3 задания по статистике

отсутствует ...

Задача 1
Условия для задач 1.1-1.10 даны в таблице № 1. Дана выборка объемом n. Необходимо:
1)Записать выборку в виде вариационного, статистического ряда.
2)Построить полигон частот.
3)Найти эмпирическую функцию распределения.
4)Найти выборочную среднюю, медиану, моду, дисперсию и среднее квадратическое отклонение по выборке.
5)Представить выборку в виде группированного статистического (интервального) ряда, используя l равных интервалов группировки.
6)Построить гистограмму относительных частот.
7)Найти эмпирическую функцию распределения, выборочную среднюю и дисперсию по группированной выборке.
Замечание: использовать упрощенную методику, перейти к условным вариантам.
8) В одной системе координат построить графики эмпирических функций распределения по исходной и по группированной выборкам.
Таблица 1 – Исходные данные
n l Выборка
25 6 122, 117, 122, 138, 148, 128, 107, 143, 122, 112, 154, 133, 117, 128, 143, 100, 138, 128, 107, 148, 133, 128, 122, 112, 138
Задача 2
Построение теоретического распределения по выборке. Проверки гипотезы. Доверительный интервал.
Условия для задач 2.1 -2.10 даны в таблице № 2. Запись результатов выборочного наблюдения определяет в неявной форме интервальный ряд с равными интервалами. Указаны количество интервалов ряда m, нижняя граница первого интервала xmin и верхняя граница последнего интервала xmax, объем выборки n и частоты каждого из m интервалов nj. Требуется:
1)Записать интервальный статистический ряд.
2)Построить гистограмму частот.
3)Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии. Найти моду и медиану.
4)Используя результаты, полученные в п.2 и п.3, обосновать гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Записать выражение плотности соответствующего теоретического распределения.
5)Вычислить для всех имеющихся в заданном ряду интервалов соответствующие вероятности и теоретические частоты. Используя критерий согласия Пирсона с уровнем значимости а, проверить выдвинутую гипотезу.
6)В предположении, что выборка извлечена из нормально распределенной совокупности, найти доверительный интервал, заключающий генеральную среднюю с надежностью у.
Таблица 2 – Исходные данные
Объем выборки Кол-во интервалов xmin xmax n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10 a y
200 10 0 2 3 8 19 23 48 36 31 15 11 6 0,05 0,985
Задача 3
Элементы теории корреляции. Условия для задач 3.1-3.10 даны в таблицах № 3.1- 3.10. Необходимо:
1)Изобразить корреляционное поле, с этой целью нанести точки (хi, уi).
2)Составить корреляционную таблицу. С этой целью весь промежуток, в котором заключены наблюдавшиеся значения признака X, разбить на m равных интервалов, соответственно промежуток значений признака Y разбить на l интервалов. Значения m, l, а также объем выборки n указаны в таблице 3.
3)Вычислить условные средние ух. Начертить эмпирическую ломаную линию регрессии Y на X в одной системе координат с корреляционным полем.
4)Составить уравнение прямой линии регрессии Y на Х, построить эту прямую на одном графике с ломаной.
5)Оценить тесноту и направление связи между признаками X и Y с помощью выборочного коэффициента корреляции rn.
6)С вероятностью 0,9973 вычислить гарантийные границы для rn.
n m l
50 7 5

X 24 35 52 54 5 15 49 67 39 31
Y 141 138 118 108 161 167 132 114 130 149
X 20 8 25 31 48 61 10 23 55 59
Y 147 168 137 145 137 126 162 169 121 99
X 41 28 29 14 23 2 57 47 22 35
Y 148 152 131 182 138 175 110 141 148 135
X 51 53 33 17 36 64 31 1 26 55
Y 129 107 144 158 136 100 142 151 133 113
X 19 38 23 37 6 27 58 43 32 53
Y 152 172 145 132 188 163 95 146 140 102

