методика обучения школьников элементам теории вероятностей в контексте деятельностного подхода

В работе представлена методика обучения школьников теории вероятностей. ...

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………...……….3
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ШКОЛЬНИКОВ В КОНТЕКСТЕ ДЕЯТЕЛЬНОСТНОГО ПОДХОДА………………………………………………………………………...6
1.1. Сущность деятельностного подхода в обучении математике……...6
1.2. Современное состояние проблемы обучения теории вероятностей в школе……………………………………………………………….9
1.3. Анализ содержания учебных пособий для средней школы по теме «Основы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики»………………………...…………………...…………..17
1.4. Методические пути реализации деятельностного подхода в процессе обучения школьников теории вероятностей…………..23
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ I………………………………………………….32
ГЛАВА 2. МЕТОДИКА РЕАЛИЗАЦИИ ДЕЯТЕЛЬНОСТНОГО ПОДХОДА ПРИ ОБУЧЕНИИ ШКОЛЬНИКОВ ЭЛЕМЕНТАМ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ……...………………………………………………………...34
2.1. Методика изучения элементов теории вероятностей на основе деятельностного подхода в 9 классе……………………………………………34
2.2. Методические рекомендации по организации работы учащихся на уроках математики………………………………………………………………41
2.3 Организация и результаты педагогического эксперимента………..67
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ II………………………………………………….72
ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………...73
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………….……………………………………..75
ПРИЛОЖЕНИЕ.... ……………………………………………..…………81

Научная новизна исследования состоит в том, что в работе:
- предложена методика обучения школьников теории вероятностей, базирующаяся на идеях деятельностного подхода, и сочетающая совокупность методических путей, которые активизируют деятельность учащихся на уроках математики;
- разработан ряд неполных конспектов, предназначенных для контроля усвоения учащимися основных понятий и методов решения задач.

Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова). Данный учебник написан живым языком с постоянной опорой на жизненный опыт учащихся. В методике предусмотрена разнообразная практическая деятельность школьников. Они учатся оценивать вероятность наступления несложных случайных событий сначала на качественном уровне.По данному учебнику была разработана методика обучения школьников элементам теории вероятностей в контексте деятельностного подхода.Обучение школьников элементам теории вероятностей согласно тематическому планированию, представленному в пункте 1.3., реализуется посредством следующих методических путей:использование в процессе обучения проблемных задач;использование задач с решением, заведомо содержащим ошибку;проведение фронтального эксперимента в процессе обучения;реализация деятельностногоподхода посредством организации работы в парах «сильный-слабый»;контроль домашних заданий посредством разработанных нами неполных конспектов.ГЛАВА II. МЕТОДИКА РЕАЛИЗАЦИИ ДЕЯТЕЛЬНОСТНОГО ПОДХОДА ПРИ ОБУЧЕНИИ ШКОЛЬНИКОВ ЭЛЕМЕНТАМ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ2.1. Методика изучения элементов теории вероятностей на основе деятельностного подхода в 9 классеВ данном параграфе на основе выводов, полученных в первой главе, предлагается методика обучения элементам теории вероятностей на основе деятельностного подхода.Предлагаемая методика разработана к учебнику Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С.Б. Суворовой; под ред. С.А. Теляковского «Алгебра» 9класса. Согласно тематическому планированию на изучение элементов теории вероятностей отводится 13 часов.Рассмотрим реализацию каждого из направлений нашей методики на примере изучения конкретных тем по теории вероятностей.Первой составляющей нашей методики является использование в процессе обучения проблемных задач. Например, при изучении темы: «Примеры комбинаторных задач» мы рассмотрим следующую проблемную задачу:Задача 1. Вспомните, как выглядит флаг России? Из каких цветов он состоит?Ученики: Учитель: Правильно! Однако есть государства, где флаги имеют такие же цвета. Возьмем, к примеру, флаги стран Европы, где встречаются эти три цвета: Нидерланды, Республика Сербская, Югославия.