Контрольная работа Вариант №9 (Фин.Универ при РФ)

решения контрольной работы по дисциплине "Линейная алгебра" вариант №9 ...

отсутствует

Задача 1. Даны матрицы:
A=(■(2&1&[email protected]&1&[email protected]&4&[email protected]&2&1)) и B=(■(-1&1&1&[email protected]&-4&5&[email protected]&2&-2&-1)).
Определить, имеет ли матрица C=A∙B обратную.
Решение:
Найдем матрицу C=A∙B:

Найти какое-нибудь базисное решение.Решение:Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований строк преобразуем ее к редуцированному виду:2-43-21-2-2-13-65-34-8-3-43-25-3~2-43-2007000-1/30009/2037-1/39/2~2-43-20070000000003700.Так как количество линейно независимых строк матрицы равно 2, то ранг матрицы равен 2, следовательно, размерность пространства решений равна: d=4-2=2.И фундаментальная система решений состоит из двух линейно независимых решений.Неизвестные x1,x3, соответствующие базисным столбцам, являются базисными, неизвестные x2,x4 – свободными.Используя метод Гаусса, получим:x2=x2,x4=x4;7x3=7, x3=1;2x1-4x2+3-2x4=3, x1=2x2+x4;Следовательно, общее решение: x1=2x2+x4, x2=x2, x3=1,x4=x4. Найдем какое-нибудь базисное решение, полагая x2=1, x4=1:X=3111Ответ: общее решение:X=2x2+x4x21x4;базисное решение:X=3111.Задача 4. Найти длину вектора 2a-5b, если a=1;3;-2;b=-2;1;-1.Решение:2a-5b=2;6;-4+10;-5;5=12;1;1.Таким образом, длина вектора:2a-5b=144+1+1=146≈12,083.Ответ:146.Задача 5. Даны четыре вектораa1=1;-1;3,a2=2;0;1, a3=3;4;-5, a4=0;0;1в некотором базисе. Показать, что векторы a1, a2, a3 образуют базис, и найти координаты вектора a4 в этом базисе.Решение:Составим матрицу, столбцами которой являются векторы a1, a2,a3, и приведем ее к ступенчатому виду:123-10431-5~12302705/314/3~123027007/5.Следовательно, ранг матрицы, составленной из векторов a1, a2,a3, равен трём (количество ненулевых строк); векторы a1, a2,a3, - линейно независимы и образуют базис в пространстве R3.Тогда вектор a4=(0;0;1) должен разлагаться по этому базису:a4=x1a1+x2a2+x3a3Значит, координаты полученного разложения удовлетворяют линейной неоднородной системе алгебраических уравнений:x1+2x2+3x3=0,-x1+4x3=0,3x1+x2-5x3=1;Решим систему методом Гаусса:123-10431-5001~12302705/314/300-1/3~123027007/5002/5Обратный ход:75x3=25, x3=27;2x2+2=0, x2=-1;x1-2+67=0, x1=87;Следовательно, x1=87, x2=-1, x3=27;Итак, вектор a4 в базисе a1, a2,a3 имеет координаты: (87;-1;27).Откуда заключаем: a4=-87a1-a2+27a3.Ответ: координаты вектора a4 в базисе векторов a1, a2,a3:(87;-1;27).Задача 6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора A, заданного матрицей A=59121266.