Колличественные методы в управлении фирмой

Контрольная работа (оценка "5"), Новосибирский Государственный университет Экономики и Управления (НарХоз) ...

Составить модель расчета оптимальной производственной программы для этой фирмы на основе задачи линейного программирования.
Решение

Ограничения:
На расход сырья: 5х1+х2≤239
На работу оборудования: х1+5х2≤115
На затраты труда: 9х1+х2≤698
Граничные условия модели:
х1≥0, х2≥0
Целевая функция:
Z(х ̅)=110х1+310х2 ---->max



2. Используя графический метод решения этой модели, найти оптимальную программу выпуска продукции, максимизирующую ожидаемый объем продаж.
Построим области допустимых решений
1) 5х1+ х2≤239
Х1 0 35,8
Х2 179 0

2) х1+5х2≤115
Х1 0 115
Х2 23 0

3)9х1+х2≤698
Х1 0 77,6
Х2 698 0

Построение области допустимых значений задачи ЛП


3. Сформулируем задачу, двойственную к задаче расчета оптимальной производственной программы и составить обе группы условий “дополняющей нежесткости”.
Пусть имеется задача расчета оптимальной производственной программы.
Найти х ̅=(х1, х2)
u1 ↔ 5х1+ х2≤239
u2 ↔ х1+ 5х2≤115
u3 ↔ 9х1+ х2≤698
х1≥0, х2≥0
Z(х ̅)=110х1+310х2→max (задача 1)
Zmax=9290
х1*=45 х2*=14
Найти u ̅=( u1,u2, u3)
х1 ↔5u1 + u2+ 9u3≥ 110
х2↔u1 +5u2+ u3 ≥ 310
u1≥ 0; u2≥ 0; u3≥ 0;
w= 239u1+115 u2 + 698u3→min (задача 2)
Приведем задачу 2к стандартному виду:


Эскиз сетевого графика


Составление сетевого графика после 2-ой редакции, иллюстрация работы алгоритма ранжирования событий


3-я редакция сетевого графика
Расчет временных характеристик сетевого графика, выявление критических путей


Резерв времени по работе B:
R_B=t_4^2-t_3^1-t_34=18-12-6=0
Резерв времени по работе D:
R_D=t_8^2-t_7^1-t_78=35-29-6=0
Резерв времени по работе A:
R_A=t_7^2-t_5^1-t_57=29-23-6=0
Резерв времени по работе H:
R_H=t_5^2-t_3^1-t_35=23-12-6=5
Резерв времени по работе F:
R_F=t_6^2-t_5^1-t_56=29-23-6=0
Резерв времени по работе Q:
R_Q=t_5^2-t_2^1-t_25=23-17-6=0
Резерв времени по работе E:
R_E=t_5^2-t_1^1-t_15=23-21-0=2
Резерв времени по работе G:
R_G=t_3^2-t_2^1-t_23=12-6-6=0
Резерв времени по работе V:
R_V=t_2^2-t_1^1-t_12=6-0-6=0
Резерв времени по работе C:
R_C=t_7^2-t_1^1-t_17=29-0-24=5

Первый критический путь:

Составить модель расчета оптимальной производственной программы для этой фирмы на основе задачи линейного программирования.
Решение

Ограничения:
На расход сырья: 5х1+х2≤239
На работу оборудования: х1+5х2≤115
На затраты труда: 9х1+х2≤698
Граничные условия модели:
х1≥0, х2≥0
Целевая функция:
Z(х ̅)=110х1+310х2 ---->max



2. Используя графический метод решения этой модели, найти оптимальную программу выпуска продукции, максимизирующую ожидаемый объем продаж.
Построим области допустимых решений
1) 5х1+ х2≤239
Х1 0 35,8
Х2 179 0

2) х1+5х2≤115
Х1 0 115
Х2 23 0

3)9х1+х2≤698
Х1 0 77,6
Х2 698 0

Построение области допустимых значений задачи ЛП


3. Сформулируем задачу, двойственную к задаче расчета оптимальной производственной программы и составить обе группы условий “дополняющей нежес ткости”.
Пусть имеется задача расчета оптимальной производственной программы.
Найти х ̅=(х1, х2)
u1 ↔ 5х1+ х2≤239
u2 ↔ х1+ 5х2≤115
u3 ↔ 9х1+ х2≤698
х1≥0, х2≥0
Z(х ̅)=110х1+310х2→max (задача 1)
Zmax=9290
х1*=45 х2*=14
Найти u ̅=( u1,u2, u3)
х1 ↔5u1 + u2+ 9u3≥ 110
х2↔u1 +5u2+ u3 ≥ 310
u1≥ 0; u2≥ 0; u3≥ 0;
w= 239u1+115 u2 + 698u3→min (задача 2)
Приведем задачу 2к стандартному виду:


Эскиз сетевого графика


Составление сетевого графика после 2-ой редакции, иллюстрация работы алгоритма ранжирования событий


3-я редакция сетевого графика
Расчет временных характеристик сетевого графика, выявление критических путей