Учитель: Чем они отличаются от флага России?Ученики: Расположением цветных полосок.Учитель: Правильно! Мы видим, что от перестановок цветных полосок, можно получить другой флаг. Подсчитайте, сколько таких флагов мы можем составить из трех цветных полосок?Ученики: Решая данную задачу систематическим перебором, можно определить, что количество таких флагов будет равно шести (КБС, КСБ, БСК, БКС, СБК, СКБ). Учитель: Правильно! Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении задачи, называют перебором возможных вариантов.При изучении классического определения вероятности, мы не формулируем определение, а подводим учащихся к нему посредством постановки проблемных задач. Например:Задача 2. В классе учатся 15 мальчиков и 10 девочек. Из класса требуется выбрать одного ученика для проведения конкурса. Какова вероятность того, что выбранный ученик окажется мальчиком.Второй составляющей разработанной нами методики является использование в процессе обучения задач с решением, заведомо содержащем ошибку. Эти задачи используют только на этапе закрепления либо теоретических, либо практических знаний по той или иной теме. Такого рода задачи выдаются на специальных карточках, которые предлагаются для самостоятельного выполнения.Например, при закреплении понятия классического определения вероятности учащимся предлагаются следующие задачи:Задача 3. В ящике находится 3 белых и 5 черных шаров. Наудачу извлекают один шар. Какова вероятность того, что он черный?Решение: Всего исходов – 5; благоприятные исходы – 1.p=15Задача 4. Игральный кубик подбрасывают один раз. Найти вероятность того, что выпадет 3 очка.Решение:Всего исходов – 6; благоприятные исходы – 3.p=36=12Задача 5. Найдите вероятность того, что при вытаскивании одной карты из колоды (52 карты) эта карта окажется дамой любой масти.Решение:Всего исходов – 52; благоприятные исходы – 1.p=152Задача 6. Игральный кубик подбрасывают один раз. Найти вероятность того, что выпадет число очков кратное трем.Решение:Всего исходов – 6; благоприятные исходы – 3.p=36=12Задача 7. В партии из 20 деталей имеется 5 бракованных. Определить вероятность того, что взятая наугад деталь окажется стандартной.Решение:Всего исходов – 20; благоприятные исходы – 5.p=520=14При закреплении теоретических знаний по усвоению понятий достоверных, невозможных и случайных событий перед учащимися ставится следующая задача:Найдите ошибку в следующих утверждениях и исправьте ее.а) Завтра пойдет красный снег – достоверное событие;б) 2∙2=4 – случайное событие;в) Завтра будет дождь – невозможное событие;г) Папа старше своих детей – случайное событие;д) Человек бессмертен – случайное событие;е) Кошка родит двух котят – невозможное событие.При закреплении теоретических знаний по усвоению понятий совместных и несовместных событий учащимися предлагается выполнить следующее задание:Найдите ошибку в следующих утверждениях и исправьте ее.а) Пусть опыт состоит в бросании игральной кости. А – число выпавших очков четное, С – число выпавших очков делится на три – совместные события.б) Пусть опыт состоит в бросании игральной кости. А – число выпавших очков нечетное, В – число выпавших очков делится на три – несовместные событие.в) А – число целое, В – число четное – несовместные события.г) А – число четное, В – нечетное число – совместные события.д) А – человек читает, В – человек спит – несовместные события.е) А – Петя прыгнул в воду, В – Петя вышел сухим из воды – совместные события.Третьей составляющей методики является проведение фронтального эксперимента учащимися на этапе изучения нового материала. Например, при изучении статистического определения вероятности мы проводим следующий эксперимент:Классу предлагается провести эксперимент по парам с извлечением из пакета одного из двух сортов конфет. После извлечения конфета возвращается на место. На предыдущем уроке им было объявлено принести 10 штук ирисок и 10 штук карамелек. Какова частота извлечения 1 ириски из пакета. Испытание проводится 20 раз.Результаты этого эксперимента заносятся в таблицу 2. Таблица SEQ Таблица \* ARABIC 2№ испытанияИзвлечение ирискиИзвлечение карамельки123…20По истечении проведения эксперимента сравниваются результаты всех пар, и высчитывается относительная частота извлечения ириски из пакета.