Проектирование уроков решения задач при изучении темы «Окружность»

Оглавление
Введение………………………………………………………………………....3
Глава I. Теоретические основы обучения школьников решению задач…….8
1.1 Роль задач в обучении и развитии учащихся…………………………...8
1.2 Обучение школьников решению задач как методическая проблема…………………………………………………………………………22
1.3 Типы уроков решения задач……………………………………………..43
Выводы по главеI………………………………………………………………..50
Глава II. Проектирование системы уроков решения задач по теме «Окружность»……………………………………………………………………54
2.1 Анализ теоретического и задачного материала темы «Окружность»…56
2.2 Методические рекомендации к построению системы уроков решения
задач по теме «Окружность»…………………………………………………76
2.3 Из опыта обучения школьников решению задач по теме «Окружность»…………………………………………………………………..108
Заключение……………………………………………………………………...120
Сп ...

Глава I. Теоретические основы обучения школьников решению задач
Важнейшим видом учебной деятельности, в результате которой школьниками усваивается математическая теория, развиваются их творческие способности и самостоятельность мышления, является решение задач. Очевидно, что построение методики обучения решению задач конкретной темы базируется на общих принципах обучения школьников решению задач. Поэтому целью данной главы является подробное исследование понятия «задача», изучение теоретических основ обучения школьников решению задач и формулирование общих положений, которые отвечали бы на вопрос, как следует организовать деятельность учащихся в процессе обучения их решению задач.
1.1 Роль задач в обучении и развитии учащихся
Прежде чем говорить о роли задач в обучении и развитии учащихся, следует разобраться, что такое «задача». Вопрос о необходимости исследования самих задач ставился многими, но до сих пор нет общепринятого определения самого понятия «задача».
Термин «задача» используется в науке и жизни очень широко. Так понятие задачи является одним из важнейших понятий и в психологии, и в кибернетике, и в любой из наук естественно – математического цикла, и, наконец, в теории и практике обучения и воспитания. Ясно, что в силу специфики той или иной научной дисциплины исследуются те или иные стороны, те или иные аспекты этого объекта.
В данной работе под задачей мы будем понимать «задание, которое должен выполнить субъект, или вопрос, на который он должен найти ответ, опираясь на указанные условия и все вытекающие из них следствия» [26].
В процессе обучения математике задачи выполняют, разнообразные функции. Учебные математические задачи являются очень эффективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса математики, вообще математических теорий. Велика роль задач в развитии мышления и в математическом воспитании учащихся, в формировании у них умений и навыков в фактических применениях математики. Решение задач хорошо служит достижению всех тех целей, которые ставятся перед обучением математике. Именно поэтому для решения задач используется половина учебного времени уроков математики (700-800 академических часов в IV-X классах). Правильная методика обучения решению математических задач играет существенную роль в формировании высокого уровня математических знаний, умений и навыков учащиеся.
Роль и место задач в обучении математике не оставались неизменными. В «Арифметике» Л. Ф. Магницкого к задачам указывались решения, которые следовало «вытверживать». Задача была целью обучения, т. е. математику затем и изучали, чтобы усвоить правила решения типичных задач.
Роль задач изменяется с изменением целей обучения, обусловленных развитием общества. Возрастает объем теоретических сведений, усвоение которых сопровождается усвоением задач. Таким образом, высказывание о том, что задача должна быть не целью, а средством обучения математике, повторяясь довольно часто.

Одной из целей математического образования должно быть «овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности», а также «интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе: … логическое мышление, элементы алгоритмической культуры, пространственных представлений…» [13]. Без решения задач невозможно достичь этих целей. Главной целью общего образования является целостное развитие личности ученика средствами предмета. В настоящее время в учебных планах, регламентирующих процесс обучения в общеобразовательной школе, наметилась тенденция к сокращению количества часов, отводимых на изучение дисциплин естественно - математического направления. Одновременно происходит возраст ание требований к качеству приобретаемых учащимися знаний, умений и навыков. В связи с этим в теории и методике обучения математике обострились многие методические проблемы, в том числе, проблема обучения школьников решению задач.
Проблема обучения учащихся средней школы решению математических задач широко обсуждается в научной литературе. Различные её аспекты освещались в работах М.И. Зайкина, Т. А. Ивановой, Ю.М. Колягина, В. И. Крупича, Л. И. Кузнецовой, В. И. Мишина, Д. Пойа, Г. М. Саранцева, А. А. Столяра, Е. Н. Турецкого, Л. М. Фридмана, П. М. Эрдниева и др. Таким образом накопившийся опыт свидетельствует как об актуальности проблемы, так и объективных трудностях ее решения. Если подводить итог исследованиям данных авторов, можно сделать вывод, что задача является средством и целью обучения математике. Решение задач занимает в учебном процессе значительное место как по времени, отводимому на этот вид работы, так и по значимости. Решение задач составляет как одну из основ¬ных целей обучения, так и основное средство обучения. Поэтому от того, как организованы уроки решения задач, каково при этом содер¬жание деятельности учащихся, каков ее смысл для них, зависит результат учебного процесса, характер и особенности формируемых у школьников в этом процессе учебно-познавательных мотивов.
Методика решения задач достаточно полно была разработана Д. Пойа и изложена им в книге «Как решать задачи» [20]. На сегодняшний день издано немалое количество разнообразной педагогической литературы и методических рекомендаций, предназначенных облегчить процесс обучения школьников решению задач. Тем не менее, проблема пока не нашла оптимального решения.
Следует отметить, что в психолого – педагогической и научно – методической литературе, как показал ее анализ, неоднократно указывается на низкий уровень умения учащихся решать задачи. В качестве причины явления при изучении геометрии некоторые авторы указывают на обилие в последней задач неалгоритмического типа. Эта проблема в свою очередь тесно связана с проблемой отбора задачного материала. Учителю необходимо составить такую систему задач, которая в наибольшей степени обеспечивала бы эффективное усвоение необходимых теоретических и методологических знаний данной темы, а также способствовала бы обучению решению задач в широком смысле. В связи с этим целесообразно использовать ключевые задачи и соответствующую технологию работы с ними, которая предполагает целенаправленное и систематическое проектирование системы уроков решения задач.
Существуют различные методические подходы к формированию умения решать математические задачи при обучении математике у школьников. Один из таких подходов – формирование у учащихся умения решать задачи по конкретной теме. В литературе встречаются различные подходы к организации уроков решения задач, поэтому учителя, особенно молодые, не имеющие собственных наработок, испытывают трудности при разработке и проведении уроков, в частности уроков решения задач, так как нет четко выделенной методики обучения решению задач в теме «Окружность». При этом им не стоит забывать, что обучение решению математических задач - это процесс длительный, который не происходит в течение одного или двух уроков и даже в течение уроков изучения отдельной темы. Здесь важна последовательная и целенаправленная работа учителя. И все - таки можно выделить основные этапы такой работы при изучении отдельных блоков учебного материала каждой темы. Эти этапы подробно описала в своей работе Иванова Т. А. «Современный урок математики: технология, теория, практика» [9]. Суть их в следующем:
 Первый, начальный этап, начинается на уроках изучения нового материала, в частности, на этапах открытия новых знаний, осознания и осмысления результата.
 Второй этап в обучении решению задач состоит в обучении решению ключевых задач. Как уже было сказано, идея включения в процесс обучения математике решения ключевых задач исходит от Н.И. Зильберберга и Р.Г. Хазанкина. Значительный вклад в развитие обучения учащихся основной школы решению ключевых задач внесла Л.И. Кузнецова.
 Третий этап формирования умения в решении задач заключается в отработке идей, способов и приемов решения задач, полученных на основе решения ключевых. Мы в дальнейшем будем называть его уроком отработки ключевых задач, и относить к урокам практикумам.