отсутствует

1.3)Найдем несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии. Найдем моду и медиану.Составим таблицу для расчета показателей:ГруппыСередина интервала, xiКол-во, fixi * fiНакопленная частота, S|x - xср|*f(x - xср)2*fЧастота, fi/n0 - 0.20.130.332.762.540.0150.2 - 0.40.382.4115.764.150.040.4 - 0.60.5199.5309.885.140.0950.6 - 0.80.72316.1537.362.360.120.8 - 1.00.94843.21015.760.690.241.0 - 1.21.13639.61372.880.230.181.2 - 1.41.33140.31688.682.430.161.4 - 1.61.51522.51837.23.460.0751.6 - 1.81.71118.71947.485.090.0551.8 - 2.01.9611.42005.284.650.03Итого 200204 63.0430.721Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели: 1) Показатели центра распределения. Средняя взвешенная:EQ \x\to(x) = \f( ∑x • f;∑f)EQ \x\to(x) = \f(204;200) = 1.02Мода. Мода - наиболее часто встречающеесязначение признака у единиц данной совокупности. EQ Mo = x0 + h \f(f2 - f1; (f2 - f1) + (f2 - f3))где x0 – начало модального интервала; h – величина интервала; f2 –частота, соответствующая модальному интервалу; f1 – предмодальная частота; f3 – послемодальная частота. Выбираем в качестве начала интервала 0.8, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество. EQ Mo = 0.8 + 0.2 \f( 48 - 23; (48 - 23) + (48 - 36)) = 0.94Наиболее часто встречающееся значение ряда – 0.94 Медиана. Медиана делит выборку на две части: половина вариант меньше медианы, половина – больше. В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будут находиться мода или медиана. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Медианным является интервал 0.8 - 1.0, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота S которого превышает половину общей суммы частот). EQ Me = x0 + \f(h;fme) \b( \f( ∑f;2) - Sme-1 )EQ Me = 0.8 + \f(0.2;48) \b( \f( 200;2) - 53 ) = 1Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 1.2) Показатели вариации. Абсолютные показатели вариации. Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда. R=xmax-xmin=2-0=2Среднее линейное отклонение - вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности. EQ d = \f(∑|xi - \x\to(x)| • f;∑f)EQ d = \f(63.04;200) = 0.32Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 0.32 Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего). EQ D = \f(∑(xi - \x\to(x))2 f;∑f)EQ D = \f(30.72;200) = 0.15Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки). EQ σ = \r(D) = \r(0.154) = 0.39Каждое значение ряда отличается от среднего значения 1.02 в среднем на 0.39.4)Используя результаты, полученные в п.2 и п.3, обосновать гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Записать выражение плотности соответствующего теоретического распределения. Обоснование гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности выполняется с помощью Критерия согласия Пирсона в п.5.5)Вычислить для всех имеющихся в заданном ряду интервалов соответствующие вероятности и теоретические частоты. Используя критерий согласия Пирсона с уровнем значимости а, проверить выдвинутую гипотезу.Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона. EQ K = ∑\f((ni - n pi)2;n pi)где pi – вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону Для вычисления вероятностей pi применим формулу и таблицу функции Лапласа EQ Ф\b(\f(xi+1-\x\to(x);s)) - Ф\b(\f(xi - \x\to(x);s))где s = 0.39, xср = 1.02 Теоретическая (ожидаемая) частота равна ni = npi, где n = 200 Интервалы группировкиНаблюдаемая частота nix1 = (xi - xср)/sx2 = (xi+1 - xср)/sФ(x1)Ф(x2)Вероятность попадания в i-й интервал, pi = Ф(x2) - Ф(x1)Ожидаемая частота, 200piСлагаемые статистики Пирсона, Ki0 - 0.23-2.6-2.09-0.5-0.480.01322.640.0490.2 - 0.48-2.09-1.58-0.48-0.440.03927.840.00320.4 - 0.619-1.58-1.07-0.44-0.360.085217.040.230.6 - 0.823-1.07-0.56-0.36-0.210.1529.081.270.8 - 1.048-0.56-0.0509-0.21-0.02390.1937.682.831.0 - 1.236-0.05090.46-0.02390.180.240.220.441.2 - 1.4310.460.970.180.330.1631.360.00411.4 - 1.6150.971.480.330.430.096619.320.971.6 - 1.8111.481.990.430.480.04619.220.341.8 - 2.061.992.490.480.490.01713.421.95 200 8.08Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение Kнабл, тем сильнее довод против основной гипотезы. Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [Kkp;+∞). Её границу Kkp = χ2(k-r-1;α) находим по таблицам распределения χ2 и заданным значениям s, k (число интервалов), r=2 (параметры xcp и s оценены по выборке). Kkp = 14.06714; Kнабл = 8.08 Наблюдаемое значение статистики Пирсона не попадает в критическую область: Кнабл < Kkp, поэтому нет оснований отвергать основную гипотезу. Справедливо предположение о том, что данные выборки имеют нормальное распределение. Дополнительно построим полигон эмпирических частот и вероятность для нормального распределения:6)В предположении, что выборка извлечена из нормально распределенной совокупности, найти доверительный интервал, заключающий генеральную среднюю с надежностью у.Интервальное оценивание центра генеральной совокупности. А) Доверительный интервал для генерального среднего. EQ (\x\to(x) - tkp \f(s;\r(n)) ; \x\to(x) + tkp \f(s;\r(n)))В этом случае 2Ф(tkp) = γ Ф(tkp) = γ/2 = 0.985/2 = 0.4925 По таблице функции Лапласа найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) = 0.4925 tkp(γ) = (0.4925) = 2.44 EQ ε = tkp \f(s;\r(n)) = 2.44 \f(0.39;\r(200)) = 0.0678(1.02 - 0.0678;1.02 + 0.0678) = (0.95;1.09) С вероятностью 0.985 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала. Б) Доверительный интервал для дисперсии. Вероятность выхода за нижнюю границу равнаP(χ2n-1 < hH) = (1-γ)/2 = (1-0.985)/2 = 0.0075. Для количества степеней свободы k = 199 по таблице распределения χ2 находим: χ2(199;0.0075) = 241.0579. Случайная ошибка дисперсии: EQ tH = \f((n-1)S2;hH)EQ tH = \f(199 • 0.392;241.0579) = 0.13Вероятность выхода за верхнюю границу равна P(χ2n-1 ≥ hB) = 1 - P(χ2n-1 < hH) = 1 - 0.0075 = 0.9925. Для количества степеней свободы k = 199, по таблице распределения χ2 находим: χ2(199;0.9925) = 241.0579. Случайная ошибка дисперсии: EQ tB = \f((n-1)S2;hH)EQ tB = \f(199 • 0.392;241.0579) = 0.13(0.15 - 0.13; 0.15 + 0.13) (0.02; 0.28) Найдем верхнюю границу доверительного интервала для дисперсии с надежностью γ = 0.985. EQ 0 ≤ σ2 ≤ \f((n-1)S2;hγ)P(χ2n-1 > hγ) = 0.985. Для количества степеней свободы k = 199, по таблице распределения χ2 находим: χ2(199;0.985) = 241.0579. Случайная ошибка дисперсии: EQ tγ = \f((n-1)S2;hγ)EQ tγ = \f(199 • 0.392;241.0579) = 0.130 ≤ σ2 ≤ 0.13 В) Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения. Найдем доверительный интервал для среднеквадратического отклонения с надежностью γ = 0.985. Нижняя ошибка среднеквадратического отклонения: EQ tH = S • \r(\f(n-1;hH)) = \r(0.13) = 0.36Верхняя ошибка среднеквадратического отклонения: EQ tB = S • \r(\f(n-1;hB)) = \r(0.13) = 0.36(0.39 - 0.36; 0.39 + 0.36) (0.03; 0.75) Найдем верхнюю границу доверительного интервала для среднеквадратического отклонения: EQ S • \r(\f(n-1;hγ)) = \r(0.13) = 0.360 ≤ σ ≤ 0.36 Задача 3Элементы теории корреляции. Условия для задач 3.1-3.10 даны в таблицах № 3.1- 3.10. Необходимо:1)Изобразить корреляционное поле, с этой целью нанести точки (хi, уi).2)Составить корреляционную таблицу. С этой целью весь промежуток, в котором заключены наблюдавшиеся значения признака X, разбить на m равных интервалов, соответственно промежуток значений признака Y разбить на l интервалов. Значения m, l, а также объем выборки n указаны в таблице 3.3)Вычислить условные средние ух. Начертить эмпирическую ломаную линию регрессии Y на X в одной системе координат с корреляционным полем.4)Составить уравнение прямой линии регрессии Y на Х, построить эту прямую на одном графике с ломаной.5)Оценить тесноту и направление связи между признаками X и Y с помощью выборочного коэффициента корреляции rn.6)С вероятностью 0,9973 вычислить гарантийные границы для rn.