После чего учащимся предлагается суммировать количество плюсов второго столбца каждой пары, разделив ее на количество всех испытаний. В результате эксперимента учащиеся приходят к понятию статистическое определение вероятности. Это является простым и наглядным экспериментом.Четвертой составляющей разработанной нами методики в процессе обучения является работа в парах «сильный-слабый» на этапе закрепления той или иной темы. Например, при закреплении понятия факториал учащимся предлагается следующие задания:Вычислите:1) 3!=2) 5!=3) 2!∙3!=4) 5!3!=5) 9!2!∙7!=В качестве контроля работы слабого ученика предлагаются следующие задания:Вычислите:1) 4!=2) 6!=3) 4!∙2!=4) 6!4!=5) 8!3!∙5!=Пятой составляющей нашей методики является контроль домашних заданий посредством разработанных нами неполных конспектов. Например, после изучения первой темы: «Примеры комбинаторных задач», каждому учащемуся в качестве домашнего задания выдается следующий конспект: Тема №1: «Примеры комбинаторных задач»Комбинаторика – ___________________________________________________________________________________________________________Пример 1.Подсчитайте, сколько флагов можно составить из трех цветных полосок (белый, синий, красный)? Решение:_____________________________________________________________Пример 2.Сколько трехзначных чисел можно составить из чисел из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?Решение:_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Комбинаторное правило умножения:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Пример 3.В столовой предлагают два первых блюда: щи и борщ; три вторых блюда: рыба, гуляш и плов; два третьих: компот и чай. Перечислите все возможные варианты обедов из трех блюд. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.Решение:__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________№ 715У Ирины 5 подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Светлана. Она решила двух из них пригласить в кино. Укажите все возможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов?Решение:_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________№717Укажите все способы, какими можно разложить три яблока в две вазы (учтите при этом случаи, когда одна из ваз окажется пустой).Решение:__________________________________________________________________________________________________________________________№723При встрече 8 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?Решение:_____________________________________________________________№726Из села Дятлово в село Матвеевское ведут три дороги, а из села Матвеевское в село Першино – четыре дороги. Сколькими способами можно попасть из Дятлово в Першино через Матвеевское?Решение:_____________________________________________________________Домашнее задание (№714, №716, №718, №719, №727).Конспекты по остальным темам раздела «Элементы теории вероятностей» содержатся в приложении 1.2.2. Методические рекомендации по организации работы учащихся на уроках математикиУрок №1Тема: «Примеры комбинаторных задач»Начинать обучение комбинаторике целесообразно с постановки проблемной задачи, в ходе которой методом перебора и путем наводящих вопросов учащиеся приходят к правильному решению. Задача. Вспомните, как выглядит флаг России? Из каких цветов он состоит?Ученики: Учитель: Правильно! Однако есть государства, где флаги имеют такие же цвета. Возьмем, к примеру, флаги стран Европы, где встречаются эти три цвета: Нидерланды, республика Сербская, Югославия.Учитель: Чем они отличаются от флага России?Ученики: Расположением цветных полосок.Учитель: Правильно! Мы видим, что от перестановок цветных полосок, можно получить другой флаг. Подсчитайте, сколько таких флагов мы можем составить из трех цветных полосок?Ученики: Решая данную задачу систематическим перебором, можно определить, что количество таких флагов будет равно шести (КБС, КСБ, БСК, БКС, СБК, СКБ). Учитель: Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении задачи, называют перебором возможных вариантов.Далее поясняем, что в математике существует немало задач, в которых требуется из имеющихся элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, образованных по определенному правилу. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающейся решением этих задач, называется комбинаторикой (от лат. combinare, которое означает «соединять, сочетать»).Комбинаторикой называют область математики, изучающую вопросы о числе различных комбинаций (удовлетворяющих тем или иным условиям), которые можно составить из данных элементов.С комбинаторными задачами люди имели дело еще в глубокой древности, когда, например, они выбирали наилучшее расположение воинов во время охоты, придумывали узоры на одежде или посуде. Позже появились нарды, шахматы. Как ветвь математики комбинаторика возникла только в XVII в. В дальнейшем полем для приложения комбинаторных методов оказались биология, химия, физика. И, наконец, роль комбинаторики коренным образом изменилась с применением компьютеров: она превратилась в область, находящуюся на основном пути развития науки.Далее следует рассмотреть задачи на подсчет количества возможных наборов. Такие задачи решаются с помощью применения принципа умножения. Хорошей наглядной иллюстрацией правила умножения является дерево возможных вариантов.Задача. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?Учитель: Какая из цифр может стоять на первом месте у нашего трехзначного числа?Ученики: На первом месте может стоять любая из тех цифр, которые даны: 1, 3, 5 или 7.Учитель: Какая из цифр может стоять на втором месте у нашего трехзначного числа?Ученик: На втором месте может стоять любая из трех недостающих цифр. К примеру, у первого числа на первом месте стоит цифра 1, на втором – любая из трех недостающих: 3, 5 либо 7; соответственно, у цифры 3 – на втором месте: 1, 5 либо 7 и т.д.Учитель: Какая из цифр может стоять на третьем месте?Ученик: На третьем месте может стоять любая из двух недостающих цифр. К примеру, у первого числа на первом месте стоит цифра 1, на втором – 3, на третьем –5 или 7; соответственно, если на втором месте – 5, то на третьем – 3 или 7 и т.д.Таким образом, мы пришли к следующей схеме.Первая цифра 1 3 5 7Вторая цифра 3 5 7 1 5 7 1 3 7 1 3 5 Третья цифра 5 7 3 7 3 5 5 7 1 7 1 5 3 7 1 7 1 3 3 5 1 5 1 3Проведенный перебор вариантов показывает, что можно составить 24 трехзначных числа, в записи которых цифры не повторяются. Такую схему называют деревом возможных вариантов. Также мы замечаем, что ответить на поставленный вопрос задачи можно другим способом, не выписывая сами числа. Будем рассуждать так. Первую цифру можно выбрать четырьмя способами. Так как после выбора первой цифры останутся три, то вторую цифру можно выбрать уже тремя способами. Наконец, третью цифру можно выбрать (из оставшихся двух) двумя способами. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению 4∙3∙2=24.Мы нашли ответ на вопрос, используя комбинаторное правило умножения. Далее мы формулируем это правило в общем виде.Для закрепления можно предложить учащимся аналогичную задачу.Задача. В столовой предлагают два первых блюда: щи и борщ; три вторых блюда: рыба, гуляш и плов; два третьих: компот и чай. Перечислите все возможные варианты обедов из трех блюд, используя комбинаторное правило умножения и постройте дерево возможных вариантов.ПервоеблюдоВтороеблюдоТретьеблюдоВариантыобедащ – р – к (1)щ – р – ч (2)щ – г – к (3)щ – г – ч (4)щ – п – к (5)щ – п – ч (6)б – р – к (7)б – р – ч (8)б – г – к (9)б – г – ч (10)б – п – к (11)б – п – ч (12)Из построенного нами дерева видно, что ответом является 12 вариантов обеда.Этот же ответ можно получить, используя комбинаторное правило умножения, т.е. 2∙3∙2=12 вариантов.После этого мы рассматриваем задачи, решение которых облегчает использование графов. Так как они уже знакомы с этим понятием, то достаточно только подвести их к этому.Задача. У Ирины 5 подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Света. Она решила двух из них пригласить в кино. Укажите все возможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов?В этой задаче не учитывается порядок элементов. Можно осуществлять перебор как в примере 1, а можно наглядно переставить в виде графа:В – ВераЗ – ЗояМ – МаринаП – ПолинаС – СветланаРебра графа показывают связь в парах, таких ребер 10. Какой можно сделать вывод о количестве вариантов выбора подруг? Значит, всего 10 вариантов выбора подруг.