Методика решения задач по планиметрии школьного курса математики

Методика решения задач по планиметрии школьного курса математики
Дипломная работа
Содержит 43 страницы. Сдана на 5.
...

Введение………………………………………………………………………...3
1 Роль и место понятия «площадь» в школьном курсе математики…………..6
2 Методика изучения данной темы……………………………………………9
2.1 Знакомство с понятием площади………………………………………….9
2.2 Площадь прямоугольника………………………………………………...11
2.3 Площадь параллелограмма……………………………………………….13
2.4 Площадь треугольника……………………………………………………16
2.5 Площадь круга…………………………………………………………….21
2.6 Площадь произвольного n-угольника……………………..…………….23
2.7 Площадь правильного n-угольника……………………..……………….27
3 Задачи планиметрии из централизованного тестирования……………....30
4 Задачи и упражнения для самостоятельного решения…………………...38
Заключение…………………………………………………………..…….…..40
Список использованных источников………………………………………...42

В школьном курсе математики изучается множество способов нахождения площадей плоских геометрических фигур, большинство из которых часто применяются не только в решении задач на уроках математики, но и в повседневной жизни. Материал о площади плоских фигур «разбросан» по всему курсу математики, в разных учебниках он преподносится по-разному. Данная дипломная работа направлена на то, чтобы обобщить и систематизировать этот материал и найти наиболее приемлемый способ его представления. Она состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка использованных источников.
В первой главе рассказывается, какое место занимает понятие «площадь» в школьном курсе математики.
Вторая глава – это методика изучения данной темы. Здесь происходит знакомство с понятием «площадь» и рассмотрим, какие фигур ы встречаются в школьном курсе математики. В этой главе имеется 7 подразделов – это знакомство с понятием площади, площадь прямоугольника, площадь параллелограмма, площадь треугольника, площадь круга, площадь произвольного n-угольника, площадь правильного n-угольника. В каждом подразделе приведены примеры решения соответствующих задач.
В третьей главе рассматриваются примеры решения задач из централизованного тестирования, начиная с 2004 года по 2014 год.
В четвёртой главе дипломной работы дан список задач и упражнений для самостоятельного решения и закрепления полученных навыков и умений в методике решения задач по планиметрии.
Список использованных при работе над дипломом источников состоит из 17 наименований.
Целью данной работы является раскрытие понятия площади, ее основных свойств, а также выявление основных методических трудностей при изучении данного понятия и путей их преодоления.

На отработку этого свойства площади следует обратить особое внимание, в школьных учебниках для этого имеется множество задач. Уже в пропедевтическом курсе математики пятого класса рассматривается задача о площади:Найдите площадь двухкомнатной квартиры, если площадь обеих комнат 35 м2 , площадь кухни 9 м2, а подсобные помещения занимают общую площадь a м2. Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение при a = 8, a = 12. С методической точки зрения данная задача направлена на то, чтобы развить у учащихся навыки работы с формулами и, параллельно дать им представление об одном из основных свойств площади. [2, c. 198]2.2 Площадь прямоугольникаС площадью прямоугольника учащиеся знакомятся, уже изучая математику в пятом классе, но более детальное ее рассмотрение начинается в курсе геометрии восьмого или девятого класса. И в обоих случаях площадь прямоугольника рассматривается как часть темы «Площадь многоугольника».