эконометрика (задачи)

2 задания с решениями ...

Задание 1
1. Составить уравнение линейной регрессии , используя МНК, и найти числовые характеристики переменных.
2. Составить уравнение линейной регрессии , используя матричный метод.
3. Вычислить коэффициент корреляции и оценить полученное уравнение регрессии.
4. Найти оценки параметров .
5. Найти параметры нормального распределения для статистик и .
6. Найти доверительные интервалы для и на основании оценок и при уровне значимости α = 0,05.
7. Вычислить коэффициент детерминации и оценить качество выбранного уравнения регрессии.

Задание 2

1. Составить уравнение множественной линейной регрессии y = a + b1x1 + b2x2 + ε в матричной форме, используя МНК, и найти числовые характеристики переменных.
2. Найти оценки параметров а, b1, b2, б².
3. Найти коэффициент детерминации и оценить уравнение регрессивной связи.
4. Оценить статистическую зависимость между переменными.

решение задач

Проверим гипотезу H0 о равенстве отдельных коэффициентов регрессии нулю (при альтернативе H1 не равно) на уровне значимости α=0.05.В случае если основная гипотеза окажется неверной, мы принимаем альтернативную. Для проверки этой гипотезы используется t-критерий Стьюдента.Найденное по данным наблюдений значение t-критерия (его еще называют наблюдаемым или фактическим) сравнивается с табличным (критическим) значением, определяемым по таблицам распределения Стьюдента .Табличное значение определяется в зависимости от уровня значимости (α) и числа степеней свободы, которое в случае линейной парной регрессии равно (n-2), n-число наблюдений.Если фактическое значение t-критерия больше табличного (по модулю), то основную гипотезу отвергают и считают, что с вероятностью (1-α) параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности значимо отличается от нуля.Если фактическое значение t-критерия меньше табличного (по модулю), то нет оснований отвергать основную гипотезу, т.е. параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности незначимо отличается от нуля при уровне значимости α.tкрит (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306EQ tb = \f(b;Sb)EQ tb = \f(0.34;0.0694) = 4.94Поскольку 4.94 > 2.306, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).EQ ta = \f(a;Sa)EQ ta = \f(8.58;1.85) = 4.63Поскольку 4.63 > 2.306, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).Найти доверительные интервалы для и на основании оценок и при уровне значимости α = 0,05.Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:(b - tкрит Sb; b + tкрит Sb)(0.34 - 2.306 • 0.0694; 0.34 + 2.306 • 0.0694)(0.18;0.5)С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.(a - tкрит Sa; a + tкрит Sa)(8.58 - 2.306 • 1.85; 8.58 + 2.306 • 1.85)(4.31;12.85)С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.Вычислить коэффициент детерминации и оценить качество выбранного уравнения регрессии.Коэффициент детерминации R2 используется для проверки существенности уравнения линейной регрессии в целом.Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.Если расчетное значение с k1=(m) и k2=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.EQ R2 = 1 - \f(∑(yi - yx)2; ∑(yi - \x\to(y))2) = 1 - \f(79.41;322.1) = 0.75где m – число факторов в модели.Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H0: R2=0 на уровне значимости α.2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:EQ F = \f(R2;1 - R2)\f((n - m -1);m)EQ F = \f(0.75;1 - 0.75)\f((10-1-1);1) = 24.45где m=1 для парной регрессии.3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.Fтабл - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α. Уровень значимости α - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно α принимается равной 0,05 или 0,01.4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=8, Fтабл = 5.32Поскольку фактическое значение F > Fтабл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).Задание 2Составить уравнение множественной линейной регрессии y = a + b1x1 + b2x2 + ε в матричной форме, используя МНК, и найти числовые характеристики переменных.Найти оценки параметров а, b1, b2, б².Найти коэффициент детерминации и оценить уравнение регрессивной связи.Оценить статистическую зависимость между переменными.Изучается зависимость по предприятиям объединения потребления материалов Y (т) от энерговооружённости труда Х1 (кВт/ч на одного рабочего) и объёма производственной продукции Х2 (тыс. ед.):№ п/пYХ1Х2141,112251,314371,210481,6115101,813 Решение:Составить уравнение множественной линейной регрессии y = a + b1x1 + b2x2 + ε в матричной форме, используя МНК, и найти числовые характеристики переменных.Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор s получается из выражения:s = (XTX)-1XTYМатрица X Матрица Y 11.11211.31411.21011.61111.813457810Матрица XT111111.11.31.21.61.81214101113Умножаем матрицы, (XTX)EQ XT X = \b\bc\| (\a \al \co3 \hs3 (5;7;60;7;10,14;84,4;60;84,4;730))В матрице, (XTX) число 5, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы XT и 1-го столбца матрицы XУмножаем матрицы, (XTY)EQ XT Y = \b\bc\| (\a \al \co1 \hs3 (34;50,1;406))Находим обратную матрицу (XTX)-117.21-2.84-1.09-2.843.09-0.12-1.09-0.120.