тепловые потоки

реферат на тему "тепловые потоки"

...

1 - Введение 4
2 - Теплопроводность при стационарном режиме 6
2.1 - Основной закон теплопроводности 6
2.2 - Вывод дифференциального уравнения теплопроводности 10
2.3 - Уравнение теплоотдачи (условия однозначности) 14
2.4 - Плоская стенка 17
2.5 - Цилиндрическая стенка 24
2.6 - Критический диаметр тепловой изоляции трубопровода 28
2.7 - Шаровая стенка 30
2.8 - Стержень бесконечной длины 32
2.9 - Стержень конечной длины 34
2.10 - Круглые плоские ребра 36
2.11 - Тела сложной формы 38
2.12 - Теплопроводность при объёмном тепловыделении (qv 0) 41
2.12.1 - Бесконечная плоская пластина 41
2.12.2 - Бесконечный цилиндр 45
2.13 - Плоская стенка с переменным коэффициентом теплопроводности 47
3 - Теплопроводность при нестационарном режиме 50
3.1 - Общие сведения 50
3.2 - Постановка задачи нестационарной теплопроводности 51
3.3 - Теория подобия в применении к дифференциальному уравнению теплопроводности 52
3.4 - Аналитический метод решения (метод Фурье) 57
3.5 - Численные методы решения задач нестационарной теплопроводности 60
3.5.1 - Явный метод 61
3.5.2 - Неявный метод 64
3.6 - Регулярные тепловые режимы 65
3.7 - Нестационарная теплопроводность при объемном тепловыделении 71
3.8 - Граничные условия 4-ого рода 74
4 - Конвекция 76
4.1 -Уравнение распространения тепла в движущейся среде и физический смысл отдельных его членов 76
4.2 - Основные уравнения гидродинамики 77
4.3 - подъемная сила, обусловленная температурным полем 79
4.4 - Краеве условия к уравнениям гидродинамики 79
4.5 - Условия механического и теплового взаимодействия на границах раздела жидкой и газовой фаз 80
4.6 - Два основных режима течения реальной жидкости 82
4.7 - Уравнение осредненного турбулентного течения несжимаемой жидкости 83
4.8 - Уравнения турбулентного переноса в плоском потоке 85
4.9 - Определение степени турбулентности потока 85
4.10 Теплоотдача в трубах и каналах при установившемся течении несжимаемой жидкости 86
4.11 - Теплоотдача при ламинарном течении 89
4.12 - Теплоотдача при турбулентном течении в прямой круглой трубе при 91
4.13 - Теплоотдача при турбулентном течении в некруглых каналах 95
4.14 - Теплоотдача в изогнутых трубах 96
4.15 - Теплоотдача в прямой круглей трубе при Pr « 1 96
4.16 - Теплоотдача в переходной области чисел Re 97
4.17 - Влияние шероховатости трубы 98
4.18 - Пограничный слой 98
4.19 - Основные уравнения плоского пограничного слоя 99
4.20 - Теплоотдача пластины при ламинарном течении 101
4.21 - Теплоотдача пластины при турбулентном течении 103
4.22 - Теплоотдача при обтекании шара 104
4.23 - Теплоотдача при нестационарном обтекании сферических частиц 105
4.24 - Конвекция в неограниченном объеме (свободная конвекция) 106
5 - Излучение 111
5.1 - Природа теплового излучения 111
5.2 - Основные понятия и определения 113
5.3 - Законы излучения абсолютно черного тела 116
5.4 - Излучения реальных тел 119
5.5 - Теплообмен излучением системы тел, разделённых прозрачной средой 125

При соприкосновении двух тел, имеющих различную температуру, проис¬ходит обмен энергией движения структурных частиц (молекул, атомов, сво¬бодных электронов), вследствие чего интенсивность движения частиц тела, имевшего меньшую температуру, увеличивается, а интенсивность движения частиц тела с более высокой температурой уменьшается. В результате одно из соприкасающихся тел нагревается, а другое остывает. Поток энергии, переда¬ваемой частицами более горячего тела частицам тела более холодного, называ¬ется тепловым потоком.
Таким образом, для возникновения теплового потока, т. е. процесса тепло¬обмена между различными областями пространства, заполненного веществен¬ной средой, необходимо и достаточно, чтобы в этих областях имели место неоди¬наковые температуры. Иначе говоря, единственным услов ием возникновения теплообмена является наличие разности температур между рассматриваемыми телами. При этом тепловой поток направлен в сторону меньших температур.

Это означает, что при d3 = dKр полное термическое сопротивление системы Rц минимально (рис. 2.16).
Следовательно, если диаметр изолируемой трубы d2 больше dKр, найденного для выбранного изоляционного материала (λ2) и условий теплообмена с окружающей средой (2.61), то покрытие трубы слоем такой изоляции уменьшит теплопередачу через цилиндрическую стенку. В случае же, когда d2 < dKp нанесение на поверхность трубы выбранного изолятора первоначально приведет к возрастанию теплопередачи, и лишь после того, как наружный диаметр достигнет и превысит критическое значение, тепловой поток через стенку начнет убывать, затем станет равным исходной величине, ко­торая была при отсутствии слоя изоляции, и лишь затем станет меньше ее. Тогда следует попытаться подо­брать другой теплоизоляционный материали (или) сделать много­слойную изоляцию так, чтобы λэкв > λ2, и если это не удастся, пойти на снижение теплопередачи путем значительного увеличе­ния толщины изоляционного слоя
(d3 » dKр).
2.7 - Шаровая стенка
Рассмотрим пространственно одномерную стационар­ную задачу теплопроводности в шаровой стенке с радиусами вну­тренней и внешней поверхности r1 и r2 (рис. 2.17) и коэффициентом теплопроводности материала стенки λ. Одномерность задачи означает, что распределение температуры в стенке зависит только от радиуса, а потому основное дифференциальное уравнение теплопроводности в сферической системе координат [см. выра­жение (2.18)] примет вид
По аналогии с принятым в разд. 2.6, обозначим через и.
тогда или , откуда после интегрирования
Это и есть искомое решение уравнения (2.62). Отметим, что здесь в силу тех же причин, что и в случае цилиндрической трубы (см. разд. 2.6), распределение температуры нелинейно. Однако в отличие от трубы это распределение представляет собой гиперболу.
В случае граничных условий 1-го рода, когда заданы темпера­туры внутренней Tω1 и наружной Tω2 поверхностей шаровой оболочки, постоянные интегрирования С1 и С2 определяются из системы уравнений
После подстановки этих констант в выражение (2.64) получим
В стационарной задаче полный тепловой поток
не зависит от радиуса, так как общее количество тепла, проходя­щее в единицу времени через изотермическую поверхность, какой здесь является любая сфера с радиусом r1 ≤r ≤ r2, должно быть одинаково при любом r. Используя выражения (2.63) и (2.66), получим
Для многослойной шаровой стенки в случае граничных усло­вий 1-го рода методами, изложенными в разд. 2.7, 2.8, легко получить следующее выражение для теплового потока:
где λi и ri — коэффициент теплопроводности и внутренний радиус (-го слоя.
Распределение температур внутри i-го слоя шаровой стенки определяется соотношением (2.67) с заменой Tωi, Тω2, r1 и r2 на Tωi, Tω (i+1), r i и r i+1 соответственно.
Задачи о теплопроводности однослойной и многослойной шаро­вых стенок с граничными условиями 3-го рода решаются аналогично тому, как это делалось в разд. 2.7 и 2.8.
2.8 - Стержень бесконечной длины
Рассмотрим стационар­ную задачу о теплопроводности стержня бесконечной длины (рис. 2.18). Температура одного конца стержня поддерживается постоянной, равной Т1. Стержень омывается средой с постоянной температурой Tf. Коэффициент теплоотдачи от стержня к среде α вдоль всей его боковой поверх­ности будем считать постоянным. Коэффициент теплопроводности материала стержня λ предполагается достаточно большим, а по­перечные размеры стержня по сравнению с длиной настолько малыми, что изменением температуры в нем можно пренебречь. Температура стержня Т, таким образом, считается функцией только одной координаты: Т = f(х). Разность между местной температурой стержня и температурой окружающей среды Т (х) — Tf обозначим через в Θ(х). В начальной точке стержня (х = 0) T1 - Tf = Θ.
Рассмотрим тепловое равновесие элемента стержня, удален­ного от его начала на расстояние х, имеющего длину dx, площадь поперечного сечения F и периметр сечения U.