В пятом и шестом классе уже изучалась площадь прямоугольника и площадь круга, но ни определения площади, ни ее свойств рассмотрено не было. Теперь же учащимся предлагается определение площади как величины той части плоскости, которую занимает многоугольник, и рассматриваются некоторые свойства площади:1) Равные многоугольники имеют равные площади.2) Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. (В учебнике эти два свойства названы основными).3) Площадь квадрата равна квадрату его стороны.На основе этих трех свойств доказывается теорема о том, что площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.[1, c. 144]Теорема. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.Доказательство. Рассмотрим прямоугольник со сторонами a, b и площадью S . Докажем, что S = ab. acenter40640S00S b Рисунок 2.2.1Превратим наш прямоугольник в квадрат. Для этого увеличим его сторону b до длины стороны a (рисунок 2.2.2).Рисунок 2.2.2В итоге у нас получилось четыре квадрата. Мы знаем, что площадь квадрата равна a + b2. В то же время эти квадраты составлены из двух прямоугольников: одного прямоугольника с площадью S и такого же прямоугольника с такой же площадью, а также двух квадратов, у которых площади a2 и b2. Исходя из того, что наш четырехугольник состоит не из одного четырехугольника, а из нескольких, то его площадь будет равна сумме всех площадей данных четырехугольников. Это выходит из свойства площадей:a + b2= S + S + a2 + b2, или a2 + 2ab + b2 = 2S+a2+b2. А это означает, что S=ab. Значит, наша теорема доказана.Тема площади прямоугольника играет важную роль в изучении площади вообще, так как служит основой для вывода площади треугольника, параллелограмма и др.Пример 2.2.1.Найти площадь прямоугольника, если одна его сторона равна 3 см, а вторая, смежная с ней – 5 см.Решение: Искомая площадь прямоугольника равна произведению двух заданных сторон: S=3∙5=15 см2.Ответ: S=15 см2.Пример 2.2.2.Найти площадь прямоугольника, если одна его сторона равна 3 м, а диагональ – 5 м.24130553720Решение: Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (рисунок 2.2.3), из которого по теореме Пифагора найдем длину катета BC:BC=AC2-AB2=52-32=25-9==16=4 (м)Тогда искомая площадь равна:S=3∙4=12 (м2). Рисунок 2.2.3Ответ: S=12 (м2).Пример 2.2.3.Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки длиной m и n. Доказать, что площадь треугольника S=mn. Найти площадь прямоугольника, вписанного в данный треугольник так, что одна его вершина совпадает с вершиной прямого угла, а противоположная вершина – с точкой касания окружности и гипотенузы.Решение:Пусть D,E,F – точки касания (рисунок 2.2.4); тогда AD=AF=m, BD=BE=n, CE=CF=r – радиус вписанной окружности, p=r+m+n – полупериметр. Далее, используя формулу S=12ab, находим S=r+m(r+n)2, или 2S=r2+rm+n+mn=rr+m+n+mn=rp++mn. Так как в силу равенства r=Sp, rp=S, то 2S=S+mn, откуда S=mn.Рисунок 2.2.4Пусть CMDK – вписанный прямоугольник. Поскольку DK║BC, используя геометрию с центром в A и коэффициентом k=mm+n, найдём площадь S1 треугольника ADK: S1=SABC∙m2m+n2=m3nm+n2.Аналогично для площади S2 треугольника BDM имеем:S2=SABC∙n2m+n2=mn3m+n2. Искомая площадьSCMDK=mn-m3n+mn3m+n2=2m2n2m+n2.Ответ: SCMDK=2m2n2m+n2.2.3 Площадь параллелограммаВывод формулы площади параллелограмма сводится к построению прямоугольника, равного данному параллелограмму по площади. Примем одну сторону параллелограмма за основание, а перпендикуляр, проведенный из любой точки противолежащей стороны на прямую, содержащую основание будем называть высотой параллелограмма. Тогда площадь параллелограмма будет равна произведению его основания на высоту. [4, c. 254]Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD с площадью S. Примем сторону AD за основание и проведем высоты BH и CK (рисунок 2.3.1). Требуется доказать, что S=AD∙BH.