Проблема оценивания взаимозависимостей систем уравнения

раскрыты вопросы проблемы оценивания взаимозависимостей систем уравнения ...

Введение 3
Особенности систем взаимозависимых моделей 4
Формы представления систем взаимозависимых эконометрических моделей 9
Пример систем взаимозависимых эконометрических моделей 17
Заключение 20
Список использованной литературы 21

При формировании и построении эконометрических моделей в предыдущих разделах предполагалось, что между независимыми переменными х1t,..., хпt и зависимой переменной уt в каждый момент времени существует только односторонняя прямая взаимосвязь: хi у, i=1, 2,..., п. В такой ситуации зависимая переменная уt не оказывала никакого влияния на переменные, входившие в правую часть модели.
Это не означает, что переменные хit, i=1, 2,..., п, характеризовались как абсолютно независимые. Однако предопределяющие их значения причины, факторы не находились под воздействием ᐧявления, отражаемого переменной уt.

С ᐧучетом ᐧэтого ᐧфакта ᐧкоэффициенты ᐧкаждой из ᐧэконометрических ᐧмоделей, ᐧвходящих в ᐧрекурсивную ᐧсистему, ᐧмогут ᐧбыть ᐧоценены с ᐧиспользованием ᐧобычного ᐧМНК и ᐧполученные их ᐧоценки не ᐧбудут ᐧсмещенными.
ᐧРассмотрим ᐧпроблемы ᐧпостроения ᐧсистем ᐧвзаимозависимых ᐧэконометрических ᐧмоделей ᐧболее ᐧподробно, в ᐧтом ᐧчисле и с ᐧформальных ᐧпозиций.
Формы представления систем взаимозависимых эконометрических моделей
Собрав по разные стороны знака равенства переменные уit и хjt и ошибки it, i=1, 2,..., т; j=1, 2,..., n; представим общий вариант системы взаимозависимых уравнений в следующем виде:
где ik и ij – коэффициенты i-го уравнения при переменных уkt и xjt соответственно; k, i=1, 2,..., т; j=0, 1,..., n; X0 0.
Взаимозависимые переменные у1, у2,..., уm обычно называют эндогенными, подчеркивая тем самым, что их расчетные значения определяются на основании модели (8.9). Переменные х1,..., хп называются экзогенными. Их значения задаются только в качестве исходных данных и в системе (8.9) они не рассчитываются.
Для ошибок системы (8.9) будем считать справедливыми предположения типа (8.3), т. е. M[it]=0; cov(it, i,t-k)=0; k=1, 2,...; Но при этом ошибки отдельных уравнений могут быть взаимозависимыми, что выражается соотношением
которое может быть справедливым для некоторых i и j .
Кроме того, в системе (9) предполагается, что экзогенные переменные xj, j=1,2,..., n; и ошибки уравнений i, i=1, 2,..., т; независимы.
Исходными данными при построении модели (8.9) являются зафиксированные в моменты времени t=1,2....,Т значения эндогенных переменных уit и экзогенных переменных хjt, i=1, 2,..., т; j=1, 2,..., n.
Для произвольного момента t система (8.9) может быть записана в следующей векторно-матричной форме:
А уt+Вхt=t, (11)
где уt=[у1t, у2t,..., уmt] – вектор-столбец наблюдаемых значений эндогенных переменных в момент t; хt=[1, х1t,..., хпt] – вектор-столбец наблюдаемых значений эндогенных переменных в момент t; t=[1t, ..., пt] – вектор-столбец значений ошибок уравнений в момент t; А, В – матрицы коэффициентов aik и bij модели при переменных уit и хjt соответственно. Матрица А имеет размерность тт, а матрица В – т(п+1).
А = В = (8.12)
Развернутую и векторно-матричную формы (9) и (11) системы эконометрических уравнений называют структурной формой модели. В отличие от нее можно сформировать так называемую “приведенную” форму модели, в которой значения переменных уit выражаются только через экзогенные переменные хjt. Векторно-матричное уравнение приведенной формы записывается в следующем виде:
уt=Схt+иt, (13)
где С – матрица коэффициентов приведенной формы размера т(п+1); иt=[и1t,..., ипt] – вектор-столбец ошибок приведенной формы.
Таким образом, уравнения, входящие в приведенную систему (13), по своему виду похожи на традиционные эконометрические модели с одной зависимой переменной уit и независимыми факторами х1t, х2t,..., хпt. Развернутая форма приведенной системы (13) может быть представлена в следующем виде:
Вообще говоря, приведенная форма системы эконометрических уравнений типа (13) может быть сформирована только при условии невырожденности матрицы А. В самом деле, из условия равенства столбцов уt в системах (11) и (13) непосредственно вытекает, что показатели приведенной формы выражаются через показатели структурной формы следующим образом:
С =–А–1В, иt=А–1t. (15)