 Четвертый этап заключается в решении проблемно-развивающих, творческих, исследовательских задач. Он доступен не всем учащимся. Уровень «творческости» индивидуален [9].
Тема «Окружность», изучаемая в курсе геометрии 8класса, довольно часто встречается в методической литературе, но в основном в ней рассматриваются вопросы построения уроков изучения теорем и обучению доказательству, либо приводятся примеры решенных задач, но не уделяется должного внимания конкретным методическим рекомендациям. Однако в процессе обучения решению задач, задача должна выступать как самостоятельная дидактическая единица, которая требует целенаправленной работы. Для этого в свою очередь необходима специальная частная методика, учитывающая как общие принципы в обучении учащихся решению задач, так и особенности конкретной темы. Таким образом, обучение школьников решению задач в данной теме выступает как самостоятельная методическая проблема.
Сказанное выше позволяет выделить существующее противоречие между важностью обучения осознанному и самостоятельному решению геометрических задач по конкретной теме школьниками и отсутствием в современной методической литературе конкретных рекомендаций по организации обучения решению задач при изучении темы «Окружность».
Таким образом, сформулированное выше противоречие определяет актуальность проблемы данной работы, которая состоит в его разрешении посредством разработки методических рекомендаций, направленных на обучение учащихся решению задач по конкретной теме на примере темы «Окружность» курса геометрии восьмого класса.
Проблема исследования заключается в выявлении и реализации путей совершенствования методики обучения решению геометрических задач по теме «Окружность» в рамках целенаправленного и последовательного проектирования системы уроков на основе отбора ключевых задач по исследуемой теме.
В качестве объекта исследования выступает процесс обучения учащихся средней школы решению задач в курсе геометрии 8класса.
Предметом исследования является методическая система обучения школьников решению геометрических задач по теме «Окружность».
Цель исследования состоит в разработке научно обоснованных конкретных методических рекомендаций по обучению учащихся решению геометрических задач по теме «Окружность» и их применение к построению методики обучения школьников решению геометрических задач по данной теме.
Гипотеза исследования: если обучение учащихся решению математических задач осуществлять в соответствии со следующими этапами:
первый этап – учить школьников преобразовывать теоретические знания в способы деятельности посредством решения и составления дидактических задач; второй этап – обучать решению ключевых задач; третий этап – отработка идей, способов и приёмов решения задач, полученных на основе ключевых задач; четвертый этап – решение проблемно – развивающих, творческих, исследовательских задач, то это будет способствовать более эффективному процессу обучения учащихся решению геометрических задач.
Цель и гипотеза определили следующие задачи исследования:
1) раскрыть роль задач в обучении математике в целом;
2) провести теоретический анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы, а также программных документов по проблеме исследования с целью выделения различных подходов к обучению школьников решению задач;
3) рассмотреть различные типы уроков решения задач и особенности их организации;
4) выявить теоретико-методологическую концепцию, на основе которой можно разрабатывать методические рекомендации по организации уроков решения задач по теме «Окружность»;
5) разработать методические рекомендации по организации обучения учащихся решению задач, в частности по теме «Окружность»;
6) Проверить эффективность результатов теоретического исследования в опыте работы с учащимися.
Методологической базой исследования послужили концепции развивающего обучения математике (Д.Б.Эльконина, В.В. Давыдова); исследования о роли задач в обучении математике и организации обучения решению задач (Т.А. Иванова, Л.И. Кузнецова, Д. Пойа, Л.М. Фридман); методика обучения решению задач (Т.А. Иванова, Кузнецова Л.И., Д. Пойа, Л.М. Фридман), справочные материалы по геометрии.
Для решения поставленных задач были использованы следующие методы: изучение и анализ литературы по проблеме исследования, наблюдение, опытная работа.
