Теория игр. Вариант 7

Задание 1
Дана матрица игры с природой:
5 1 0
2 9 8
1 -5 6
1 7 2
а) Решить игру с природой по критерию Гурвица, α = 0,4
б) Решить игру с природой по критерию Лапласа
в) Решить игру с природой по критерию Сэвиджа
г) Решить игру с природой по критерию Вальда

Задача 2
Решить игру методом Брауна, выполнить 20 итераций.
-1 3 6
0 4 8
6 8 3

Задание 3
Решить игру симплекс-методом:
2 2 3 1
-1 8 6 3
5 7 4 6
3 2 4 0


...

Задание 1
Дана матрица игры с природой:
5 1 0
2 9 8
1 -5 6
1 7 2
а) Решить игру с природой по критерию Гурвица, α = 0,4
б) Решить игру с природой по критерию Лапласа
в) Решить игру с природой по критерию Сэвиджа
г) Решить игру с природой по критерию Вальда

Задача 2
Решить игру методом Брауна, выполнить 20 итераций.
-1 3 6
0 4 8
6 8 3

Задание 3
Решить игру симплекс-методом:
2 2 3 1
-1 8 6 3
5 7 4 6
3 2 4 0

Задание 1
Дана матрица игры с природой:
5 1 0
2 9 8
1 -5 6
1 7 2
а) Решить игру с природой по критерию Гурвица, α = 0,4
б) Решить игру с природой по критерию Лапласа
в) Решить игру с природой по критерию Сэвиджа
г) Решить игру с природой по критерию Вальда

Задача 2
Решить игру методом Брауна, выполнить 20 итераций.
-1 3 6
0 4 8
6 8 3

Задание 3
Решить игру симплекс-методом:
2 2 3 1
-1 8 6 3
5 7 4 6
3 2 4 0

г) Решить игру с природой по критерию ВальдаРешение:I) Если имеем дело с матрицей выигрышей, то находим:Среди минимумов по строкам ищем максимум. Это число 2. Оптимальная стратегия - №2;II) Если имеем дело с матрицей потерь, то находим:Среди максимумов по строкам ищем минимум. Это число 5. Оптимальная стратегия - №1;Ответ:I) Если имеем дело с матрицей выигрышей, то оптимальная стратегия - №2;II) Если имеем дело с матрицей потерь, то оптимальная стратегия - №1.Задача 2Решить игру методом Брауна, выполнить 20 итераций.Решение:Для решения матричной игры методом Брауна составим таблицу, выполним в ней 20 итераций:№Игрок АИгрок ВОценкиСтратегияНакопленный выигрыш ВСтратегияНакопленный выигрыш АВ1В2В3А1А2А3VnIVnIIVnСР1А3683В36833,0008,0005,5002А261211В15893,0004,5003,7503А3122014В148154,0005,0004,5004А3182817В31016184,2504,5004,3755А3243620В31624214,0004,8004,4006А2244028В11524274,0004,5004,2507А3304831В11424334,2864,7144,5008А3365634В32032364,2504,5004,3759А3426437В32640394,1114,4444,27810А2426845В12540454,2004,5004,35011А3487648В12440514,3644,6364,50012А3548451В33048544,2504,5004,37513А3609254В33656574,1544,3854,26914А36610057В34264604,0714,5714,32115А26610465В34872634,3334,8004,56716А26610873В14772694,1254,5004,31317А26611281В14672753,8824,4124,14718А37212084В14572814,0004,5004,25019А37812887В14472874,1054,5794,34220А38413690В14372934,2004,6504,425Посчитаем, какая стратегия сколько раз использовалась:А1 = 0 (ни разу)А2 = 6А3 = 16В1 = 11В2 = 0 (ни разу)В3 = 9Оценки вероятностей для оптимальных смешанных стратегий:Р(А1) = 0/20 = 0 = 0%Р(А2) = 6/20 = 0,3 = 30%Р(А3) = 14/20 = 0,7 = 70%Р(В1) = 11/20 = 0,55 = 55%Р(В2) = 0/20 = 0 = 0%Р(В3) = 9/20 = 0,45 = 45%Комментарий: Метод Брауна – приближённый, он даёт не точное решение матричной игры. Чем больше итераций, тем точнее. Мы использовали всего 20 итераций, это мало. Получилось, что игрок А должен выбирать стратегию №2 в 30% случаев, ак как задача не имеет седловой точки и не решается в чистых стратегию №3 – в 70% случаев, а стратегию №1 не выбирать никогда. При этом выбор стратегий обязательно рандомизированный, т.е. надо использовать генератор случайных чисел. Точно так же игрок В выбирает стратегию №1 в 55% случаев, а стратегию №3 – в 45% случаев. Стратегию №2 ему не следует выбирать вообще. Оценка цены игры есть W = 4,425. Отметим, что:где V – настоящая цена игры в смешанных стратегиях.Комментарий: Оценка I в таблице рассчитывалась на каждом шаге как минимум из накопленных выигрышей В, поделенный на номер итерации; оценка II рассчитывалась на каждом шаге как максимум из накопленных выигрышей А, поделенный на номер итерации; средняя оценка рассчитывалась на каждом шаге как среднее арифметическое оценок I и II. Ее значение на последнем шаге было взято нами за W , т.е. оценку цены V.