Рисунок 2.3.1Докажем сначала, что площадь прямоугольника HBCK также равна S. Трапеция ABCK составлена из параллелограмма ABCD и треугольника DCK. С другой стороны, она составлена из прямоугольника НВСК и треугольника ABH. Но прямоугольные треугольники DCK и ABH равны по гипотенузе и острому углу (их гипотенузы AB и CD равны как противоположные стороны параллелограмма, а углы 1 и 2 равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей AD), поэтому их площади равны. Следовательно, площади параллелограмма ABCD и прямоугольника HBCK также равны, то есть площадь прямоугольника HBCK равна S. По теореме о площади прямоугольника, но так как BC=AD, то S=AD∙BH. Теорема доказана.Пример 2.3.1.В ромб со стороной a и острым углом 60° вписана окружность. Определить площадь четырёхугольника, вершинами которого являются точки касания окружности со сторонами ромба.[5, c. 150]Решение:22860168275Радиус вписанной в ромб ABCD окружности (рисунок 2.3.2) R=a34, поскольку ˂A=60°. Четырёхугольник KLMN является прямоугольником, так как его углы опираются на диаметр окружности. Его площадь S=MN∙LM, где MN=R (катет, лежащий против угла 30°), LM=R3. Рисунок 2.3.2Итак, S=R23=3a2316.Ответ: S=3a2316.Пример 2.3.2.Дан ромб ABCD, диагонали которого равны 3 см и 4 см. Из вершины тупого угла B проведены высоты BE и BF. Вычислить площадь четырёхугольника BFDE.Решение:Площадь ромба S=0,5∙3∙4=6=AD∙BE (рисунок 2.3.3). Рисунок 2.3.3Далее, из ∆AOD находим AD=22+1,52=2,5 (см) и, следовательно, BE=62,5=2,4 (см). Тогда из ∆BDE получим: DE=BD2-BE2=32-2,42=1,8 (см).Итак, SBEDF=2SBED=1,8∙2,4=4,32 (см2).Ответ: SBEDF=4,32 (см2).Пример 2.3.3.Площадь четырёхугольника равна S. Найти площадь параллелограмма, стороны которого равны и параллельны диагоналям четырёхугольника.Решение:Так как AL║BO и LB║AO (рисунок 2.3.4), то ALBO – параллелограмм и, значит, SALB=SAOB. Рисунок 2.3.4Аналогично получаем SBMC=SBOC, SDCN=SDOC, SAPD=SAOD, откуда следует, что SLMNP=2S.Ответ: SLMNP=2S.2.4 Площадь треугольникаСуществует несколько формул для вычисления площади треугольника. Рассмотрим те, что изучаются в школе.Первая формула вытекает из формулы площади параллелограмма и предлагается учащимся в виде теоремы. [4, c. 254]Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.Доказательство. Пусть S – площадь треугольника ABC. Примем сторону BC за основание треугольника и проведем высоту AH. Докажем что:S = 12∙CB∙AH.Рисунок 2.4.1Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABDC так, как показано на рисунке. Треугольники ABC и ACD равны по трем сторонам (AC – их общая сторона, AB = CD и AD = BC как противоположные стороны параллелограма ABCD), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь S треугольника АВС равна половине площади параллелограмма ABCD, т.е. S = 12∙CB∙AHТеорема доказана.Важно обратить внимание учащихся на два следствия, вытекающих из данной теоремы. А именно:площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.Эти два следствия играют важную роль в решении разного рода задач. С опорой на данную доказывается еще одна теорема, имеющая широкое применение при решении задач.Теорема. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.Доказательство. Пусть S и S1 – площади треугольников ABC и A1B1C1, у которых углы A и A1 равны. 1112520-128270A CA1C1 B1B00A CA1C1 B1B Рисунок 2.4.2Докажем, что: SS1=AB∙ACA1B1∙A1C1.