Исследование проводилось поэтапно. На первом этапе осуществлялось изучение и анализ психолого – педагогической и научно – методической литературы по проблеме обучению учащихся решению задач с целью исследования существующих концепций обучения решению задач и выявление наиболее оптимальной в условиях существующих общеобразовательных требований, предъявляемых к обучению в средней школе.
На втором этапе с целью определения соответствия значимости исследуемого материала и его изложения в учебном пособии Атанасяна Л. С., Бутузова В. Ф. и др. Геометрия: Учеб. для 7-9кл. общеобразоват. учреждений.- М., 1990. [1] был проведен анализ математической и методической литературы по изучаемой теме, исследовалось содержание и были выделены характерные особенности теоретического и задачного материала по теме «Окружность».
На третьем этапе проводился опыт, и исследовались его результаты с целью проверки эффективности разработанных методических рекомендаций по обучению школьников решению геометрических задач при изучении темы «Окружность» на основе выводов, полученных в ходе теоретического исследования; оформление курсовой работы.
Новизна и практическая значимость исследования состоит в том, что в нем сформулированы конкретные методические рекомендации, направленные на обучение школьников решению геометрических задач по теме «Окружность», на основе целенаправленного и последовательного проектирования системы уроков с учетом отбора ключевых задач по исследуемой теме.
Достоверность и обоснованность проведенного исследования, его результатов и выводов опираются на современные положения в теории и методике обучения математике, деятельностный подход в обучении, объясняются разнообразием используемых методов исследования и подтверждаются итогами опытной работы.
Апробация основных положений и внедрение результатов исследования осуществлялись автором в личном опыте работы посредством проверки в обучении учащихся 8классе МБОУ Чулковская ООШ.
Структура работы определена ее логикой и решением задач исследования. Она состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы.
Во введении обуславливается актуальность темы; выявляется противоречие с запросами практики; формулируются проблема, цель, объект, предмет, гипотеза и задачи исследования. Описывается методологическая база и структура работы.
В первой главе определяется роль математических задач в развивающем обучении школьников, рассматриваются различные подходы к обучению школьников решению задач, рассматриваются различные виды уроков решения задач с позиций разных авторов.
Вторая глава посвящена логико-дидактическому анализу темы; проектированию система уроков и подробной разработке одного из блоков по теме «Окружность»; описанию опытной работы.
В Заключении на основе результатов теоретического исследования и опытной проверки в соответствии с целью и задачами представлены основные выводы данной работы.
Список литературы содержит 34 наименования, среди которых книги по методике преподавания математики в школе, по обучению школьников решению задач, школьные учебники, психологические и педагогические источники, Государственный стандарт образования.

Консультанты делают в списке своей группы соответствующие пометки. В конце урока подводятся итоги решения задач каждым учеником, и выставляются соответствующие оценки. На уроках отработки решения ключевых задач, если имеется возможность, следует продолжать выявлять и формулировать эвристики, пополняя уже имеющийся их набор, а также важно обучать школьников самостоятельному составлению задач. Заканчивать уроки отработки решения основных задач целесообразно самостоятельной проверочной работой. Виды и цели уроков решения проблемно-развивающих задач разнообразны. Проблемно-развивающие задачи чаще всего решаются разными способами в конце изучения какой-либо темы, раздела или курса в целом, поэтому такие уроки можно проводить, например, в форме семинарского занятия. Как показывает практика, большой интерес у школьников вызывают уроки по решению цикла взаимосвязанных задач. Вместе с тем, решение нестандартных, проблемно-развивающих задач предполагает знакомство учащихся с дополнительной информацией: фактами, теоремами, идеями, методами и приемами. В геометрии это могут быть уроки, знакомящие школьников с приемом вспомогательной окружности, введением вспомогательного угла (линейного элемента) и т. д. Сказанное означает, что и уроки решения проблемно-развивающих задач следует проводить целенаправленно и планировать чему и как следует обучать на них школьников.Отбор задач к таким урокам, организация деятельности учащихся зависит от вкуса самого учителя и особенностей учащихся.Итак, мы описали, какой может быть система уроков по обучению решению задач. Конечно, не всегда (в силу объективных причин) удается ее выдерживать. Однако в пределах учебной темы ил раздела важно ее придерживаться.ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 1.В результате проведенного исследования общего понятия задачи на основе изучения психологической, методической и учебно-педагогической литературы проанализированы различные модели данного понятия:в психологической литературе имеющиеся трактовки понятия задачи могут быть охарактеризованы с позиции определенного отношения к человеку. Таким образом, задача в психологическом смысле - это «принятая» задача;для кибернетики, прежде всего, характерен подход, согласно которому каждая задача представляет собой некую логически организованную ситуацию, в которой субъекту необходимо установить определенную последовательность операций, составляющих решение задачи;для учебно-педагогической литературы наиболее характерным признаком общего понятия задачи является наличие особого взаимодействия субъекта и объекта, ведущее к образованию некоторой системы.В рамках исследуемого вопроса под задачей мы будем понимать «задание, которое должен выполнить субъект, или вопрос, на который он должен найти ответ, опираясь на указанные условия и все вытекающие из них следствия».Выявлены роль, место и основные функции задач в процессе формирования математической культуры:дидактически правильная постановка и решение математических задач в обучении является одним из эффективных средств гармоничного развития личности;необходимо и возможно существенное повышение качества математического образования учащихся посредством соответствующих изменений в системе учебных математических задач школьного курса математики и методике исследования задач в процессе его изучения;решение задач является ведущим средством математического развития учащихся, средством принятия им элементов творческого мышления, существенно повышающих качество обучения и воспитания в процессе изучения школьного курса математики;в качестве основных функций задач в обучении математике выделены: обучающие, воспитывающие, развивающие. Каждая задача может и должна нести в себе наряду с ведущей функцией и другие, реализация которых повышает эффективность использования задач в обучении математике. Усиление функций учебной математической задачи зависит как от содержания самой задачи (ее контекста), так и от методики работы над ее решением;Важно и значимо осознание понятия задачи как средства и цели обучения математике.Проанализировано обучение школьников решению математических задач, как методической проблемы:«правильное» обучение математике, в частности, обучение решению математических задач определяется выбором методики обучения;обучая школьников решению задач, следует выделить начальную стадию (понимание смысла задачи, ее условия, требования, связей между ними), стадию поиска плана решения, осуществления плана и заключительную стадию («взгляд назад», анализ поиска решения, собственно решения, результата). Методическим обеспечением указанных этапов обучения школьников решению задач являются определенные системы эвристик;процесс обучения математике во многом определяется четко продуманной системой отбора задач к каждому уроку математики, которая в частности состоит в использовании так называемых ключевых задач. Методика обучения решения задач, основанная на понятии «ключевая задача», представляется весьма эффективной, что подтверждается исследованиями ученых, опытом работы учителей-практиков и собственным опытом;обучать решению математических задач - значит формировать у учащихся последовательно и целенаправленно конкретные умения.Центральным вопросом по обучению решению задач является установление структуры, характеристики и спецификации элементарных шагов данной деятельности. С этой целью на основе теоретического исследования выделены 4основных действия по обучению учащихся решению математических задач при изучении отдельных блоков учебного материала: Действие 1. Выделение четырех основных этапов:основная цель первого этапа - учить школьников преобразовывать теоретические знания в способы деятельности, аргументировать, решать дидактические, стандартные задачи, самостоятельно их составлять, обучать первым шагам в аналитико-синтетической деятельности посредством составления эвристик;второй этап состоит в обучении решению ключевых задач;третий этап заключается в отработке идей, способов и приемов решения задач, полученных на основе решения ключевых задач; четвертый этап заключается в решении проблемно-развивающих, творческих, исследовательских задач.