Поскольку экзогенные переменные хjt, j=1, 2,..., n; и ошибки it, i=1, 2,..., т; статистически независимы, то оценки коэффициентов приведенной формы, полученные с использованием МНК, являются несмещенными, несмотря на достаточно сложную структуру ошибок иit. Из выражения (15) следует, что ошибки иkt являются линейными комбинациями ошибок it, k, i=1, 2,..., т. Для них справедливо следующее соотношение:
где коэффициенты ki являются элементами k-й строки матрицы А–1.
Из выражений (14) и (16) непосредственно также следует, что любая эндогенная переменная уkt, k =1, 2,..., т; статистически взаимосвязана с ошибками всех моделей системы (1), поскольку ошибки иkt являются линейными комбинациями ошибок it.
Точно так же, как и для системы (1), можно доказать, что и в общем случае системы (8.9) и ее векторно-матричного аналога (11), ее характерной чертой является наличие статистических взаимосвязей между эндогенными переменными уkt, входящими в правую часть i-го уравнения этой системы, и его ошибкой it. Для переменной y2t, например, это несложно сделать, подставив во второе уравнение системы вместо переменной y1t, определяющее ее первое уравнение системы. В результате получим следующее выражение:
свидетельствующее о том, что переменная y2t и ошибка 1t взаимосвязаны друг с другом.
В выражении (17) представляет собой новую линейную форму, отражающую зависимость переменной y2t от всех других факторов, входящих в модель, после подстановки первого уравнения системы во второе, и приведения подобных членов.
Аналогичным образом, подставляя во второе уравнение системы (9) третье, четвертое и т. д. т-е уравнение, увидим, что переменная y2t взаимосвязана с ошибками 3t, 4t,..., mt и ее вхождение в правую часть этих уравнений в качестве независимого фактора в случае использования МНК влечет за собой смещение оценок их параметров.
Точно также можно показать наличие взаимосвязей и между другими эндогенными переменными, рассматриваемыми в уравнениях системы (9) в качестве независимых факторов, и ошибками этих уравнений.
При сопоставлении структурной и приведенной форм системы (11) следует иметь в виду, что при заданном составе эндогенных и экзогенных переменных приведенная форма является единственной, определенной матричным уравнением (13). В то же время структурная форма вытекает из содержательных предпосылок, лежащих в основе модели, отражающих эмпирический опыт, интуицию исследователя, то или иное направление экономической теории. Вследствие этого, даже при известном составе эндогенных и экзогенных переменных в общем случае может существовать множество структурных форм, каждая из которых определяется специфическими соотношениями включенных переменных, в свою очередь, отражающими определенные варианты содержательных предпосылок системы (9).
Можно показать, что некоторые из этих форм взаимосвязаны между собой. Предположим, что существует невырожденная матрица F размера тт. Умножим выражение (11) слева на эту матрицу. В результате имеем
FАуt+FВхt=Ft. (18)
Обозначив FА=А1, FВ=В1, Ft=t, получим новую структурную форму А1уt+В1хt=t. В частности, приведенная форма (13) получена при условии, что F = А–1.
Преобразуем новую структурную форму (18) в приведенную. Для этого умножим это выражение слева на матрицу (FА)–1.
В результате получим следующее выражение:
(FА)–1(FА)уt+(FА)–1FВхt=(FА)–1Ft, (19)
которое с учетом правила умножения обратных матриц ((FА)–1 =А–1F–1) преобразуется к уже известной системе (13).
уt=–А–1Вхt+иt.
Выражения (18) и (19) формально доказывают единственность приведенной формы и множественность структурных форм для заданного состава эндогенных и экзогенных переменных.
Заметим, что структурная форма системы взаимозависимых эконометрических моделей (11) может быть представлена и в более компактной форме записи
Dzt=t , (20)
где вектор zt размера (т+п) объединяет векторы уt и хt , а матрица D размера т( т+п) объединяет матрицы А и В.
уt
zt = хt , D = [А В], (21)
где [А В] – матрица, образованная построчным присоединением матрицы В к матрице А. Таким образом, она содержит т строк и т+п+1 столбец. Кроме того, заметим, что и структурная форма (11) и приведенная форма (9) сформированы для каждого из текущих индексов t. В общем виде, развернув каждую из переменных по индексу t, структурную форму (11) можно представить в следующем виде:
АY +ВX = , (22)
где Y и X представляют собой матрицы размера Тт и Т( п+1) соответственно: