Задачи по теории вероятностей

Задача 1. В школьную библиотеку поступило 40 учебников, из них четыре с дефектами переплета. Какова вероятность того, что среди двух взятых наудачу учебников окажется один с дефектом переплета.
Задача 2. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Найти вероятность того, что из пяти наудачу взятых хотя бы один выиграет.
Решение.
Задача 3.
а) Вычислить вероятность Pn(k) - вероятность наступления события А ровно k раз в серии из n независимых испытаний, если р – вероятность наступления этого события в одном испытании.
р=0,25; k=2; n=4.
Решение.
...

Задача 6.
Дан закон распределения дискретной случайной величины х. Найти функцию распределения F(x), значение F(x0) и вычислить Р(α, β) – вероятность того, что случайная величина х примет значения из промежутка (α, β). Построить многоугольник распределения.
х 1 3 5 6
Р 0,2 0,15 0,25 0,4
х0=5; α=1; β=6.
Решение.
Задача 7.
Известна функция распределения F(x) дискретной случайной величины х. Выразить закон распределения случайной величины в виде таблицы.
F(x)={■(■(0, x≤3;@0,3 3

Задача 4.
Вероятность изделию быть бракованным равна 0,05. Найти вероятность того, что среди 1000 бракованных изделий находится в промежутке от 40 до 70 включительно.
Решение.
Задача 5.
В первой бригаде 5 рабочих имеют стаж от 1 года до 3 лет, 7 рабочих – от 3 до 5 и 4 рабочих - свыше 5 лет. Во второй бригаде 6 рабочих имеют стаж от 1 года до 3 лет, 3 рабочих – от 3 до 5 и 5 рабочих - свыше 5 лет. Из первой бригады во вторую переведен 1 рабочий. Найти вероятность того, что наудачу взятый из нового состава второй бригады рабочий имеет стаж не менее 5 лет.
Решение.

Задача 5. В первой бригаде 5 рабочих имеют стаж от 1 года до 3 лет, 7 рабочих – от 3 до 5 и 4 рабочих - свыше 5 лет. Во второй бригаде 6 рабочих имеют стаж от 1 года до 3 лет, 3 рабочих – от 3 до 5 и 5 рабочих - свыше 5 лет. Из первой бригады во вторую переведен 1 рабочий. Найти вероятность того, что наудачу взятый из нового состава второй бригады рабочий имеет стаж не менее 5 лет.Решение.Пусть событие В1 – переводится рабочий со стажем от 1 года до 3 лет, В2 – переводится рабочий со стажем от 3 лет до 5 лет, В3 – переводится рабочий со стажем более 5 лет, тогда, если произошло событие А(наудачу взятый из нового состава второй бригады рабочий имеет стаж не менее 5 лет), условные вероятности равны PА/В1=6+114+1=715. PА/В2=3+114+1=415. PА/В3=5+114+1=615.Вероятности событий равны:PВ1=516.PВ2=716. PВ3=416. Тогда, по формуле полной вероятности искомая вероятность равнаPА=PВ1∙ PАВ1+PВ2∙PАВ2+PВ3∙PАВ3==516∙715+716∙415+416∙615=2980.Задача 6. Дан закон распределения дискретной случайной величины х. Найти функцию распределения F(x), значение F(x0) и вычислить Р(α, β) – вероятность того, что случайная величина х примет значения из промежутка (α, β). Построить многоугольник распределения.х1356Р0,20,150,250,4х0=5; α=1; β=6.Решение.Находим функцию распределения:х1356F0,20,350,61,0Тогда F(x0)= F(5)=0,6.Искомая вероятность равна Р(α, β)= Р(1, 5)= F(6)- F(х<1)=1,0-0=1,0.Строим многоугольник распределения.Задача 7. Известна функция распределения F(x) дискретной случайной величины х. Выразить закон распределения случайной величины в виде таблицы.Fx=0, x≤3;0,3 3<x≤4;0,7 4<x≤7;1 x>7.Решение.x347P00,30,7Задача 8. Дан закон распределения дискретной случайной величины х. Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.х200240280320360Р0,150,20,450,10,1Решение.Математическое ожидание равно:Mx=xiPi=200∙0,15+240∙0,2+280∙0,45+320∙0,1+360∙0,1=272.Дисперсия равна:Dx=xi2Pi-M2x=2002∙0,15+2402∙0,2+2802∙0,45++3202∙0,1+3602∙0,1-2722=2016.Задача 9. Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет в цель до первого попадания (или пока не израсходует все патроны). Составить закон распределения, найти среднее значение и дисперсию числа израсходованных патронов.Решение.Пусть вероятность попадания в цель при одном выстреле равна р. Тогда вероятности количества (х) израсходованных патронов равны:Р(х=1)=р; Р(х=2)=(1-р)р; Р(х=3)=(1-р)2р; Р(х=4)=1- Р(х=1)- Р(х=2)- Р(х=3)=1-р-р+р2-р+2р2-р3=1-3р+3р2-р3.Закон распределения будет иметь следующий вид:х1234Рр(1-р)р(1-р)2р1-3р+3р2-р3Среднее число выстрелов равно:x=xiPi=p+21-pp+31-p2p+41-3p+3p2-p3==p+2p-2p2+3p-6p2+3p3+4-12p+12p2-4p3=4-6p+4p2-p3.Дисперсия равна:Dx=xi2Pi-x2=p+41-pp+91-p2p+161-3p+3p2-p3--4-6p+4p2-p32=16-34p+26p2-7p3-16+48p-68p2+56p3--28p4+8p5-p6=14p-42p2+49p3-28p4+8p5-p6.Задача 10. Сколько раз нужно бросить монету, чтобы с вероятностью не меньшей 0,997 можно было бы утверждать, что частота выпадения герба будет между 0,499 и 0,501?Решение.Согласно неравенства Чебышева вероятность того, что отклонение случайной величины х от её математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа ε, не меньше чем 1-D(x)/ε2 илиPx-Mx≥ε≤1-Dx/ε2.В нашем случае М(х)=0,5. D(x)=npq, где n – число испытаний, р=0,5 вероятность выпадения герба в одном испытании, q=1-р=1-0,5=0,5, тогда D(x)=0,25n. М(х)=0,5. Тогда по условию ε=0,001n. Следовательно (берем предельный случай),1-Dxε2=0,997.Или 1-0,25nn2∙10-6=0,997. =>n=0,250,003∙10-6=83∙106.Задача 11. Случайная величина задана функцией распределения F(x).Найти: плотность распределения вероятностей f(x); неизвестный параметр а;вероятность того, что случайная величина х примет значение, заключенное в интервале (α, β); математическое ожидание М(х) и дисперсию D(x); вероятность того, что в результате n независимых испытаниях случайная величина х примет k раз значение заключенное в интервале (α, β).Fx=0, x≤4;ax-42, 4<x≤5;1, x>5. α=4,5; β=5;n=120;k=80.Решение.Плотность распределения вероятностей находим по формуле f(x)=dF(x)/dx. Тогдаfx=0, x≤4;2ax-4, 4<x≤5;0, x>5.Параметр а найдем из условия-∞+∞fxdx=1.Тогда 452ax-4dx=ax2-8x45=a=1.Следовательно:Fx=0, x≤4;x-42, 4<x≤5;1, x>5. fx=0, x≤4;2x-4, 4<x≤5;0, x>5.Р(4,5<x<5)= F(5)- F(4,5)=1-(4,5-4)2=0,75.