Выделенное действие является основополагающим и определяет последующие.Действие 2. Согласование и выделение «ядра конкретной темы - основных, «общеобразовательных» фактов и идей (ключевых задач), а также «минимального базиса в пространстве задач», при этом методика обучения учащихся решению задач состоит в следующем:выделение ключевых задач по теме;разработка технологии работы с ключевой задачей на уроке;предложение учащимся для решения задачи в определенной последовательности. Необходимость этого действия заключается в том, что отбор системы задач на основе проведения логико-дидактического анализа задачного материала изучаемой темы обуславливается характеристикой выделенных этапов.Действие 3.Структурирование системы задач в соответствии с выделенными этапами.Выделение данного действия в качестве одного из основных продиктовано тем, что одним из необходимых требований к системе задач является предложение их учащимся в определенном порядке в системе уроков, сформированном в результате анализа задачного материала, в соответствии с выделенными этапами.Действие 4. Разработка системы уроков в соответствии с выделенными этапами. Реализация этого действия есть логическое продолжение по обучению школьников решению математических задач.Постепенное, последовательное, целенаправленное осуществление и соблюдение выделенных четырёх основных действий является необходимым условием обучения школьников решению задач, поскольку они закладывают ту основу, на которой строится умение решать задачи творческого уровня.Глава II. Методические рекомендации к построению системы уроков решения задач по теме «Окружность»Тема школьного учебника - это именно та единица учебного материала, которая позволяет раскрыть логическую и математическую организацию и трактовку взаимосвязанных между собой вопросов, выявить уровень строгости рассматриваемых фактов, сравнительно четко выделить и сформировать цели изучения основных вопросов, очертив возможные варианты средств обучения, продумать систему контроля и оценки законченной системы знаний и умений. Окружность как одна из основных геометрических фигур занимает важное место в изучении геометрии в целом. В соответствии с действующими программами изучение окружности распределено по всему курсу планиметрии. В VI классе вводится определение окружности и ее элементов, доказываются некоторые ее свойства. В дальнейшем окружность выступает как геометрическая фигура. Анализ теоретического материала учебных пособий показывает, что существует сходство между взаимным расположением прямой и окружности на плоскости, плоскости и сферы в пространстве. Так, например, по аналогии со свойством и признаком касательной к окружности можно высказать гипотезы о свойстве и признаке касательной плоскости к сфере. Отметим, что эти гипотезы подтверждаются, причем доказательства их верности аналогичны доказательствам соответствующих теорем в планиметрии. При изучении темы «Многогранник» учащиеся могут самостоятельно выдвинуть гипотезу о том, что существуют вписанные и описанные многогранники, опираясь в своих рассуждениях на определения вписанных и описанных многоугольников и исходя из того, что аналогом прямой в пространстве является плоскость.Таким образом, пространственные аналогии многих понятий, определений, свойств окружности будут в дальнейшем изучаться в курсе стереометрии, поэтому необходимо добиваться хорошего их понимания в планиметрии. Естественно, не все свойства окружности рассматриваются в теоретической части курса. Многие из них отнесены в задачи. Следовательно, решение задач по теме имеет большое значение.Представленные методические рекомендации, выделяемые в разных источниках, все-таки носят общий характер. Для использования их при разработке конкретной темы, в нашем случае «Окружность», их необходимо адаптировать под нее, а для этого в дальнейшей работе необходимо: провести логико-дидактический анализ темы «Окружность» теоретического и задачного материала, выделить ключевые задачи темы;выявить особенности организации темы в соответствии с планированием, разбить учебный материал на уроки;выделить уроки решения задач, определить их виды; разбить задачный материал по группам по определенным признакам (методам решения, привязанности к дидактической единице темы), распределить какие задачи на каком из уроков будут рассмотрены;в соответствии с проведенным разбиением задачного материала и тематическим планированием разработать уроки решения задач, для каждого из которых определить триединую цель, структуру, форму проведения, методы, отобрать содержание;разработанную систему уроков опробовать в практической деятельности.