Резерв времени по работе B:
R_B=t_4^2-t_3^1-t_34=18-12-6=0
Резерв времени по работе D:
R_D=t_8^2-t_7^1-t_78=35-29-6=0
Резерв времени по работе A:
R_A=t_7^2-t_5^1-t_57=29-23-6=0
Резерв времени по работе H:
R_H=t_5^2-t_3^1-t_35=23-12-6=5
Резерв времени по работе F:
R_F=t_6^2-t_5^1-t_56=29-23-6=0
Резерв времени по работе Q:
R_Q=t_5^2-t_2^1-t_25=23-17-6=0
Резерв времени по работе E:
R_E=t_5^2-t_1^1-t_15=23-21-0=2
Резерв времени по работе G:
R_G=t_3^2-t_2^1-t_23=12-6-6=0
Резерв времени по работе V:
R_V=t_2^2-t_1^1-t_12=6-0-6=0
Резерв времени по работе C:
R_C=t_7^2-t_1^1-t_17=29-0-24=5

Первый критический путь:

u1 * (239 – 5*45 – 14)=0 u1 * (0)=0 u1-?u2 * (115 – 45 – 5*14)=0 u2 * (0)=0 → u2-?u3 * (698 – 9*45 – 14)=0 u3 * (279)=0 u3=0-32321534163000Т.к. х1, х2> 05u1’ + u2’ – 110 = 0u1’ +5u2’ – 310 = 0решение двойственной задачи:-127001460500 u1’=10, u2’=60, u3’=0-127003175000х’=(45,14)wmin= 239*10+115*60+698*0=9290 u1’= 10 руб. – величина ожидаемого прироста максимума выручки от дополнительного вовлечения в производство 1 кг сырья к имеющимся 239кг. u2’=60 руб. – величина ожидаемого прироста максимума выручки от дополнительного вовлечения в производство 1 ст.-ч оборудования к имеющимся 115ст.-ч. u3’=0 руб. – величина ожидаемого прироста максимума выручки от дополнительного вовлечения в производство 1 человеко-ч труда к имеющимся 698человеко -ч. Решение двойственной задачи в среде EXCEL1.5219703429000Найти х = (х1, х2 )u1 ↔ 4х1+ х2≤rrЄ(0, +∞)u2 ↔ х1+ 4х2≤293u3 ↔ 8х1+ х2≤323х1≥0, х2≥0Z(х)=504х1+75х2→maxх1 ↔4u1 + u2 + u3≥ 504х2↔u1 +4u2 + u3 ≥ 75точки: (25, 0) и (0, 100)Z (25, 0) =504*25+75*0=12600Z (0, 100)=504*0+75*100=7500Оптимальное решение в данной ситуации точка: х1*=25 х2*=0Из группы условий, т.к. 293 – х1* – 4х2* = 293 – 25 – 4*0 = 268323 – 8х1* – х2* = 323 – 8*25 – 0 = 123, следует, что оборудование и труд не лимитируют оптимальную программу, а значит, u2*= 0; u3*= 0;Из второй группы условий следует, что, если первый продукт выпускается по оптимальной производственной программе, т.е. х1*=25, то должно выполняться равенство 4u1 + u2 + u3 = 504Из последнего уравнения с учетом u2*= 0; u3*= 0; получим u1*= 126Расход сырья на программу В(40,375; 0) покажет правую границу диапозона устойчивости предельной эффективности u1*= 126. Каждый следующий за этой границей килограмм сырья будет расходоваться с меньшей предельной эффективностью.Для расчета расхода сырья на программу В подставим ее координатыв левую часть ограничения по сырью r(х1, х2) = 4х1+х2, а именно r(40,375; 0) = 4 * 40,375 + 0 = 161,5Результаты последних расчетов показали, что каждый дополнительный килограмм сырья в диапозоне от 1 до 161,5 будет давать прирост максимума выручки 126 руб.Для ответа на вопрос, будет ли прирастать максимум выручки при r >161,5, нужно сравнить значения выручки для программы В и программы С.Прежде всего найдем координаты точки С, решив систему уравнений прямых, соответствующих оборудованию и труду,-292100-444500х1+4х2 = 2938х1+х2 = 323Решением системы будет х1 = 32,2, х2 = 65,2Значение выручки в точке С равно:Z (С) = Z (32,2; 65,2) = 504*32,2+75*65,5 = 21141,3Значение выручки в точке В равно:Z (В) = Z (40,375; 0) = 504*40,3785+75*0 = 20349Очевидно, что z(С) > z(В). Это означает дальнейший рост максимума выручки от 20349 до 21141,3 руб. при движении ограниченияпо сырью от точки В через промежуточное положение, показанное пунктирной прямой (2), к точке С. Области допустимых решений при этом будут представляться четырехугольниками, образованными пунктирной прямой меняющегося лимита сырья, прямой по труду и осями координат.Оптимальные программы будут находится на отрезке ВС. Характеризует эти программы тот очевидный факт, что по ним выпускается 2 продукта х1*> 0, х2*=0. Ограничения по оборудованию проходит выше оптимальных программ, т.е. оборудование не является лимитирующим ресурсом для этих программ.Отсюда следует что u2*= 0.Из группы условий 2 следует, что если оба продуктавыпускаются, должны выполняться равенства:4u1 + u2 + u3 = 504u1 + 4u2 + u3 = 75-25209533464500с учетом u2*= 0 перейдем к решению следующей системы:4u1 + u3 = 504u1 + u3 = 75Эта система уже решалась ранее, поэтому известно, что u1*= 126.