 2,528 2,519 2,521

Сформулируйте необходимые выводы.


Рассчитаем величину интервала:


(2,545-2,502)/9=0,004777778

Получаем 9 интервалов:

Минимум Максимум
2,502 2,506778
2,506778 2,511556
2,511556 2,516333
2,516333 2,521111
2,521111 2,525889
2,525889 2,530667
2,530667 2,535444
2,535444 2,540222
2,540222 2,545

Теперь рассчитаем количество показателей для каждого интервала

Задание 1. Оцените экономический эффект от реализации программы повышения качества продукции мясокомбината, постройте диаграммы Парето по потерям до и после реализации программы улучшения качества. Сформулируйте необходимые выводы.

№ п/п Фактор качества Потери П1,
тыс. руб. Ожидаемые потери П2 после реализации программы качества, тыс. руб.
1 Квалификация работников 7200 7100
2 Соблюдение технологического процесса 6300 6300
3 Обеспечение санитарно-гигиенических норм 900 800
4 Качество сырья 16200 8500
5 Готовность оборудования 900 900
6 Своевременный контроль качества процесса 2700 2700
7 Качество охлаждения сырья 900 800
8 Соблюдение норм хранения продукции 1800 1800
9 Прочее 900 800
Всего: 37800 29700
Задание 2. Фирма-производитель металлических контейнеров, изготавливаемых методом литья под давлением, сталкивается с трудностями из-за дефектных контейнеров, имеющих слишком тонкие стенки. Было высказано подозрение, что причина неподходящей толщины стенок заключается в вариации давления сжатого воздуха, которое каждый день меняется. В табл. 1 приведены данные о давлении воздуха и доле дефектов. Необходимо построить по этим данным диаграмму рассеивания. Сформулировать необходимые выводы.
Таблица 1 – Данные о давлении и доле дефектов металлических контейнеров
Дата Давление, кПа Доля дефектов, % Дата Давление, кПа Доля дефектов, %
Октябрь 1 8,6 0,889 Октябрь 22 8,7 0,892
2 8,9 0,884 23 8,5 0,877
3 8,8 0,874 24 9,2 0,885
4 8,8 0,891 25 8,5 0,886
5 8,4 0,874 26 8,3 0,896
6 8,7 0,886 29 8,7 0,896
9 9,2 0,911 30 9,3 0,928
10 8,6 0,912 31 8,9 0,886
11 9,2 0,895 Ноябрь 1 8,9 0,908
12 8,7 0,896 2 8,3 0,881
15 8,4 0,894 5 8,7 0,882
16 8,2 0,864 6 8,9 0,904
17 9,2 0,922 7 8,7 0,912
18 8,7 0,909 8 9,1 0,925
19 9,4 0,905 9 8,7 0,872
Задание 3. Построить диаграмму Парето по дефектам, которые имеют место при изготовлении дискет. Сформулировать необходимые выводы. Соответствует ли полученный результат правилу Парето?

Тип дефекта Количество дефектов
1. Царапины
2. Деформация
3. Низкая емкость
4. Высокая емкость
5. Трещины
6. Прочие 12
15
22
18
5
12
Задание 4. По данным измеренных значений определить зависимость параметра качества изделия у от значения технологического фактора х;

Таблица 1 – Измеренные значения параметра качества изделия и технологических факторов

i х у i х у i х у i х у
1 17 60 6 68 180 11 18 55 16 31 80
2 21 69 7 16 50 12 17 40 17 34 60
3 48 135 8 37 113 13 24 65 18 45 120
4 64 171 9 62 180 14 27 70 19 35 91
5 64 140 10 28 75 15 16 48 20 55 140
Задание 5. По данным измеренных значений определить зависимость параметра качества изделия у от значения технологического фактора z. который по предварительным данным оказывает влияние на показатель качества у.
Таблица 1 – Измеренные значения параметра качества изделия и технологических факторов
i у z i у z i у z i у z
1 60 50 6 180 135 11 55 25 16 80 15
2 69 20 7 50 12 12 40 10 17 60 50
3 135 120 8 113 20 13 65 48 18 120 120
4 171 85 9 180 90 14 70 80 19 91 68
5 140 59 10 75 85 15 48 28 20 140 120
Задание 6. В цехе на операции штамповки заготовок коленчатого вала работники контроля отбраковали 200 заготовок. При этом были выявлены следующие виды дефектов и их количество: трещины – 20, царапины – 42, пятна – 6, деформации – 104, разрывы – 4, раковины – 10, прочие – 14. С помощью построения диаграммы Парето требуется выделить наиболее значимые дефекты для поиска причин их возникновения. Сформулируйте необходимые выводы.

спрос на данную продукцию. Каждому виду упаковки (1 – продажа без заводской упаковки); 2 – мягкий пакет; 3 – фирменный мягкий пакет; 4 – картонная коробка простая; 5 – пластиковый футляр; 6 – коробка фирменная, подарочная) соответствует определенная цена товара. По результатам опроса 30 покупателей построить диаграмму рассеивания. Сформулировать необходимые выводы.

Дата Цена,
ден. ед. Вид (номер) упаковки Дата Цена,
ден. ед. Вид (номер) упаковки
18 февраля




19 февраля







4
4
4,5
4,5
6
8
5,5
5,5
5,5
5
5
5
7
7
7,5 1
2
2
3
4
5
3
4
5
2
3
3
5
6
6 20 февраля



21 февраля



22 февраля



23 февраля 4
4,5
6
6
7,5
5,5
5,5
5,5
4,5
6,5
6,5
6,5
8
5
5 3
1
5
5
5
3
4
5
4
3
4
5
6
4
5
Задание 8. На упаковке пельменей «Дарья» приведена информация: «Масса 450 г ± 0,25%». При контрольной проверке органами метрологического контроля получены следующие результаты: 450,0; 451,5; 452,0; 449,0; 447,0; 448,25; 450,5; 449,5; 450,5; 453,0; 448,0.
Составьте контрольную карту для статистического управления процессом, сформулируйте необходимые выводы.

Задание 9. Преподаватель одной из дисциплин хочет усложнить курс лекций для студентов, однако не до такой степени, чтобы он стал слишком сложным и непонятным. По его мнению, если среднее число сдавших экзамен равно 82%, курс лекций необходимо усложнить. Если средний процент сдачи экзаменов равен 72% или ниже, курс преподается слишком сложно. Однако, если средний процент сдачи экзаменов равен 92% и более, курс усваивается слишком легко за счет соответствующего снижения сложности материала. Ознакомьтесь с результатами последних 10 экзаменов (Табл. 6). Необходимо построить контрольную карту замера процентной сдачи экзаменов и ответить на вопрос: «Нужно ли усложнять читаемый курс? Почему?».
Таблица 1 – Данные о сдаче экзаменов
Экзамен Число студентов, сдавших экзамен, %
1 86
2 83
3 76
4 83
5 83
6 89
7 86
8 86
9 90
10 84
Задание 10. По данным таблицы составьте гистограммы характеризующие время исполнения заказа на поставку товаров двумя отделами фирмы (в часах). Сформулируйте рекомендации по совершенствованию процессов.

Отдел 1 23 15 16 9 7 20 6 19 11 14
Отдел 2 17 14 11 14 17 13 14 15 12 13
Примечание: необходимо разбить данные на пять интервалов. Чтобы сравнить работу отделов данные второго отдела распределить по интервалам первого отдела.

14400
5400
35
91
1225
8281
3185
55
140
3025
19600
7700
727
1942
32669
229456
86027

1. Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.
Выборочные дисперсии:
Среднеквадратическое отклонение
Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:
1.1. Коэффициент корреляции
Ковариация.
Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:
Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
0.1 < rxy < 0.3: слабая;
0.3 < rxy < 0.5: умеренная;
0.5 < rxy < 0.7: заметная;
0.7 < rxy < 0.9: высокая;
0.9 < rxy < 1:весьма высокая;
В нашем примере связь между признаком Y фактором X весьма высокая и прямая.
Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b:
1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).
Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 2.47 x + 7.22
Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл.
Коэффициент регрессии b = 2.47 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y повышается в среднем на 2.47.
Коэффициент a = 7.22 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.
Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.
Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.
Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь прямая.
Таким образом, на основании регрессионного анализа и построенной диаграммы рассеивания можно утверждать, что между показателями присутствует очень сильная прямая зависимость
Задание 5. По данным измеренных значений определить зависимость параметра качества изделия у от значения технологического фактора z. который по предварительным данным оказывает влияние на показатель качества у.
Таблица 1 – Измеренные значения параметра качества изделия и технологических факторов
i
у
z
i
у
z
i
у
z
i
у
z
1
60
50
6
180
135
11
55
25
16
80
15
2
69
20
7
50
12
12
40
10
17
60
50
3
135
120
8
113
20
13
65
48
18
120
120
4
171
85
9
180
90
14
70
80
19
91
68
5
140
59
10
75
85
15
48
28
20
140
120
Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу

x
y
x2
y2
x • y
60
50
3600
2500
3000
69
20
4761
400
1380
135
120
18225
14400
16200
171
85
29241
7225
14535
140
59
19600
3481
8260
180
135
32400
18225
24300
50
12
2500
144
600
113
20
12769
400
2260
180
90
32400
8100
16200
75
85
5625
7225
6375
55
25
3025
625
1375
40
10
1600
100
400
65
48
4225
2304
3120
70
80
4900
6400
5600
48
28
2304
784
1344
80
15
6400
225
1200
60
50
3600
2500
3000
120
120
14400
14400
14400
91
68
8281
4624
6188
140
120
19600
14400
16800
1942
1240
229456
108462
146537

1. Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.
Выборочные дисперсии:
Среднеквадратическое отклонение
Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:
1.1. Коэффициент корреляции
Ковариация.
Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:
Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
0.1 < rxy < 0.3: слабая;
0.3 < rxy < 0.5: умеренная;
0.5 < rxy < 0.7: заметная;
0.7 < rxy < 0.9: высокая;
0.9 < rxy < 1: весьма высокая;
В нашем примере связь между признаком Y фактором X высокая и прямая.
Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b:
1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).
Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 0.64 x -0.0604
Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл.
Коэффициент регрессии b = 0.64 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y повышается в среднем на 0.64.
Коэффициент a = -0.0604 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.
Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.
Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.
Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь прямая.
Как видно из корреляционного анализа и построенной диаграммы рассеивания взаимосвязь между показателями заметная, близкая к сильной и прямая.
Задание 6. В цехе на операции штамповки заготовок коленчатого вала работники контроля отбраковали 200 заготовок. При этом были выявлены следующие виды дефектов и их количество: трещины – 20, царапины – 42, пятна – 6, деформации – 104, разрывы – 4, раковины – 10, прочие – 14. С помощью построения диаграммы Парето требуется выделить наиболее значимые дефекты для поиска причин их возникновения. Сформулируйте необходимые выводы.
Составим таблицу:
Тип дефекта
Количество дефектов
Накопленное количество дефектов
накопленный процент дефектов
деформации
104
104
52,00%
Царапины
42
146
73,00%
Трещины
20
166
83,00%
раковины
10
176
88,00%
Пятна
6
182
91,00%
разрывы
4
186
93,00%
Прочие
14
200
100,00%
На основе полученных данных можно построить диаграмму Парето
Вывод: Наиболее многочисленными являются: Деформация, царапины, трещины. т.к. точки на кумулятивной кривой, соответствующие этим дефектам, лежат ниже или очень близко к прямой, отражающей 80% важнейших дефектов. Устранив причины возникновения этих дефектов можно, снизить общую дефектность продукции на 80 %.
Задание 7. Предприятие выясняет, как влияет качество упаковки часов на спрос на данную продукцию. Каждому виду упаковки (1 – продажа без заводской упаковки); 2 – мягкий пакет; 3 – фирменный мягкий пакет; 4 – картонная коробка простая; 5 – пластиковый футляр; 6 – коробка фирменная, подарочная) соответствует определенная цена товара. По результатам опроса 30 покупателей построить диаграмму рассеивания. Сформулировать необходимые выводы.
Дата
Цена,
ден. ед.
Вид (номер) упаковки
Дата
Цена,
ден. ед.
Вид (номер) упаковки
18 февраля
19 февраля
4
4
4,5
4,5
6
8
5,5
5,5
5,5
5
5
5
7
7
7,5
1
2
2
3
4
5
3
4
5
2
3
3
5
6
6
20 февраля
21 февраля
22 февраля
23 февраля
4
4,5
6
6
7,5
5,5
5,5
5,5
4,5
6,5
6,5
6,5
8
5
5
3
1
5
5
5
3
4
5
4
3
4
5
6
4
5
На основе данной таблицы построим Диаграмму рассеивания:
Поскольку точки на диаграмме группируются вокруг линии тренда, имеющей положительный угол наклона, можно сделать вывод, что с увеличением давления повышается доля дефектов.
Задание 8. На упаковке пельменей «Дарья» приведена информация: «Масса 450 г ± 0,25%». При контрольной проверке органами метрологического контроля получены следующие результаты: 450,0; 451,5; 452,0; 449,0; 447,0; 448,25; 450,5; 449,5; 450,5; 453,0; 448,0.
Составьте контрольную карту для статистического управления процессом, сформулируйте необходимые выводы.
Построим контрольную X-карту.
Для решения этой задачи для начала найдем вернюю и нижнюю границы:
Верхняя = 450*100,25%=451,125
Нижняя = 450*99,75%=448,875
Среднее значение =(450+451,5+452+449+447+448+450,5+449,5+450,5+453+448)/10=449,875
На основании полученных данных построим контрольную карту.
Таким образом очевидно, что показатель часто выходит за допустимые границы, среднее значение находится внутри допустимого интервала, но смещено от центра.
Задание 9. Преподаватель одной из дисциплин хочет усложнить курс лекций для студентов, однако не до такой степени, чтобы он стал слишком сложным и непонятным. По его мнению, если среднее число сдавших экзамен равно 82%, курс лекций необходимо усложнить. Если средний процент сдачи экзаменов равен 72% или ниже, курс преподается слишком сложно. Однако, если средний процент сдачи экзаменов равен 92% и более, курс усваивается слишком легко за счет соответствующего снижения сложности материала. Ознакомьтесь с результатами последних 10 экзаменов (Табл. 6). Необходимо построить контрольную карту замера процентной сдачи экзаменов и ответить на вопрос: «Нужно ли усложнять читаемый курс? Почему?».
Таблица 1 – Данные о сдаче экзаменов
Экзамен
Число студентов, сдавших экзамен, %
1
86
2
83
3
76
4
83
5
83
6
89
7
86
8
86
9
90
10
84
Найдем среднее значение: (86+83+76+83+83+89+86+86+90+84)/10=84,6
Поскольку все границы даны, постоим контрольную карту.
На карте видно, что большинство студентов легко справляются с экзаменом, среднее значение и почти все индивидуальные выше границы в 82%, что является показателем того, что экзамен необходимо усложнить.
Задание 10. По данным таблицы составьте гистограммы характеризующие время исполнения заказа на поставку товаров двумя отделами фирмы (в часах). Сформулируйте рекомендации по совершенствованию процессов.
Отдел 1
23
15
16
9
7
20
6
19
11
14
Отдел 2
17
14
11
14
17
13
14
15
12
13
Примечание: необходимо разбить данные на пять интервалов. Чтобы сравнить работу отделов данные второго отдела распределить по интервалам первого отдела.
Рассчитаем величину интервала:
(23-6)/5=3,4
Получаем следующие интервалы
Минимум
Максимум
6
9,4
9,4
12,8
12,8
16,2
16,2
19,6
19,6
23
Рассчитаем количество товаров в каждом интервале для каждого отдела
Минимум
Максимум
Количество в первом отделе
Количество во втором отделе
6
9,4
3
9,4
12,8
1
2
12,8
16,2
3
6