ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 1 вариант 7 задач

Задание № 1 к контрольной работе
Задача №1
Пусть из М=29 предприятий К=16 ведут бухгалтерский учет без нарушений. Какова вероятность, что при проведении проверки на N=10 предприятиях:
1. Будут выявлены нарушения на двух проверяемых предприятиях;
2. Будут выявлены нарушения на всех проверяемых предприятиях;


Задача №2
В некоторой локальной сети 5 компьютеров. Вероятности выхода из строя для каждого из них соответственно p1,=0,18, p2,=0,11, p3,=0,15, p4,=0,24, p5.=0,22. Найти вероятность того, что
1. Выйдет из строя один компьютер;
2. Выйдут из строя три компьютера;
3. Выйдут из строя хотя бы два компьютера;
4. Выйдет из строя не менее четырех компьютеров.


Задача №3
На склад с трех предприятий поступает продукция 1-го и 2-го сорта. В продукции первого предприятия содержится K1=27 % издели ...

Задание № 1 к контрольной работе
Задача №1
Пусть из М=29 предприятий К=16 ведут бухгалтерский учет без нарушений. Какова вероятность, что при проведении проверки на N=10 предприятиях:
1. Будут выявлены нарушения на двух проверяемых предприятиях;
2. Будут выявлены нарушения на всех проверяемых предприятиях;


Задача №2
В некоторой локальной сети 5 компьютеров. Вероятности выхода из строя для каждого из них соответственно p1,=0,18, p2,=0,11, p3,=0,15, p4,=0,24, p5.=0,22. Найти вероятность того, что
1. Выйдет из строя один компьютер;
2. Выйдут из строя три компьютера;
3. Выйдут из строя хотя бы два компьютера;
4. Выйдет из строя не менее четырех компьютеров.


Задача №3
На склад с трех предприятий поступает продукция 1-го и 2-го сорта. В продукции первого предприятия содержится K1=27 % изделий 2 сорта, в продукции второго – K2=24 %, третьего – K3=14 % второсортных изделий. Чему равна вероятность того, что среди трех изделий (по одному из продукции каждого предприятия) окажутся первого сорта:
а) одно изделие;
б) два изделия;
в) хотя бы два изделия.


Задание №2 для контрольной работы
Задача №1
Вероятность того, что поезда приходят по расписанию составляет P=0,777. Найти вероятность того, что из M=5 поездов придут вовремя
А) три;
Б) не менее трех;
В) хотя бы два;
Г) ни один;
Д) наивероятнейшее число пришедших вовремя поездов.


Задача №2
Вероятность того, что с конвейера сходит бракованный автомобиль составляет 0,314. Какова вероятность, что из 209 автомобилей 122 окажутся бракованными. Определить наивероятнейшее число брака.


Задача №3
Вероятность отказа при работе программного продукта составляет 0,003 за 1 сутки. Какова вероятность того, что за 1103 суток произойдет 6 отказов.


Задание №3 для контрольной работы
Описать случайное событие, характеризующееся случайной величиной Х. Провести эксперименты для формирования выборки значений
Х1,Х2,…,ХN,
где N - 50. (Объем выборки – 50 чисел).
1. На данном уровне значимости P=0,95 исследовать выборку на однородность. Исключить все Хi, являющиеся маловероятными.
2. Построить гистограмму относительных частот. Проверить гипотезы о равномерном и нормальном распределении с использованием критерия Пирсона.

Задание № 1 к контрольной работе
Задача №1
Пусть из М=29 предприятий К=16 ведут бухгалтерский учет без нарушений. Какова вероятность, что при проведении проверки на N=10 предприятиях:
1. Будут выявлены нарушения на двух проверяемых предприятиях;
2. Будут выявлены нарушения на всех проверяемых предприятиях;


Задача №2
В некоторой локальной сети 5 компьютеров. Вероятности выхода из строя для каждого из них соответственно p1,=0,18, p2,=0,11, p3,=0,15, p4,=0,24, p5.=0,22. Найти вероятность того, что
1. Выйдет из строя один компьютер;
2. Выйдут из строя три компьютера;
3. Выйдут из строя хотя бы два компьютера;
4. Выйдет из строя не менее четырех компьютеров.


Задача №3
На склад с трех предприятий поступает продукция 1-го и 2-го сорта. В продукции первого предприятия содержится K1=27 % издели й 2 сорта, в продукции второго – K2=24 %, третьего – K3=14 % второсортных изделий. Чему равна вероятность того, что среди трех изделий (по одному из продукции каждого предприятия) окажутся первого сорта:
а) одно изделие;
б) два изделия;
в) хотя бы два изделия.


Задание №2 для контрольной работы
Задача №1
Вероятность того, что поезда приходят по расписанию составляет P=0,777. Найти вероятность того, что из M=5 поездов придут вовремя
А) три;
Б) не менее трех;
В) хотя бы два;
Г) ни один;
Д) наивероятнейшее число пришедших вовремя поездов.


Задача №2
Вероятность того, что с конвейера сходит бракованный автомобиль составляет 0,314. Какова вероятность, что из 209 автомобилей 122 окажутся бракованными. Определить наивероятнейшее число брака.