Наложим треугольник A1B1C1. на треугольник ABC так, чтобы вершина A1 совместилась с вершиной A, а стороны A1B1 и A1C1 наложились соответственно на лучи AB и AC.153416024765B1H1A1(A)CBHC100B1H1A1(A)CBHC1Рисунок 2.4.3 Треугольники ABC и ABC1 имеют общую высоту BH, поэтому SABCSABC1=ACAC1, SABCSABC1=ABHC1. Треугольники ABC1 и AB1C1 также имеют общую высоту – C1H1, поэтому SABC1SAB1C1=ABAB1, SABC1SAB1C1=ABA1B1. Перемножая полученные равенства, получим SS1=AB∙ACA1B1∙A1C1 . Теорема доказана.Вторая формула. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Существует несколько способов доказательства этой формулы, и я воспользуюсь одним из них.Доказательство. Из геометрии известна теорема о том, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, опущенную на это основание: S=12∙c∙CD. В случае остроугольного треугольника ABC CD=b∙sinα. В случае тупого угла α CD=b∙sinCAD. Ho ˂CAD+α=180°, а поэтому sinCAD=sinα. Итак, в обоих случаях CD=b∙sinα. Подставив вместо CD в геометрической формуле площади треугольника b∙sinα, получим тригонометрическую формулу площади треугольника: S=12∙b∙c∙sinα.Теорема доказана.Третья формула для площади треугольника – формула Герона S=p(p-a)(p-b)(p-c), названа так в честь древнегреческого ученого Герона Александрийского, жившего в первом веке нашей эры. Эта формула позволяет находить площадь треугольника, зная его стороны. Она удобна тем, что позволяет не делать никаких дополнительных построений и не измерять углов. Ее вывод основывается на второй из рассмотренных нами формул площади треугольника и теореме косинусов: S=12absinC и c2=a2+b2-2abcosC.Далее мы должны из второй формулы (теоремы косинусов) выразить через a, b и c сначала cos C, а затем и sin C и подставить в формулу для площади.Прежде чем перейти к реализации этого плана, заметим, чтоa+b-c2=a+b+c-2c2=2p-2c2=p-c.Точно так же имеем:b+c-a2=p-a, c+a-b2=p-c.Теперь выразим косинус через a, b и c:cosC=a2+b2-c22abТак как любой угол в треугольнике больше 0° и меньше 180°, то sinC>0 . Значит, sinC=1-cos2C=(1-cosC)(1+cosC).Теперь отдельно преобразуем каждый из сомножителей в подкоренном выражении. Имеем:1-cosC=1-a2+b2-c22ab=c2-a2-b2+2ab2ab=c2-a-b22ab==c-a+bc+a-b2ab=2p-ap-bab,1+cosC=1+a2+b2-c22ab=a+b2-c22ab=a+b+ca+b-c2ab==2pp-cab.Значит, sinC=(1-cosC)(1+cosC)=2abp(p-a)(p-b)(p-c).Подставляя это выражение в формулу для площади, получаем:S=12ab sinC=p(p-a)(p-b)(p-c).Тема «Площадь треугольника» имеет большое значение в школьном курсе математики. Треугольник – простейшая из геометрических фигур. Он является «структурным элементом» школьной геометрии. Подавляющее большинство геометрических задач сводятся к решению треугольников. Не исключение и задача о нахождении площади правильного и произвольного n-угольника.[6,c.238]Пример 2.4.1.Чему равна площадь равнобедренного треугольника, если его основание 120 м, а боковая сторона 100 м?Решение: ∆ ABC – равнобедренный, AB=BC=100 м, AC=120 м.Рисунок 2.4.4Проведём BD⏊AC, по свойству равнобедренного треугольника BD – медиана и высота. Тогда AD=12AC=60 м.В ∆ABD ˂D=90°, AB=100 м, AD=60 м, по теореме Пифагора: BD=AB2-AD2=10000-3600=6400=80 м. Находим площадь треугольника: SABC=12AC∙BD=12∙120∙80=4800 м2.Ответ: SABC=4800 м2.Пример 2.4.2.В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить площадь треугольника.[7, c. 78]Решение:6540586360Пусть BC=x (рисунок 2.4.5). Тогда AB=81+x2 и x4=81+x25 (поскольку BD – биссектриса). Отсюда имеем 25x2=1681+x2, то есть x=12 (см). Значит, SABC=12BC∙AC=12∙12∙9=54 см2. Рисунок 2.4.5Ответ: SABC=54 см2.Пример 2.4.3.