ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ по дисциплине «Эконометрика» вариант №8 для студентов НИМБ

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ по дисциплине «Эконометрика» вариант №8 для студентов НИМБ. Выполнена на "отлично". Содержит подробное решение задач. ...

не требуется

Задание № 1
В таблице 1:
Y(t) – показатель эффективности ценной бумаги;
X(t) – пока¬затель эффективности рынка ценных бумаг.
Требуется:
1. Выбрать вид зависимости между показателем эффективности ценной бумаги и пока-зателем эффективности рынка ценных бумаг. Построить выбранную зависимость. Дать экономическую интерпретацию найденным параметрам модели.
2. Оценить качество построенной модели и тесноту связи между показателями.
3. Доказать статистическую значимость построенной модели и найденных параметров.
4. Проанализировать влияние пока¬зателя эффективности рынка ценных бумаг на показатель эффективности ценной бумаги с помощью коэффициента эластичности .

Задание № 2
В таблице 2:
Y(t) – прибыль коммерческого банка;
X1(t) – процентные ставки банка по кредитованию юридических лиц;
X2(t) – процентные ставки по депозитным вкладам за этот же период.
Требуется:
1. Провести предварительный анализ одновременного включения показателей процентных ставок банка по кредитованию юридических лиц и процентных ставок по депозитным вкладам в модель. Сделать выводы.
2. Построить множественную зависимость прибыли коммерческого банка от процентных ставок банка по кредитованию юридических лиц и процентных ставок по депозитным вкладам. Дать экономическую интерпретацию найденным параметрам модели.
3. Оценить качество построенной модели.
4. Доказать статистическую значимость построенной модели и найденных параметров.
5. Проанализировать влияние пока¬зателей эффективности рынка ценных бумаг на прибыль коммерческого банка и показателя эффективности ценной бумаги на прибыль коммерческого банка с помощью коэффициентов эластичности .

Задание № 3
В таблице 3:
Y(t) – показатель эффективности ценной бумаги;
t – временной параметр ежемесячных наблюдений;

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Y(t) 88 88 84 86 82 80 81 78 76

Требуется:
1. Провести графический анализ временного ряда. Сделать выводы
2. Найти коэффициенты автокорреляции 1-го порядка, по полученным значениям сделать выводы.
3. Построить уравнение линейного тренда, с экономической интерпретацией найденных параметров.
4. Оценить качество построенного уравнения.