Задача №3
Вероятность отказа при работе программного продукта составляет 0,003 за 1 сутки. Какова вероятность того, что за 1103 суток произойдет 6 отказов.


Задание №3 для контрольной работы
Описать случайное событие, характеризующееся случайной величиной Х. Провести эксперименты для формирования выборки значений
Х1,Х2,…,ХN,
где N - 50. (Объем выборки – 50 чисел).
1. На данном уровне значимости P=0,95 исследовать выборку на однородность. Исключить все Хi, являющиеся маловероятными.
2. Построить гистограмму относительных частот. Проверить гипотезы о равномерном и нормальном распределении с использованием критерия Пирсона.

Найти вероятность того, что из M=5 поездов придут вовремя А) три;Б) не менее трех;В) хотя бы два;Г) ни один;Д) наивероятнейшее число пришедших вовремя поездов.Решение: А) Вероятность того, что поезда приходят по расписанию составляет P=0,777. Найти вероятность того, что из M=5 поездов придут вовремя три поезда:5!3!5-3!*0,7773*0,2232=0,233277Б) Вероятность того, что поезда приходят по расписанию составляет P=0,777. Найти вероятность того, что из M=5 поездов придут вовремя не менее трех поездов:5!3!5-3!*0,7773*0,2232+5!4!5-4!*0,7774*0,2231=0,639682В) Вероятность того, что поезда приходят по расписанию составляет P=0,777. Найти вероятность того, что из M=5 поездов придут вовремя хотя бы два поезда:5!2!5-2!*0,7772*0,2233+5!3!5-3!*0,7773*0,2232+5!4!5-4!*0,7774*0,2231+5!5!5-5!*0,7775*0,2230==0,989841Г) Вероятность того, что поезда приходят по расписанию составляет P=0,777. Найти вероятность того, что из M=5 поездов придут вовремя ни один поезд:5!0!5-0!*0,7770*0,2235=0,000551Д) Вероятность того, что поезда приходят по расписанию составляет P=0,777. Найти вероятность того, что из M=5 поездов придут вовремя наивероятнейшее число пришедших вовремя поездов:Найдем все вероятности, из них выберем наибольшее:5!1!5-1!*0,7771*0,2234=0,0096085!2!5-2!*0,7772*0,2233=0,0669515!3!5-3!*0,7773*0,2232=0,2332775!4!5-4!*0,7774*0,2231=0,4064055!5!5-5!*0,7775*0,2230=0,2832085!0!5-0!*0,7770*0,2235=0,000551Значит наивероятнейшее число поездов -4.Задача №2Вероятность того, что с конвейера сходит бракованный автомобиль составляет 0,314. Какова вероятность, что из 209 автомобилей 122 окажутся бракованными. Определить наивероятнейшее число брака.Решение:Используем формулу Муавра - Лапласа:, где Воспользовавшись таблицей (Приложение 1) определим окончательно.Задача №3 Вероятность отказа при работе программного продукта составляет 0,003 за 1 сутки. Какова вероятность того, что за 1103 суток произойдет 6 отказов. Решение: Так как , то будем использовать формулу Пуассона .Обычно эту формулу применяют, когда n 100, а np < 10. Функция Пуассона табулирована при различных значениях и m (Приложение 2).Задание №3 для контрольной работыОписать случайное событие, характеризующееся случайной величиной Х. Провести эксперименты для формирования выборки значенийХ1,Х2,…,ХN, где N - 50. (Объем выборки – 50 чисел).На данном уровне значимости P=0,95 исследовать выборку на однородность. Исключить все Хi, являющиеся маловероятными.Построить гистограмму относительных частот. Проверить гипотезы о равномерном и нормальном распределении с использованием критерия Пирсона.Решение:Рассмотрим случайное событие, связанное с обслуживанием клиентов в кафе. Это событие можно охарактеризовать, в частности, временем обслуживания Х.Величина Х зависит от многих факторов: количества заказов, необходимости разогрева продукции, времени подсчета общей стоимости заказа, наличия разменных денег…, что и обуславливает случайный характер указанной величины Х.Непосредственное наблюдение за работой официанов позволило записать таблицу значений Хi времени (сек.) обслуживания i покупателя, i=1..50.Значения случайной величиныiXiIXiiXiiXiiXi173111452120531247412922781214922211322504230238113156232173325343324492141622421834266443305107151662522235267453426114161692622336269463487117171702722437271473628123181832822538272483739127191912923039275493791013720195302404028650387Проверим однородность данной выборки (с вероятностью ошибки 0,05 и уровне значимости 0,95). Исключим из выборки те значения Хi, которые содержат грубые ошибки при их измерении, либо просто случайны.Найдем критическое значение максимального отклонения элемента выборки Xi от среднего значенияАнализируя таблицу, можно отметить, что никакие значения Хi не вызывают подозрений. Поэтому исследуем лишь крайние точки Х1=73 и Х50=387.Временно отбросим эти точки из выборки и подсчитаем среднее значение Х и эмпирический стандарт S.Исследуем первоначально точку Х1=73 Вычислим ее максимальное отклонение от среднего значения:Так как значение отклонения меньше критического включаем в выборку элемент Х1=73 и вычисляем новые значения и S. Получим:Сравнивделаем вывод, что Х50=387 также необходимо вернуть в выборку.