Найти площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно a, а длина высоты, проведённой к основанию, равна длине отрезка, соединяющего середины основания и боковой стороны. Решение:По условию, DK – средняя линия ∆ABC (рисунок 2.4.6). Так как BD=DK=12BC, то ˂C=30° и BC=2BD. В ∆BCD имеем:70485343535 CD2=BC2-BD2, или a24=4BD2-BD2, откуда BD=a23. Следовательно, SABC=12AC∙BD=CD∙BD=a2312. Рисунок 2.4.6Ответ: SABC=a2312.2.5 Площадь кругаКруг – это плоская фигура, которая представляет собой множество точек равноудаленных от центра. Все они находятся на одинаковом расстоянии и образуют собой окружность. Отрезок, который соединяет центр круга с точками его окружности, называется радиусом. В каждой окружности все радиусы равны между собой. Прямая, соединяющая две точки на окружности и проходящая через центр называется диаметром. Формула площади круга рассчитывается с помощью математической константы – числа π. [3, c. 98]Это интересно: Число π представляет собой соотношение длины окружности к длине ее диаметра и является постоянной величиной. Значение π = 3,1415926 получило применение после работ Л. Эйлера в 1737 г. [8, c. 177]Площадь окружности можно вычислить через константу π и радиус окружности. Формула площади круга через радиус выглядит так: S=πR2.Существует формула площади круга через диаметр. Она также широко применяется для вычисления необходимых параметров. Данные формулы можно использовать для нахождения площади треугольника по площади описанной окружности: S=π4d2.Знания стандартных формул расчета площади круга помогут в дальнейшем легко определять площадь секторов и легко находить недостающие величины.Мы уже знаем, что формула площади круга рассчитывается через произведение постоянной величины π на квадрат радиуса окружности. Радиус можно выразить через длину окружности и подставить выражение в формулу площади круга через длину окружности: R=l2π. Теперь подставим это равенство в формулу расчета площади круга и получим формулу нахождения площади круга, через длину окружности:S=πl2π2=l24πПлощадь круга описанного вокруг квадратаОчень легко можно найти площадь круга описанного вокруг квадрата. Для этого потребуется только сторона квадрата и знание простых формул. Диагональ квадрата будет равна диагонали описанной окружности.Зная сторону, a ее можно найти по теореме Пифагора: d2=2a2, отсюда d=2a2. После того, как найдем диагональ – мы сможем рассчитать радиус: R=d2 .Рисунок 2.5.1И после подставим все в основную формулу площади круга описанного вокруг квадрата: S=πR2.Пример 2.5.1.Найдите площадь круга, если длина окружности l.Решение: l=2πR, откуда имеем R=l2π. ТогдаS=πR2=πl2π2=π∙l24π2=l24π.Ответ: S= l24π.Пример 2.5.2.В круге радиуса R проведены по разные стороны от центра две параллельные хорды, одна из которых стягивает дугу в 60°, другая – 120°. Найти площадь части круга, заключённого между хордами. [7, c. 78]Решение:Рисунок 2.5.2Площадь сегмента с дугой 60° равна S1=πR26-R234, а площадь сегмента с дугой 120° равна S2=πR23-R234. Искомая площадь составляет S=πR2-S1-S2=R2(π+3)2.Ответ: S=R2(π+3)2.Пример 2.5.3.Две окружности радиуса R пересекаются так, что каждая проходит через центр другой. Две другие окружности того же радиуса имеют центры в точках пересечения первых двух окружностей. Найти площадь, общую всем четырём кругам.Решение:Каждая из двух последних окружностей проходит через центры первых двух (рисунок 2.5.3), поэтому длина общей хорды O1O2=R.Рисунок 2.5.3Искомая площадь равна удвоенной площади сегмента с центральным углом 60°, то есть S=2πR26-R234=R2(2π-33)6.