318) С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале. 2) F-статистика. Критерий Фишера. EQ R2 = 1 - \f(∑(yi - yx)2; ∑(yi - \x\to(y))2) = 1 - \f(15.21;136.22) = 0.8884EQ F = \f(R2;1 - R2)\f((n - m -1);m)EQ F = \f(0.8884;1 - 0.8884)\f((9-1-1);1) = 55.71Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=7, Fтабл = 5.59 Отметим значения на числовой оси. Принятие H0Отклонение H0, принятиее H195%5%5.5955.71 Поскольку фактическое значение F > Fтабл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна). Связь между F-критерием Фишера и t-статистикой Стьюдента выражается равенством: EQ t2r = t2b = \r(F) = \r(55.71) = 7.46Дисперсионный анализ. Источник вариацииСумма квадратовЧисло степеней свободыДисперсия на 1 степень свободыF-критерийМодель (объясненная)01055.71Остаточная15.2172.171Общая136.229-1 Показатели качества уравнения регрессии. ПоказательЗначениекоэффициент детерминации0.89Средний коэффициент эластичности-0.49Средняя ошибка аппроксимации1.28Задание № 2В таблице 2: Y(t) – прибыль коммерческого банка; X1(t) – процентные ставки банка по кредитованию юридических лиц;X2(t) – процентные ставки по депозитным вкладам за этот же период.Требуется:Провести предварительный анализ одновременного включения показателей процентных ставок банка по кредитованию юридических лиц и процентных ставок по депозитным вкладам в модель. Сделать выводы.Построить множественную зависимость прибыли коммерческого банка от процентных ставок банка по кредитованию юридических лиц и процентных ставок по депозитным вкладам. Дать экономическую интерпретацию найденным параметрам модели.Оценить качество построенной модели.Доказать статистическую значимость построенной модели и найденных параметров.Проанализировать влияние показателей эффективности рынка ценных бумаг на прибыль коммерческого банка и показателя эффективности ценной бумаги на прибыль коммерческого банка с помощью коэффициентов эластичности .Таблица 2t12345678910Y(t)18143337404241495648X1(t)28344038224850525349Х2(t)87857886818083787679Решение.Оценка уравнения регрессии.Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор s получается из выражения: s = (XTX)-1XTYК матрице с переменными Xj добавляем единичный столбец:12887134851407813886122811488015083152781537614979Матрица Y18143337404241495648Матрица XT11111111112834403822485052534987857886818083787679Умножаем матрицы, (XTX)XT X =1041481341418186334418133344166225В матрице, (XTX) число 10, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы XT и 1-го столбца матрицы XУмножаем матрицы, (XTY)XT Y =3781652030385Находим обратную матрицу (XTX)-199.078-0.264-1.083-0.2640.001470.0025-1.0830.00250.012Вектор оценок коэффициентов регрессии равенY(X) =99,078-0,264-1,083-0,2640,001470,0025-1,0830,00250,012*3781652030385=182,7190,418-1,995Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)Y = 182.72 + 0.42X1-2X2Матрица парных коэффициентов корреляции R.Матрица, составленная из Y и X1182887114348513340781373886140228114248801415083149527815653761484979Транспонированная матрица.1111111111181433374042414956482834403822485052534987857886818083787679Матрица ATA.10378414813378158641652030385414165201818633441813303853344166225Полученная матрица имеет следующее соответствие:∑n∑y∑x1∑x2∑y∑y2∑x1 y∑x2 y∑x1∑yx1∑x1 2∑x2 x1∑x2∑yx2∑x1 x2∑x2 2Найдем парные коэффициенты корреляции.Признаки x и y∑xi∑yi∑xiyiДля y и x141441.437837.8165201652Для y и x281381.337837.8303853038.5Для x1 и x281381.341441.4334413344.1Признаки x и yДля y и x1104.64157.5610.22912.552Для y и x212.81157.563.57912.552Для x1 и x212.81104.643.57910.229Матрица парных коэффициентов корреляции R:-yx1x2y10.678-0.771x10.6781-0.593x2-0.771-0.5931Рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики для ryx1 по формуле:где m = 1 - количество факторов в уравнении регрессии.По таблице Стьюдента находим Tтаблtкрит(n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значимРассчитаем наблюдаемые значения t-статистики для ryx2 по формуле:Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значимТаким образом, связь между (y и xx1 ), (y и xx2 ) является существенной.Наибольшее влияние на результативный признак оказывает фактор x2 (r = -0.77), значит, при построении модели он войдет в регрессионное уравнение первым.Тестирование и устранение мультиколлинеарности.1. Проверим переменные на мультиколлинеарность методом Фаррара-Глоубера по первому виду статистических критериев (критерий "хи-квадрат").Формула для расчета значения статистики Фаррара-Глоубера:χ2 = -[n-1-(2m+5)/6]ln(det[R]) = -[10-1-(2*2+5)/6]ln(0.214) = 11.56где m = 2 - количество факторов, n = 10 - количество наблюдений, det[R] - определитель матрицы парных коэффициентов корреляции R.Сравниваем его с табличным значением при v = m/2(m-1) = 1 степенях свободы и уровне значимости α. Если χ2 > χтабл2, то в векторе факторов присутствует мультиколлинеарность.χтабл2(1;0.05) = 3.841462. Проверим переменные на мультиколлинеарность по второму виду статистических критериев (критерий Фишера).Определяем обратную матрицу D = R-1:D =3,028-1,0311,723-1,0311,8940,3291,7230,3292,523Вычисляем F-критерии Фишера:где dkk - диагональные элементы матрицы.Рассчитанные значения критериев сравниваются с табличными при v1=n-m и v2=m-1 степенях свободы и уровне значимости α. Если Fk > FТабл, то k-я переменная мультиколлинеарна с другими.v1=10-2 = 8; v2=2-1 = 1. FТабл(8;1) = 239Поскольку F1 ≤ Fтабл, то переменная y немультиколлинеарна с другими.Поскольку F2 ≤ Fтабл, то переменная x1 немультиколлинеарна с другими.