Количество тепла, входящее в рассматриваемый элемент стержня через сечение I—I за единицу времени, согласно закону Фурье
Аналогичная величина в сечении II—II, расположенном на расстоянии (х + dx) от начала стержня, будет
Согласно закону Ньютона (2.18), боковой поверхностью стержня (х + dx) будет отдано количество тепла
Составляя тепловой баланс для элемента стержня, получим
Решение полученного линейного дифференциального уравне­ния второго порядка можно представить в общем виде:
Количество тепла, отдаваемое всей боковой поверхностью стержня, можно получить как тепловой поток, входящий в стер­жень через его основание
Если теплоотдача от стержня к среде идет не по всей поверх­ности стержня, то под величиной U надо понимать ту часть пери­метра сечения, по которой осуществляется теплообмен. Для стержня круглого сечения с диаметром d при теплоотдаче по всей поверхности получим.
2.9 - Стержень конечной длины
Если длина стержня будет конечна, то температура на его конце будет равна температуре окружающей среды, а потому выведенные выше формулы не будут справедливы.
Пусть длина стержня равна L, а превышение температуры холодного конца стержня над окружающей средой — ΘL. Тепло­отдачей с торца стержня будем пренебрегать или учтем ее уве­личением длины стержня с таким расчетом, чтобы боковая поверх­ность удлиненного стержня равнялась бы полной боковой и тор­цевой поверхностям реального стержня.
Общее решение (2.79) дифференциального уравнения (2.78) получено без каких-либо предположений о длине стержня, а по­тому применимо и к стержню конечной длины.
Граничные же условия изменяются: при х = 0, Θ = Θ1 = С1 + С2 или С2 = Θ1 — С1 при х = L, пренебрегая теплоот­дачей с торца, стержня, т. е. приравнивая нулю тепловой поток, обусловленный теплопроводностью, в сечении х=L
По уравнениям (2.86) и (2.88) найдем
Подставляя найденные значения С1 и С2 в уравнение (2.79) и переходя к гиперболическим функциям *, получим
Тепловой поток, входящий в стержень и передаваемый боко­вой поверхностью стержня окружающей среде, найдем, пользуясь уравнениями (2.79) и (2.80),
2.10 - Круглые плоские ребра
Задача правильного конструирования ребер для авиа­ционных и космических теплообменников, цилиндров двигателей воздушного охлаждения, экономайзеров, калориферов и других теплообменных аппаратов, где теплоотдающая поверхность строится путем оребрения, состоит в том, чтобы получить при данном расходе охлаждающего агента максимальный отвод тепла при минимальных массе и габаритных размерах самого аппарата. Определению подлежат форма, высота и расстояние между ребрами.
Вопрос о наивыгоднейшей форме ребра данной массы или дан­ной высоты может быть разрешен расчетным путем. При постоян­ных массе и площади поперечного сечения ребра максимальный отвод тепла будет, если боковые поверхности ребра имеют вогну­тую параболическую форму (рис. 2.19, а). В таком ребре темпера­турный градиент будет постоянным по его высоте. Однако из-за трудностей технологического характера на практике применяются ребра с поперечным сечением, выполненным в виде трапеции (рис. 2.19, б) или прямоугольника (рис. 2.19, в).
Аналитическое решение задачи о стационарной теплопровод­ности для ребра параболической формы и, следовательно, о тепло­отдаче с его наружной поверхности встречает ряд трудностей, главнейшая из которых заключается в необходимости знать закон распределения коэффициента теплоотдачи а по поверхности ребра.
Рассмотрим задачу о стационарном распределении темпе­ратуры в ребре прямоугольной формы при следующих условиях:
1) температура основания ребра постоянна и равна Т1
2) количество тепла, рассеиваемого за единицу времени с какой-либо части поверх­ности ребра, пропорционально разности температур ребра и окружающей среды;
3) коэффициент теплоотдачи а одинаков во всех точках поверхности ребра;
4) если h — высота ребра и δ — его тол­щина, то потеря тепла с торца шириной б может быть учтена путем замены действи­тельной высоты h величиной h' = h+ δ/2;
5) вследствие того, что толщина δ мала по сравнению с другими размерами ребра, будем считать, что температура зависит лишь от одной координаты х (текущее зна­чение высоты ребра), т. е. будем иметь дело с одномерным стационарным температурным полем Т = f (х).