Ответ: S=R2(2π-33)6.2.6 Площадь произвольного n-угольникаОтдельно в школе площадь произвольного многоугольника не рассматривается. Однако, в курсе геометрии есть ряд задач, в которых требуется найти площадь произвольного многоугольника. К тому же на практике задача о площади такого многоугольника встречается довольно часто. Поэтому на уроках геометрии следует уделить должное внимание решению подобных задач. Методическая ценность такого рода задач заключается в том, что они, во-первых, хорошо иллюстрируют свойство аддитивности площади, а, во-вторых, помогают учащимся развить навыки нахождения площади треугольника различными способами.Итак, основная идея нахождения площади произвольного n-угольника – это разбиение его на конечное число треугольников. В результате суммирования площадей треугольников, составляющих данный n-угольник получается искомая площадь.Нахождение площади n-угольника таким способом лежит в основе доказательства теоремы о площади трапеции. [9, c. 21]Теорема. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. [10, c. 70]Доказательство. Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC, высотой BH и площадью S.236474018986500Рисунок 2.6.1Докажем, что S=(AD+BC)2∙BH.Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD, поэтому S = SABD+ SBCD. Примем отрезки AD и BH за основание и высоту треугольника ABD, а отрезки BC и DH1 за основание и высоту треугольника BCD. Тогда SABC= AD∙BH 2, SBCD = BC∙ DH1. Так как DH1 = BH, то SBCD = BC∙BH 2. Таким образом, S = AD∙BH 2 + BC∙ BH = (AD+BC)2∙BH.Теорема доказана.Пример 2.6.1.Основание треугольника равно 30 см, а боковые стороны 26 и 28 см. Высота разделена в отношении 2:3 (считая от вершины), и через точку деления проведена прямая, параллельная основанию. Определить площадь полученной при этом трапеции.Решение: По условию, AB=c=30 см, AC=b=26 см, BC=a=28 см (рисунок 2.6.2). Рисунок 2.6.2Тогда p=0,5a+b+c=42, p-a=14, p-b=16, p-c=12 и по формуле Герона находим SABC=42∙14∙16∙12=336 см2. Так как ∆MNC ~ ∆ABC, то SMNCSABC=CK2CD2=425=0,16. Отсюда определяем площадь трапеции:SAMNB=SABC-SMNC=336-0,16∙336=282,24 (см2).Ответ: SAMNB=282,24 (см2).Пример 2.6.2.Диагональ равнобедренной трапеции делит её тупой угол пополам. Меньшее основание трапеции равно 3 см, периметр равен 42 см. Найти площадь трапеции.22860240030Решение:По условию, ˂BCA=˂ACD (рисунок 2.6.3). Но ˂BCA=˂CAD, а значит, ∆ACD – равнобедренный и AD=CD. Имеем 3AD+BC=42; так как BC=3 см, то AD=13 см. Проведём BK⏊AD; тогда AK=1213-3=5 (см) и из ∆AKB находим BK=132-52=12 см. Итак, SABCD=123+13∙12=96 (см2). Рисунок 2.6.3Ответ: SABCD=96 (см2).Пример 2.6.3.Найти площадь равнобедренной трапеции, если её высота равна h, а боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом 60°.Решение:Так как центральный угол COD равен 60° (рисунок 2.6.4), то вписанный угол CAD равен 30°. Рисунок 2.6.4Следовательно, h=12AC и из ∆AKC получаем: AK=AC2-CK2=h3. Находим площадь трапеции:SABCD=12BC+ADh=AE+EKh=AK∙h=h3∙h=h23.Ответ: SABCD=h23.Пример 2.6.4.В некоторый угол вписана окружность радиуса R, а длина хорды, соединяющей точки касания, равна a. Параллельно этой хорде проведены две касательные, в результате чего получилась трапеция. Найти площадь этой трапеции.Решение:Пусть L и M – точки касания (рисунок 2.6.5); тогда NL=NM, откуда AB=CD, поскольку AD║BC║LM. Проведём OK⏊LM и BH⏊AD. Тогда искомая площадь S=12∙AD+BC∙BH. Для описанной трапеции имеем AD+BC=AB+CD=2AB; поэтому S=AB∙BH.Далее, ∆ABH~∆OLK (˂LOK=˂BAH как углы с взаимно перпендикулярными сторонами), откуда LKLO=BHAB, или 0,5aR=2RAB и, значит, AB=4R2a.Рисунок 2.6.5Итак, S=4R2a∙2R=8R3a.Ответ: S=8R3a.2.7 Площадь правильного n-угольникаВывод площади правильного n-угольника связан с радиусом вписанной в этот n-угольник окружности и радиусом окружности, описанной около него. При выводе этой формулы используется разбиение n-угольника на n треугольников.