Поскольку F3 ≤ Fтабл, то переменная x2 немультиколлинеарна с другими.3. Проверим переменные на мультиколлинеарность по третьему виду статистических критериев (критерий Стьюдента). Для этого найдем частные коэффициенты корреляции.Частные коэффициенты корреляции.Теснота связи не сильнаяОпределим значимость коэффициента корреляции ryx1 /x2 .Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле:где k = 1 - число фиксируемых факторов.По таблице Стьюдента находим Tтаблtкрит(n-k-2;α/2) = (7;0.025) = 2.365Поскольку tнабл < tкрит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значимКак видим, связь y и x1 при условии, что x2 войдет в модель, снизилась. Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x1 остается нецелесообразным.Теснота связи умереннаяОпределим значимость коэффициента корреляции ryx2 /x1 .Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле:Поскольку tнабл < tкрит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значимКак видим, связь y и x2 при условии, что x1 войдет в модель, снизилась. Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x2 остается нецелесообразным.Можно сделать вывод, что при построении регрессионного уравнения следует отобрать факторы x1 , x2 .Модель регрессии в стандартном масштабе.Модель регрессии в стандартном масштабе предполагает, что все значения исследуемых признаков переводятся в стандарты (стандартизованные значения) по формулам:где хji - значение переменной хji в i-ом наблюдении.Таким образом, начало отсчета каждой стандартизованной переменной совмещается с ее средним значением, а в качестве единицы изменения принимается ее среднее квадратическое отклонение S.Если связь между переменными в естественном масштабе линейная, то изменение начала отсчета и единицы измерения этого свойства не нарушат, так что и стандартизованные переменные будут связаны линейным соотношением:ty = ∑βjtxjДля оценки β-коэффциентов применим МНК. При этом система нормальных уравнений будет иметь вид:rx1y=β1+rx1x2•β2 + ... + rx1xm•βmrx2y=rx2x1•β1 + β2 + ... + rx2xm•βm...rxmy=rxmx1•β1 + rxmx2•β2 + ... + βmДля наших данных (берем из матрицы парных коэффициентов корреляции):0.678 = β1 -0.593β2-0.771 = -0.593β1 + β2Данную систему линейных уравнений решаем методом Гаусса: β1 = 0.341; β2 = -0.569; Искомое уравнение в стандартизованном масштабе: ty=β1tx1+β2tx2Расчет β-коэффициентов можно выполнить и по формулам:Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид:y0 = 0.341x1 -0.569x2 Найденные из данной системы β–коэффициенты позволяют определить значения коэффициентов в регрессии в естественном масштабе по формулам:Анализ параметров уравнения регрессии.Перейдем к статистическому анализу полученного уравнения регрессии: проверке значимости уравнения и его коэффициентов, исследованию абсолютных и относительных ошибок аппроксимацииДля несмещенной оценки дисперсии проделаем следующие вычисления:Несмещенная ошибка ε = Y - Y(x) = Y - X*s (абсолютная ошибка аппроксимации)YY(x)ε = Y - Y(x)ε2(Y-Yср)2|ε : Y|1820.825-2.8257.981392.040.1571427.324-13.324177.524566.440.9523343.8-10.8116.63123.040.32737271099.9910.640.274030.2899.71194.2984.840.2434243.153-1.1531.32917.640.02744138.0032.9978.98410.240.07314948.8160.1840.034125.440.003765653.2242.7767.704331.240.04964845.5662.4345.923104.040.05070520.3981575.62.154Средняя ошибка аппроксимацииОценка дисперсии равна:se2 = (Y - X*Y(X))T(Y - X*Y(X)) = 520.4Несмещенная оценка дисперсии равна:Оценка среднеквадратичного отклонения (стандартная ошибка для оценки Y):Найдем оценку ковариационной матрицы вектора k = S2 • (XTX)-1k(x) = 74.3499,078-0,264-1,083-0,2640,001470,0025-1,0830,00250,012=7365,739-19,651-80,501-19,6510,110,186-80,5010,1860,896Дисперсии параметров модели определяются соотношением S2i = Kii, т.е. это элементы, лежащие на главной диагоналиЧастные коэффициенты эластичности.С целью расширения возможностей содержательного анализа модели регрессии используются частные коэффициенты эластичности, которые определяются по формуле:Частный коэффициент эластичности показывает, насколько процентов в среднем изменяется признак-результат у с увеличением признака-фактора хj на 1% от своего среднего уровня при фиксированном положении других факторов модели.Частный коэффициент эластичности |E1| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.Частные коэффициент эластичности |E2| > 1. Следовательно, он существенно влияет на результативный признак Y.Стандартизированные частные коэффициенты регрессии.Непосредственное влияние фактора x1 на результат Y в уравнении регрессии измеряется βj и составляет 0.341; косвенное (опосредованное) влияние данного фактора на результат определяется как:rx1x2β2 = -0.593 * (-0.569) = 0.3375Сравнительная оценка влияния анализируемых факторов на результативный признак.Долю каждого фактора в общей вариации результативного признака определяют коэффициенты раздельной детерминации (отдельного определения): d2i = ryxiβi.d21 = 0.68 • 0.341 = 0.23d22 = -0.77 • (-0.569) = 0.44При этом должно выполняться равенство:∑d2i = R2 = 0.67Множественный коэффициент корреляции (Индекс множественной корреляции).Коэффициент множественной корреляции определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:где Δr - определитель матрицы парных коэффициентов корреляции; Δr11 - определитель матрицы межфакторной корреляции.Δr =10,678-0,7710,6781-0,593-0,771-0,5931= 0.214Δr11 =1-0,593-0,5931= 0.648Коэффициент множественной корреляцииАналогичный результат получим при использовании других формул:Связь между признаком Y и факторами Xi низкая.