Далее идет закрепление материала на различных примерах и упражнениях из учебника.На этом уроке мы рассмотрели задачи, в которых требуется из имеющихся элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, образованных по определенному правилу, а также изучили несколько основных методов их решения.Урок №2Тема: «Перестановки»Урок следует начать с контроля усвоения материала прошлого урока в виде самостоятельной работы.Вариант 11. В школьной столовой имеется 3 первых блюда, 4 вторых блюда и 3 третьих блюда. Сколькими способами можно выбрать обед, состоящий из первого, второго и третьего блюд?2. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?Вариант 21. В школьной столовой имеется 4 первых блюда, 2 вторых блюда и 2 третьих блюда. Сколькими способами можно выбрать обед, состоящий из первого, второго и третьего блюд?2. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9?Далее предлагаются устные задания для фронтального опроса класса для отладки изученного материала.1.Составьте все возможные комбинации (выборки) из трех учеников (Иванов, Петров, Сидоров) по два элемента в каждой выборке. (Ответ: Иванов и Сидоров; Иванов и Петров; Сидоров и Петров).2.Если объект А можно выбрать х способами, а объект В – у способами, то сколько способов существует для выбора объекта А и объекта В одновременно? (Ответ: х+у.)3.Из города А в город В ведут три дороги, а из города В в город С ведут четыре дороги. Сколько различных вариантов маршрутов из города А в город С можно составить? (Ответ: 12).4.Имеются три цифры: 2, 5 и 7. Сколько различных двухзначных чисел можно составить из этих цифр без повторения их в записи числа? (Ответ.6). 5. Имеются три цифры: 2, 0 и 7. Сколько различных двухзначных чисел можно составить из этих цифр без повторения их в записи числа? (Ответ.4).6.При встрече 10 человек обменялись фотографиями. Сколько потребовалось фотографий? (Ответ.90).7.При встрече 10 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий? (Ответ. 45).Операция перебора раскрывает идею комбинирования, служит основой для формирования комбинаторных понятий. Основными комбинаторными понятиями являются: сочетания, перестановки, размещения. Сегодня мы с вами познакомимся с перестановками. Для начала рассматривается понятие соединения из n элементов по k.Соединением из n элементов по k назовем выборку k элементов из различных элементов (k≤n).Задача. Пусть даны три различных элемента (n=3): a, b и с. Перечислим:соединения из трех элементов по одному (k=1): a, b, c;соединения из трех элементов по два (k=2): ab, ba, ac, ca, bc, cb;соединения из трех элементов по три (k=3): abc, acb, bac, bca, cab, cba.В зависимости от того, имеет ли значение порядок элементов или нет, а также от того, входят ли в соединение все n элементов или только k (при условии, что (k<n), различают три вида соединений: перестановки, размещения, сочетания.На этом уроке рассматривается простейший вид соединений – перестановка.Здесь перед учениками ставим проблемную задачу, вследствие чего они методом перебора приходят к правильному ответу.Задача. Пусть имеются три книги. Обозначим их буквами a, b и c. Эти книги можно расставить на полке по-разному.Далее путем различных комбинаций они приходят к следующим рассуждениям:если первой поставить книгу a, то возможны такие расположения книг: abc, acb;если первой поставить книгу b, то возможны такие расположения книг: bac, bca;и наконец, если первой поставить книгу c, то возможны такие расположения книг: cab, cba.Каждое из этих расположений называют перестановкой из трех элементов. Далее вводится определение перестановки из n элементов.Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.Другими словами, имеется n позиций (мест), которые надо заполнить n различными элементами:n местЧисло перестановок из n элементов обозначают символом Pn (читается «P из n»).В рассмотренном примере мы установили, что P3 = 6.Далее выводим формулу числа перестановок из n элементов. Пусть мы имеем n элементов. На первое место можно поставить любой из них. Для каждого выбора первого элемента на второе место можно поставить один из оставшихся n – 1 элементов.