контрольная работа по эконометрике (1вариант)

решение 3х задач. ...

1. Парная регрессия и корреляция
2. Множественная регрессия и корреляция
3. Системы эконометрических уравнений

1.Парная регрессия и корреляция

Задача. По территориям региона приводятся данные за 199X г. (см. таблицу своего варианта)....

знач.9,66,1922,363,815229,05149,8741,887541,497,9Найдем средние квадратические отклонения признаков:σy=y2-y2, σy=97,9-9,62=2,396;σx1=x12-x12, σx1=41,887-6,192=1,890;σx2=x22-x22, σx2=541,4-22,32=6,642.1.                Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии:y=a+b1x1+b2x2необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров a, b1,b2:na+b1x1+b2x2=y;ax1+b1x12+b2x1x2=yx1;ax2+b1x1x2+b2x22=yx2либо воспользоваться готовыми формулами:a=y-b1x1-b2x2;b1=σyσx1∙ryx1-ryx2rx1x21-rx1x22;b2=σyσx2∙ryx2-ryx1rx1x21-rx1x22.Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:ryx1=covy,x1σy∙σx1, ryx1=63,815-6,19∙9,61,890∙2,396=0,970;ryx2=covy,x2σy∙σx2, ryx2=229,05-22,3∙9,66,642∙2,396=0,941; rx1x2=covx1,x2σx1∙σx2, rx1x2=149,87-6,19∙22,31,890∙6,642=0,943. Находимa=9,6-0,946∙6,19-0,0856∙22,3=1,835;b1=2,3961,890∙0,970-0,941∙0,9431-0,9432=0,946;b2=2,3966,642∙0,941-0,970∙0,9431-0,9432=0,0856.Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:y=1,835+0,946∙x1+0,0856∙x2.Коэффициенты β1 и β2 стандартизованного уравнения регрессии ty=β1tx1+β2tx2+ε,  находятся по формулам:β1=b1σx1σy, β1=0,946∙1,8902,396=0,746;β2=b2σx2σy, β2=0,0856∙6,6422,396=0,237.Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:ty=0,746∙tx1+0,237∙tx2.Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:Э1=b1∙x1yx1.Вычисляем:Э1=0,946∙6,199,6=0,61; Э2=0,0856∙22,39,6=0,20.Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,61% или 0,20% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат y фактора x1, чем фактора x2.2.                Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:ryx1=0,970; ryx2=0,941; rx1x2=0,943.Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость.  При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:ryx1∙x2=ryx1-ryx2∙rx1x21-ryx22∙1-rx1x22, ryx1∙x2=0,970-0,941∙0,9431-0,9412∙1-0,9432=0,734;ryx2∙x1=ryx2-ryx1∙rx1x21-ryx12∙1-rx1x22, ryx2∙x1=0,941-0,970∙0,9431-0,9702∙1-0,9432=0,325.Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.Коэффициент множественной корреляции определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:Ryx1x2=1-∆r∆r1,Где∆r=1ryx1ryx2ryx11rx1x2ryx2rx2x11– определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;∆r1=1rx1x2rx2x11– определитель матрицы межфакторной корреляции.∆r=10,9700,9410,97010,9430,9410,9431 =0,0058;∆r1=10,9430,9431=0,1108.Коэффициент множественной корреляцииRyx1x2=1-0,00580,1108=0,973.Аналогичный результат получим при использовании других формул:Ryx1x2=1-σ2σy2, Ryx1x2=1-0.3055,74=0,973;Ryx1x2=β1∙ryx1, Ryx1x2=0,746∙0,970+0,237∙0,941=0,973;Ryx1x2=1-1-ryx12∙1-ryx2x12, Ryx1x2=1-1-0,9702∙1-0,3252=0,937.Коэффициент множественной корреляции показывает на весьма сильную связь всего набора факторов с результатом.3.                Нескорректированный коэффициент множественной детерминации Ryx1x22=0,947 оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет 94,7%  и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами – на весьма тесную связь факторов с результатом.Скорректированный коэффициент множественной детерминацииR2=1-1-R2n-1n-m-1, R2=1-1-0,94720-120-2-1=0,941.определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую детерминированность результата y в модели факторами x1и x2.4.                Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи Ryx1x2 дает F-критерий Фишера:F=R21-R2∙n-m-1m В нашем случае фактическое значение F-критерия Фишера:Fфакт=0,97321-0,9732∙20-2-12=151,88.Получили, что Fфакт>Fтабл=3,49 т.е. вероятность случайно получить такое значение  F-критерия не превышает допустимый уровень значимости 5%. Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи Ryx1x22.5.                С помощью частных F-критериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора x1 после x2 и фактора x2 после x1  при помощи формул:Fчаст,x1=Ryx1x22-Ryx221-Ryx12∙n-m-1m;Fчаст,x2=Ryx1x22-Ryx121-Ryx22∙n-m-1m.Найдем Ryx12 и Ryx22.Ryx12=ryx12=0,9702=0,941;Ryx22=ryx22=0,9412=0,885.ИмеемFчаст,x1=0,947-0,8851-0,941∙20-2-12=8,9322;Fчаст,x2=0,947-0,9411-0,885∙20-2-12=0,4435.Получили, что Fчаст,x2<Fтабл=3,49.