Решение задач

Полное решение 8 задач + Графики и таблицы ...

Определите структуру персонала и относительную величину координации (относительно численности основных рабочих). Подберите наиболее подходящий график для иллюстрации результатов решения этой задачи

Задачи по производству, численности персонала

руб.)107271370496615244436593359139273372497649369845207961142275382513661451580312144300411517680597428426150302414545801972320571207305416558816233217825Решение1 таблица:1.Строим дискретный вариационный ряд, количество зарегистрированных выражается целым числом, именно так выражается дискретная варианта.Сведения о количестве человек, зарегистрированных в квартирах домачисло зарегистрированных2345количество квартир81223172. Для построения полигона распределения по оси абсцисс (X) откладываем количественные значения варьирующего признака — варианты, а по оси ординат — частоты или частости.3.Для построения кумуляты дискретного ряда по оси абсцисс откладывают значения признака, а по оси ординат – относительные накопленные частотыWHi . Полученные точки соединяют отрезками прямыхчисло зарегистрированных2345количество квартир8122317накопленные признаки WHi 8204350Построение кумуляты дискретного ряда4. Найти среднее значение; моду, медиануСреднее число жильцов число зарегистрированныхколичество квартирЧисло жильцов2816312364239251785 60229Среднее значение 229/60 = 3,8 = 4 чел.Представим исходный дискретный ряд в виде ранжированного ряда:22222222333 3 3 3 3 3 3 3 3 34 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 45 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5Числа, находящиеся посередине выделеныМедиана четного количества чисел ( в нашем случае 60) – это среднее арифметическое двух чисел, находящихся посередине.Такое число (4+4)/2=4 (по определению)Мода — это наиболее часто встречающийся вариант ряда. Мо = 4 это наиболее часто встречающийся вариант ряда5.Показатели вариации.Расчет центральных моментов проводим в аналитической таблице:Таблица для расчета показателей.xiКол-во, fixi * fiНакопленная частота, S|x - xср|*f(x - xср)2*fЧастота, fi/n2816814.5326.40.1331236209.880.242392434.220.770.38517856020.1223.80.28Итого6022948.6758.981Абсолютные показатели вариации.Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.R = Xmax - XminR = 5 - 2 = 3Среднее линейное отклонение - вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 0.81Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия).Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).Каждое значение ряда отличается от среднего значения 3.82 в среднем на 0.99Относительные показатели вариации.К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение.Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.Поскольку v ≤ 30%, то совокупность однородна, а вариация слабая. Полученным результатам можно доверять.Линейный коэффициент вариации или Относительное линейное отклонение - характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины.Коэффициент осцилляции - отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.6. Показатели формы распределения Степень асимметрии: Симметричным является распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равностоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. Наиболее точным и распространенным показателем асимметрии является моментный коэффициент асимметрии. As = M3/s3 где M3 - центральный момент третьего порядка. s - среднеквадратическое отклонение. M3 = -26.19/60 = -0.44 EQ As = \f(-0.44;0.993) = -0.45Отрицательный знак свидетельствует о наличии левосторонней асимметрии Оценка существенности показателя асимметрии дается с помощью средней квадратической ошибки коэффициента асимметрии: EQ sAs = \r(\f(6(n-2);(n+1)(n+3)))Если выполняется соотношение |As|/sAs < 3, то асимметрия несущественная, ее наличие объясняется влиянием различных случайных обстоятельств. Если имеет место соотношение |As|/sAs > 3, то асимметрия существенная и распределение признака в генеральной совокупности не является симметричным. Расчет центральных моментов проводим в аналитической таблице: xi(x - xср)3*f(x - xср)4*f2-47.9687.133-6.545.3440.140.026528.1733.33Итого-26.19125.83EQ sAs = \r(\f(6(4-2);(4+1)(4+3))) = 0.59В анализируемом ряду распределения наблюдается существенная левосторонняя асимметрия (-0.45/0.59 = 0.77<3) Применяются также структурные показатели (коэффициенты) асимметрии, характеризующие асимметрию только в центральной части распределения, т.е. основной массы единиц, и независящие от крайних значений признака. Рассчитаем структурный коэффициент асимметрии Пирсона: EQ Asp = \f(\x\to(x) - Mo;σ) = \f(3.82-4;0.99) = -0.18Для симметричных распределений рассчитывается показатель эксцесса (островершинности). Эксцесс представляет собой выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения. Чаще всего эксцесс оценивается с помощью показателя: EQ Ex = \f(M4;s4) - 3Для распределений более островершинных (вытянутых), чем нормальное, показатель эксцесса положительный (Ex > 0), для более плосковершинных (сплюснутых) - отрицательный (Ex < 0), т.