Типовой расчет по теории вероятности

Решение 7-ми задач по теории вероятности ...

Задача 1
Наладчик обслуживает одновременно 5 независимо работающих станков. Вероятности того, что в течение часа станки будут работать без остановки, равны соответственно: 0,95; 0,84; 0,8; 0,91; 0,92. Найти вероятность того, что хотя бы один станок в течение часа остановится.
Задача 2
32 карты из 36 розданы четырем игрокам. 4 карты лежат в прикупе. Найти вероятность, что все они пики.
Задача 3
Брошены две кости. Случайная величина Х - сумма выпавших очков. Найти закон распределения случайной величины X, ее математическое ожидание - М[Х] и дисперсию D[X].
Задача 4
При изготовлении некоторой детали вероятность брака равна 0,3. Составить ряд распределения для числа бракованных деталей из взятых наугад пяти деталей, найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этого распределения.
Задача 5
Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения:

1) Определить вероятность попадания значения случайной величины Х в интервал [-1, 1]
2) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
Задача 6
Вероятность наступления события при одном испытании равна 0,4. С помощью формул Лапласа найти вероятность того, что при 120 испытаниях событие наступит: а) 40 раз; б) не менее 40 раз.
Задача 7
Измерялось усилие резания при черновой обточке литой заготовки из серого чугуна, при этом были получены следующие результаты (в кто):
266 269 273 254 260 258 267 271 274 282 260 257
265 271 269 252 263 268 277 267 253 281 276 253
265 262 265 260 257 269 267 271 268 263 255 262
264 278 270 282 265 253 270 264 283 266 271 261
277 255 266 274 259 278 274 253 279 262 263 266
284 261 272 259 267 270 272 268 270 264 274 256
272 264 275 252 270 266 270 263 267 268 261 275
267 273 256 279 268 265 259 280 269 265 276 284
279 268 269 280
Длина интервала h=4.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.

Задача 1
Наладчик обслуживает одновременно 5 независимо работающих станков. Вероятности того, что в течение часа станки будут работать без остановки, равны соответственно: 0,95; 0,84; 0,8; 0,91; 0,92. Найти вероятность того, что хотя бы один станок в течение часа остановится.
Задача 2
32 карты из 36 розданы четырем игрокам. 4 карты лежат в прикупе. Найти вероятность, что все они пики.
Задача 3
Брошены две кости. Случайная величина Х - сумма выпавших очков. Найти закон распределения случайной величины X, ее математическое ожидание - М[Х] и дисперсию D[X].
Задача 4
При изготовлении некоторой детали вероятность брака равна 0,3. Составить ряд распределения для числа бракованных деталей из взятых наугад пяти деталей, найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этого распр еделения.
Задача 5
Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения:

1) Определить вероятность попадания значения случайной величины Х в интервал [-1, 1]
2) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
Задача 6
Вероятность наступления события при одном испытании равна 0,4. С помощью формул Лапласа найти вероятность того, что при 120 испытаниях событие наступит: а) 40 раз; б) не менее 40 раз.
Задача 7
Измерялось усилие резания при черновой обточке литой заготовки из серого чугуна, при этом были получены следующие результаты (в кто):
266 269 273 254 260 258 267 271 274 282 260 257
265 271 269 252 263 268 277 267 253 281 276 253
265 262 265 260 257 269 267 271 268 263 255 262
264 278 270 282 265 253 270 264 283 266 271 261
277 255 266 274 259 278 274 253 279 262 263 266
284 261 272 259 267 270 272 268 270 264 274 256
272 264 275 252 270 266 270 263 267 268 261 275
267 273 256 279 268 265 259 280 269 265 276 284
279 268 269 280
Длина интервала h=4.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.

Решение
Функция распределения.
Математическое ожидание.
Дисперсия.
= 1/16•24 - (1/16•(-2)4) - (4/3)2 = -16/9
Среднеквадратическое отклонение.
Задача 6
Вероятность наступления события при одном испытании равна 0,4. С помощью формул Лапласа найти вероятность того, что при 120 испытаниях событие наступит: а) 40 раз; б) не менее 40 раз.
Решение
Исходные данные: p = 0.4, q = 1- p = 1 - 0.4 = 0.6
1) Событие наступит ровно k = 40 раз.
Для больших n применяют локальную теорему Лапласа:
где
Найдем значение x:
Функция
четная, поэтому φ(-1.491) = φ(1.491) = 0.13133093
Искомая вероятность:
2) событие наступит не менее 40 раз.
Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
Pn(k1,k2) = Ф(x’’) – Ф(x’)
где Ф(x) – функция Лапласа.
;
k1 = 40, k2 = 120.
;
Учитывая, что функция Лапласанечетная, т.е. Ф(-x) = -Ф(x), получим:
P120(40 < x < 120) = Ф(13.42) - Ф(1.49) = 0.49999 - (-0.4332) = 0.93319
Задача 7
Измерялось усилие резания при черновой обточке литой заготовки из серого чугуна, при этом были получены следующие результаты (в кто):
266
269
273
254
260
258
267
271
274
282
260
257
265
271
269
252
263
268
277
267
253
281
276
253
265
262
265
260
257
269
267
271
268
263
255
262
264
278
270
282
265
253
270
264
283
266
271
261
277
255
266
274
259
278
274
253
279
262
263
266
284
261
272
259
267
270
272
268
270
264
274
256
272
264
275
252
270
266
270
263
267
268
261
275
267
273
256
279
268
265
259
280
269
265
276
284
279
268
269
280
Длина интервала h=4.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.
Решение
Определим границы группы.
Номер группы
Нижняя граница
Верхняя граница
1
252
256
2
256
260
3
260
264
4
264
268
5
268
272
6
272
276
7
276
280
8
280
284
Результаты группировки оформим в виде таблицы:
Группы
№ совокупности
Частота fi
252 - 256
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
11
256 - 260
12,13,14,15,16,17,18,19,20
9