В этой главе подробнее остановимся на рассмотрении каждого из вышеописанных пунктов, а именно, мы проведем анализ математической и методической литературы, изучим содержание и выделим характерные особенности теоретического и задачного материала по теме «Окружность» с целью определения соответствия значимости исследуемого материала с его изложением в учебнике авторов Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. и др. Геометрия: Учеб. для 7-9кл. общеобразоват. учреждений.- М.,1992 [1].2.1. Анализ теоретического и задачного материала темы «Окружность»Согласно материалам Сборника нормативных документов, обязательным минимумом содержания основных общеобразовательных программ по геометрии по теме «Окружность» являются следующие понятия и теоретические факты с ними связанные: центр, радиус, диаметр, дуга, хорда; центральный и вписанный угол, величина вписанного угла; взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей, касательная и секущая к окружности, равенство отрезков касательных, проведенных из одной точки; метрические соотношения в окружности, свойство секущих, касательных, хорд; окружность, вписанная в треугольник, вписанные и описанные четырехугольники; вписанные и описанные окружности правильного многоугольника[24]. При этом требования к уровню подготовки выпускников включают следующие умения:распознавать геометрические фигуры, различать их взаимное расположение;вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей и объемов);решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства фигур и отношения между ними, применяя дополнительные построения, алгебраический или тригонометрический аппарат, идеи симметрии;проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя известные теоремы, обнаруживая возможности для их использования;решать простейшие планиметрические задачи в пространстве [24].Таким образом, обязательный минимум содержания образовательных программ охватывает значительное число теоретических фактов. Усвоение же и присвоение этой информации субъектом, в нашем случае - учеником в рамках общеобразовательного процесса происходит в ходе деятельности. Важнейшим видом такой деятельности является решение задач. Более того, умение решать геометрические задачи с опорой на доказательные рассуждения является обязательным требованием, предъявляемым к уровню подготовки выпускника среднего общеобразовательного учреждения. Анализ учебно-методической литературы и опыт работы учителей математики выявил, что изучение теоретического материала в целом не вызывает у учащихся каких-либо затруднений. Основная трудность, как показывает практика, связана с разделением задач на группы с последующим выделением в них ключевых задач по исследуемой теме. Остановимся на этом вопросе более подробно. Проведем сначала логико-дидактический анализ теоретического материала темы.В учебном пособии авторов Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. и др. Геометрия Учеб. для 7-9 кл. [1] теоретический материал темы «Касательная к окружности. Центральные и вписанные углы» (§1,§2, п. 68-71) представлен основными дидактическими единицами:Понятия и их определения:секущая к окружности;касательная к окружности;отрезки касательных;полуокружность;диаметр окружности;центральный угол;вписанный угол;Теоремы: свойство касательной;признак касательной;теорема о вписанном угле;два следствия из теоремы о вписанном угле;теорема о произведении отрезков хорд.Утверждения, не выделенные в тексте, как теоремы. Их нужно оформить в виде теорем: прямая и окружность не имеют более двух общих точек;свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки;194945127698500Перечисленные выше определения даны через род и видовые отличия. Понятия представлены в вербальной форме, можно записать в символьной (не все). Графическую модель секущей и касательной к окружности учащиеся могут создать под руководством учителя. Изучение вопроса о взаимном расположении окружности и прямой полезно начать с демонстрации следующей модели (рис. 1):на плоскости имеются окружность и две тонкие стальные спицы; одна из них, как прямая, вращается около точки, лежащей вне окружности, а другая, как луч, вращается около центра. Процесс демонстрации: Прямая (первая спица) проходит через центр окружности, совпадает по направлению с лучом (второй спицей) и пересекает окружность в двух точках - в концах диаметра, она называется секущей. В этом случае диаметр есть внутренний отрезок секущей и расстояние от центра равно нулю. Здесь следует