к. для нормального распределения M4/s4 = 3. M4 = 125.83/60 = 2.1 EQ Ex = \f(2.1;0.994) - 3 = 2.1701 - 3 = -0.83Число 3 вычитается из отношения μ4/ σ4 потому, что для нормального закона распределения μ4/ σ4 = 3. Таким образом, для нормального распределения эксцесс равен нулю. Островершинные кривые обладают положительным эксцессом, кривые более плосковершинные - отрицательным эксцессом. Ex < 0 - плосковершинное распределение Чтобы оценить существенность эксцесса рассчитывают статистику Ex/sEx где sEx - средняя квадратическая ошибка коэффициента эксцесса. EQ sEx = \r(\f(24n(n-2)(n-3);(n+1)2(n+3)(n+5)))Если отношение Ex/sEx > 3, то отклонение от нормального распределения считается существенным. EQ sEx = \r(\f(24 * 4(4-2)(4-3);(4+1)2(4+3)(4+5))) = 0.35Поскольку sEx < 3, то отклонение от нормального распределения считается не существенным. Проверка гипотез о виде распределения. 1. Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона. EQ K = ∑\f((ni - n*i)2;n*i)где n*i - теоретические частоты: EQ n*i = \f(n*h;σ)φiВычислим теоретические частоты, учитывая, что: n = 60, h=1 (ширина интервала), σ = 0.99, xср = 3.82 EQ n*i = \f(60 • 1;0.99)φi = 60.51φiixiuiφin*i12-1.83 0,07344.4423-0.82 0,282717.11340.18 0,391823.71451.19 0,194211.75Сравним эмпирические и теоретические частоты. Составим расчетную таблицу, из которой найдем наблюдаемое значение критерия: EQ χ2 = ∑\f((ni - n*i)2;n*i)inin*ini-n*i(ni-n*i)2(ni-n*i)2/n*i184.44-3.5612.662.8521217.115.1126.091.5232323.710.710.50.021241711.75-5.2527.542.34∑6060 6.74Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение Kнабл, тем сильнее довод против основной гипотезы. Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [Kkp;+∞). Её границу Kkp = χ2(k-r-1;α) находим по таблицам распределения χ2 и заданным значениям σ, k = 4, r=2 (параметры xcp и σ оценены по выборке). Kkp(0.05;1) = 3.84146; Kнабл = 6.74 Наблюдаемое значение статистики Пирсона попадает в критическую область: Кнабл > Kkp, поэтому есть основания отвергать основную гипотезу. Данные выборки распределены не по нормальному закону. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются значимо. Таблица 2Сведения о сумме налоговых сборов с предприятий района (тыс. руб.)Строим Интервальный вариационный ряд, он находится в пределах от и до.Исходная совокупность состоит из 50 единиц (N = 50).Наибольшее значение 972 тыс. руб.Наименьшее значение 107 тыс. руб.По формуле Стерджесса определим необходимое количество используемых групп: n=1+3,322*lg50=6,64=7Вычислим величину равного интервала: i=(972 — 107) /7 = 124 тыс.рубРасчленим исходную совокупность на 7 групп с величиной интервала в 124 тыс.руб.Результаты группировки представим в таблице:сумма сбора, тыс. руб.107-231231-355355-480480-604604-728728-852852-972число плательщиков, чел.8101210442Доля плательщиков от общего количества, %16202420884Таблица для расчета показателей. ГруппыСередина интервала, xiКол-во, fixi * fiНакопленная частота, S|x - xср|*f(x - xср)2*fЧастота, fi/n107 - 2311698135282225.6619161.920.16231 - 355293102930181542237776.40.2355 - 480417.512501030356.410585.080.24480 - 6045421054204094889870.40.2604 - 7286664266444875.2191493.760.08728 - 85279043160481371.2470047.360.08852 - 9729122182450929.6432078.080.04Итого 5022360 824820510131Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели: Показатели центра распределения. Средняя взвешенная EQ \x\to(x) = \f( ∑x • f;∑f)EQ \x\to(x) = \f(22360;50) = 447.2Мода. Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности. EQ Mo = x0 + h \f(f2 - f1; (f2 - f1) + (f2 - f3))где x0 – начало модального интервала; h – величина интервала; f2 –частота, соответствующая модальному интервалу; f1 – предмодальная частота; f3 – послемодальная частота. Выбираем в качестве начала интервала 355, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество. EQ Mo = 355 + 125 \f( 12 - 10; (12 - 10) + (12 - 10)) = 417.5Наиболее часто встречающееся значение ряда – 417.5 Медиана. Медиана делит выборку на две части: половина вариант меньше медианы, половина — больше. В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будут находиться мода или медиана. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Медианным является интервал 355 - 480, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота S которого превышает половину общей суммы частот). EQ Me = x0 + \f(h;fme) \b( \f( ∑f;2) - Sme-1 )EQ Me = 355 + \f(125;12) \b( \f( 50;2) - 18 ) = 427.92Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 427.92. Среднее значение изучаемого признака по способу моментов. EQ \x\to(x) = \f(x*i fi;∑fi) h + Aгде А – условный нуль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой), h – шаг интервала.