Обозначим через Θ разность температур какой-либо точки ребра Т (х) и окружающей среды Tf. Тогда Θ = Т — Tf = f1(x).
Сделаем развертку круга плоского ребра по его среднему диаметру dcp (рис. 2.20). В дальнейшем задача очевидно сведется к рассматриваемой выше теплопередаче в стержне конечной длины h' = h+ δ/2, площадь поперечного сечения которого F=π dсрδ. Тогда роль [3 в показателях экспоненты общего ре­шения (2.79) будет согласно выражению (2.77) играть величина
и распределение температуры по высоте ребра выразится в виде
Если бы ребро имело по всей поверхности постоянную избы­точную температуру, соответствующую в1; то количество тепла, отданное ребром в окружающую среду в единицу времени, вы­ражалось бы в следующем виде:
Отношение тепла, действительно рассеиваемого ребром, к теплу, которое ребро могло бы рассеять, если бы разность температур по всей высоте ребра была постоянна и соответствовала 6Ь на­зывается коэффициентом эффективности ребра
Подставляя в уравнение (2.103) значения Q и Q1 из уравнений (2.101) и (2.102),
получим
Графическое выражение функциональной зависимости коэф­фициента эффективности ребра ηр от величины μh' приведено на рис. 2.21. Кроме того, в табл. 2.1 приведены значения коэф­фициента эффективности ребра ηр для различных ребер, причем величина коэффициента теплоотдачи α принята одинаковой для всех ребер и равной 125 Вт/(м2К), что соответствует скорости обтекающего поверхность потока воздуха 40 м/с.
С точки зрения теплоотдачи, приходящейся на единицу массы, выгодно иметь большое число тонких и легких ребер. Это спра­ведливо до тех пор, пока поток, обтекающий ребро, не начинает искажаться под влиянием соседних ребер.
При конструировании оребрения основным вопросом является, насколько близко можно располагать ребра друг к другу без серьезного снижения их эффективности вследствие уменьшения количества протекающего между ними воздуха.
2.11 - Тела сложной формы
Мы рассмотрели задачи стационарной теплопроводности для простейших тел. В случаях, когда форма тела не яв­ляется столь простой, а условия на границе зависят от рассматри­ваемой точки поверхности, задача существенно усложняется для ее решения часто требуется привлечение ЭВМ.
Однако в ряде случаев для приближенной оценки тепловых потоков, передаваемых теплопроводностью в довольно сложных телах, можно воспользоваться уже полученными в этой главе результатами. Для этого представим выражения (2.23), (2.47). (2.68) для стационарного теплового потока через плоскую ци­линдрическую и сферическую стенки в единой форме:
где λ — коэффициент теплопроводности материала; δ — толщина плоской, цилиндрической или сферической стенок; Fx — неко­торая фиктивная расчетная теплоотдающая поверхность, вы­ражение для которой во всех трех рассматриваемых случаях мы и пытаемся здесь получить; ∆Т = Tω1 — Tω2.
Выражение (2.105) практически совпадает с формулой (2.23) для плоской стенки. Следовательно, в этом случае Fx есть не что иное, как площадь плоской стенки F, поток тепла через кото­рую мы рассматриваем, и может быть описана так:
где F1 и F2 — площади более нагретой и более холодной поверх­ностей. (Очевидно, что для плоской пластины F1 F2).
В случае цилиндрической трубы согласно выражению (2.47) тепловой поток
Помножив числитель и знаменатель этого выражения на r2 — r1 = δ, а числитель и знаменатель выражения под знаком логарифма на 2lπ, получим
Это выражение сводится к выражению (2.105), если положить
где F1 и F2 — площади внутренней и наружной поверхностей цилиндрической трубы.
Аналогично можно преобразовать выражение (2.68) для шаро­вой стенки:
Проведя вычитание в знаменателе, после простых преобразо­ваний получим
Поскольку площадь сферы равна πd2, то диаметры d1 и d2 можно выразить через площади внутренней F1 и внешней F2 поверхностей шаровой стенки в виде
Итак, мы получили выражения для площади фиктивной расчет­ной поверхности Fx, которые позволяют рассчитывать тепловой поток в рассмотренных трех случаях
по единой формуле (2.105). Преимущества такого подхода в случае пластины, цилиндра и шара весьма относительны. Однако, пользуясь формулой (2.105) и одним из выведенных выражений для Fx [(2.106), (2.107) или (2.110)], можно приближенно рассчитать стационарный тепловой поток в телах более сложной формы.
Так, по формулам (2.165) и (2.106) можно оценить Q для плиты, представляющей собой усеченный конус или пирамиду, и вообще для элемента пластины произвольной формы в плане со скошен­ным срезом.
В совокупности с выражением (2.107) по формуле (2.105) можно приближенно рассчитать тепловой поток через цилиндриче­скую стенку некруглого сечения. Та же формула (1.105), но с Fx, вычисленной по формуле (2.110), позволит оценить тепловой поток через стенки замкнутой несферической оболочки, образо­ванной, например, эллипсоидами вращения и т. п.
В ряде практических случаев температура на поверхности не является постоянной, а следовательно, непостоянна и величина температурного напора ∆T в формуле (2.105). При не слишком больших изменениях температуры по поверхности можно вос­пользоваться усредненными значениями температур поверх­ностей:
Если же изменения невелики, то расчет теплового потока следует вести по участкам, рассчитывая величину Qi на участке ∆Ft, где (Tω)1-2 = const. Для получения суммарного потока останется просуммировать локальные тепловые потоки Qi по всей поверхности рассматриваемого тела.
2.12 - Теплопроводность при объёмном тепловыделении (qv 0)
Как уже говорилось, в веществе наряду с процессом теплопроводности может протекать выделение или поглощение тепла, связанное с какими-либо физико-химическими явлениями: конденсацией, джоулевым нагреванием, ядерными реакциями, экзо- или эндотермическими химическими реакциями и т. п. С позиции теплообмена такие явления могут быть охарактеризо­ваны количеством тепла, выделяющегося или поглощающегося в единице объема вещества в единицу времени qv. Эта характери­стика носит название интенсивности объемного тепловыделения.
Рассмотрим простейшие задачи стационарной теплопровод­ности при наличии объемного тепловыделения, полагая, что ве­личина qv не зависит от времени и координат.
2.12.1 - Бесконечная плоская пластина
Основное дифференциальное уравнение теплопровод­ности
Принимая во внимание, что а = λ (сρ), получим
Перенося qv/λ в правую часть и считая qv = const, после пер­вого интегрирования получим
Выражение (2.113) является общим решением уравнения (2.111). Постоянные интегрирования находятся из граничных условий.
Рассмотрим вначале задачу с гра­ничными условиями 3-го рода. Пусть слева пластина омывается средой с тем­пературой Tf1 и коэффициент теплоот­дачи между пластиной и средой равен α1, те же параметры справа от пластины обозначим через Tf2 и α2 соответственно (рис. 2.22).
При интенсивном тепловыделении внутри пластины тепло может отдавать­ся в омывающие ее среды с обеих по­верхностей, т. е. кривая распределения температур по толщине пластины будет иметь максимум. Пусть ось ординат проходит через этот максимум на расстоянии б2 от правой поверхности
пластины. (Величину 82 мы определим позднее.) Тогда из равен­ства нулю производной dT/dx при х = 0 (условие максимума) следует, что С1 = 0, и решение (2.113) примет следующий вид:
Граничное условие 3-го рода на этой поверхности
Выражение (2.115) можно интерпретировать, исходя из физи­ческого содержания рассматриваемой задачи. Поскольку пло­скость х = 0 можно считать теплоизолированной [(dT/dx)x=o= 0], следовательно, , т. е. все тепло, выделившееся в пластине справа от этой плоскости в единицу вре­мени, должно быть отведено в окружающую среду посредством теплоотдачи с правой поверхности стенки. В противном случае будет нарушено условие стационарности процесса, и температура в стенке вследствие изменения ее теплосодержания будет изме­няться. Величина qvδ2 представляет собой количество тепла, выделяющееся в единицу времени в объеме пластины с толщиной δ2 и площадью, равной единице. Слева же в уравнении (2.115) стоит выражение для потока теплоотдачи с единицы площади поверх­ности пластины.
Аналогичные рассуждения для слоя пластины, расположенного слева и имеющего толщину δ1 = δ — δ2, приводят к уравнению
Из уравнений (2.115) и (2.116) константа С2 выражается сле­дующим образом:
Решая систему (2.117) относительно б2, получим
Этим выражением определяется положение максимума кри­вой распределения температуры по толщине пластины. Постоян­ную С2 в решении (2.114) найдем подстановкой выражения (2.118) в любое из уравнений системы (2.117).
Решение задачи принимает особо простой вид в случае сим­метричного теплосъема с пластины, т. е. когда α1 = α2 = α и Tf1 = Tf2 = Tf. Очевидно, да и из выражения (2.118) следует, что δ2 = δ/2, т. е. максимальная температура достигается в пло­скости симметрии пластины.
Тогда из формулы (2.117) находим
Из решения (2.119) видно, что распределение температуры имеет вид квадратичной параболы, а максимальная температура
при постоянных qv и δ будет тем больше, чем меньше теплопровод­ность пластины λ и чем хуже теплоотдача с ее поверхности, т. е. чем меньше ос.
Температура на поверхности пластины (х = δ/2), равная
также растет с ухудшением теплоотдачи.
Решение задачи с граничными условиями 1-го рода легко по­лучить, определив δ2 и постоянную С2 из решения системы
являющейся математической записью граничных условий.
Максимум температуры будет располагаться на расстоянии δ2 от правой поверхности стенки, причем
При очень больших значениях коэффициента теплоотдачи граничные условия 3-го рода переходят в граничные условия 1-го рода с Tω = Tf. Это позволяет получить формулы распреде­ления температур и максимальной температуры при симметрич­ном теплосъеме и граничных условиях 1-го рода (Тω1 = Тω2 = Tw) из выражений (2.119) и (2.120), считая .
Тогда
2.12.2 - Бесконечный цилиндр
Дифференциальное уравнение теплопроводности при наличии объемного тепловыделения для одномерной стационар­ной задачи запишется в цилиндрических координатах [см. выра­жение (2.17)] в виде
Заменяя dT/dr на и и умножая все члены на r, получим
Для первых членов этого уравнения можно представить как
производную от произведения , а уравнение (2.128) переписать в виде:
Интегрируя по r, найдем откуда обратной
заменой и на dT/dr получим
Общее решение задачи найдем повторным интегрированием:
Из осевой симметрии задачи (дТ/дr)r=о = 0, следовательно С1 = 0.
В задаче с граничными условиями 3-го рода постоянная С2 найдется из уравнения
где R — наружный радиус цилиндра; Tf и α — заданные значе­ния температуры окружающей среды и коэффициента тепло­отдачи.
Таким образом, распределение температуры по радиусу ци­линдра выразится формулой
Решение для случая граничных условий 1-го рода получим из формулы (2.132), положив (Tω — Tf).
2.13 - Плоская стенка с переменным коэффициентом теплопроводности
При значительных изменениях температуры твердых тел необходимо учитывать зависимость коэффициента теплопровод­ности λ от температуры λ = λ (Т).
Основное дифференциальное уравнение теплопроводности для плоской стенки в этом случае будет иметь вид
Это уравнение решается с граничными условиями 1-го рода: при х = 0, Т = Tω1; при x=δ, Т = Tω2.
Введем новую переменную Ф, заданную уравнением
Тогда уравнение теплопроводности (2.135) примет вид
Уравнение (2.137) решается с граничными условиями:
Проинтегрируем уравнение (2.137) два раза:
Для определения констант С1 и С2 воспользуемся граничными условиями (2.138):
Удельный тепловой поток (плотность потока) определяется законом Фурье
которое с учетом (2.136), (2.139) и (2.141) примет вид
Для определения разности (Ф1 — Ф2) уравнение (2.136) про­интегрируем в пределах х от 0 до δ:
Подставляем выражение (2.145) в формулу (2.143), имеем
которая совпадает по форме с соотношением (2.26), полученным для плоской стенки в случае λ = const. Из этого результата следует важный вывод: полученные формулы расчета теплопро­водности при постоянном λ могут быть распространены и на случаи, когда λ= λ (Т), если в эти соотношения подставить среднее значение коэффициента теплопроводности λcр, опреде­ленное по формуле (2.147).