сформулировать и доказать, что прямая не может пересекать окружность более чем в двух точках. Прямая отходит от центра, пересекает окружность в двух точках, а внутренний отрезок ее есть хорда; луч, вращаясь около центра, приводится в перпендикулярное положение относительно секущей; внутренний отрезок его - радиус, а отрезок его от центра точки пересечения с секущей есть расстояние d от центра до секущей; оно меньше радиуса (d<R), причем точка пересечения луча с секущей есть середина хорды. Этот факт следует отметить, он потребуется при решении задач. При дальнейшем вращении секущей хорда уменьшается, как и соответствующая дуга, которую эта хорда стягивает, меньшая полуокружности, при этом расстояние от центра увеличивается, но остается меньшим радиуса. При вращении секущей может наступить такой момент, когда две точки пересечения на окружности сольются в одну, значит, секущая будет иметь с окружностью только одну общую точку. В этом случае говорят, что прямая будет касаться окружности, и ее называют касательной. Общая точка касательной и окружности называется точкой касания. Расстояние от центра окружности до касательной равно радиусу (d=R), в чем можно убедиться, доказав, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. При дальнейшем вращении прямой она полностью будет находиться во внешней области и не будет иметь ни одной общей точки с окружностью, а расстояние ее от центра будет больше радиуса (d>R). Учащиеся изображают окружность, все возможные положения прямой относительно окружности, повторно формулируют определения секущей, касательной, доказывают теорему о радиусе, проведенном в точку касания (прямую и обратную). Зависимость между расстоянием секущей от центра (d) и радиусом (R) следует записать отдельно, что поможет при дальнейшем решении задач. В теореме о свойстве касательной доказательство перпендикулярности касательной к радиусу проводится методом от противного, следовательно, имеются предпосылки для формирования у учащихся умений применять этот метод рассуждения. Таким образом, имеет смысл выделить и зафиксировать письменно схему доказательства методом от противного:выделить условие и заключение теоремы;предложить противоположное тому, что требуется доказать;вывести следствия из полученного суждения;получить противоречие с уже известным математическим предположением или условием;сделать заключение о том, что предположение неверно;сделать вывод о верности того, что требовалось доказать.Признак касательной имеет сложную структуру, т. к. условие состоит из двух частей, рассмотрен не сразу, что затрудняет запоминание его у учеников. Следует сформулировать и доказать его сразу после свойства касательной и отметить, что эта теорема обратная к свойству касательной. Сформулировать ее могут учащиеся. Уместно повторить и выделить правило формулирования предложения, обратного данному:сформулировать теорему в условной форме (через если…, то…), если она дана в утвердительной форме;выделить условие и заключение теоремы;поменять местами условие и заключение теоремы;сформулировать обратное утверждение.Необходимо обратить внимание учащихся и на то, что обратные утверждения не всегда являются истинными. Для их опровержения достаточно привести один контрпример. Можно привлечь материал из других тем. Таким образом, учащиеся будут понимать, что понятие обратной теоремы относится к общелогическим. При введении определения касательной к окружности следует обратить внимание учащихся на то, что касание окружности и прямой имеет важное значение в практической жизни и в технике, что может послужить мотивацией к изучению этих объектов. Например, колесо вагона стоит на рельсе: рельс - конкретное представление прямой линии, а колесо - окружности, которая касается прямой линии. При графическом изображении схемы взаимного расположения рельса и колеса приходится на чертеже строить касательную к окружности. Одна из дидактических задач, которую ученики решают на первом уроке - построение касательной к окружности через данную, принадлежащую окружности. Эта задача на построение, ее надо проанализировать, составить план построения, построить и доказать, что именно эта прямая удовлетворяет условиям, провести исследование, когда задача имеет решение. Таким образом есть возможность обучать школьников задачам на построение, этапам их решения. Как показывает практика, в задачах на построение у учащихся возникают проблемы, связанные с осуществление последовательно этапов решения задач на построение. Следует выделить этапы решения задач на построение еще раз:анализ;план построения;построение;доказательство;исследование.