«Корреляционно-регрессионный анализ» .

Имеем данные о размере индексе ММВБ и курсе доллара.
Задание: среди данных, представленных в таблице 1.1 , определим вид зависимости (если она существует). Для её описания подберём наиболее адекватную модель.
...

Расчёт параметров
Дисперсия
Ковариация
Эластичность
Бэта-коэффициент
Ошибка аппроксимации
Импирическое корреляционное отношение
Индекс корреляции
Коэффициент детерминации
Доверительные интервалы
Проверки наличия гетероскедастичности
Выводы

Считаем курс доллара как фактор, а индекс ММВБ как результат , построим поле корреляции для визуального объёма выбора модели. На основании поля корреляции предположим, что связь между х и у линейная.

356;23) 100% = 1.55%Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии. Эмпирическое корреляционное отношение. Эмпирическое корреляционное отношение вычисляется для всех форм связи и служит для измерение тесноты зависимости. Изменяется в пределах [0;1]. EQ η = \r(\f(∑(\x\to(y) - yx)2; ∑(yi - \x\to(y))2) )EQ η = \r(\f(50858.882;68526.14)) = 0.861где EQ (\x\to(y) - yx)2 = 68526.14 - 17667.26 = 50858.882Индекс корреляции. Для линейной регрессии индекс корреляции равен коэффициенту корреляции rxy = -0.861. Полученная величина свидетельствует о том, что фактор курс доллара существенно влияет на индекс ММВБ. Для любой формы зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции: EQ R = \r(1 - \f(∑(yi - yx)2; ∑(yi - \x\to(y))2))Данный коэффициент является универсальным, так как отражает тесноту связи и точность модели, а также может использоваться при любой форме связи переменных. При построении однофакторной корреляционной модели коэффициент множественной корреляции равен коэффициенту парной корреляции rxy. В отличие от линейного коэффициента корреляции он характеризует тесноту нелинейной связи и не характеризует ее направление. Изменяется в пределах [0;1]. Коэффициент детерминации. Квадрат (множественного) коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака. R2= -0.8612 = 0.7422 т.е. в 74.22 % случаев изменения курса доллара приводят к изменению индекса ММВБ. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая. Остальные 25.78 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели (а также ошибками спецификации). Значимость коэффициента корреляции. Выдвигаем гипотезы: H0: rxy = 0, нет линейной взаимосвязи между переменными; H1: rxy ≠ 0, есть линейная взаимосвязь между переменными; Для того чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе H1 ≠ 0, надо вычислить наблюдаемое значение критерия (величина случайной ошибки) EQ tнабл = rxy \f(\r(n-2);\r(1 - r2xy))и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k = n - 2 найти критическую точку tкрит двусторонней критической области. Если tнабл < tкрит оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если |tнабл| > tкрит — нулевую гипотезу отвергают. EQ tнабл = 0.861 \f(\r(21);\r(1 - 0.8612)) = 7.78По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=21 находим tкрит: tкрит (n-m-1;α/2) = (21;0.025) = 2.08 где m = 1 - количество объясняющих переменных. Если |tнабл| > tкритич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается). Поскольку |tнабл| > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим В парной линейной регрессии t2r = t2b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии. Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал). EQ (r - tкрит \r(\f(1-r2;n-2)); r + tкрит \r(\f(1-r2;n-2)))Доверительный интервал для коэффициента корреляции. EQ (-0.861 - 2.08\r(\f(1-0.8612;23-2)); -0.861 + 2.08\r(\f(1-0.8612;23-2)))r(-1;-0.631) Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии. Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина: EQ S2 = \f(∑(yi - yx)2;n - m - 1)EQ S2 = \f(17667.26;21) = 841.298S2 = 841.298 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии). EQ S = \r(S2) = \r(841.298) = 29.01S = 29.01 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии). Sa - стандартное отклонение случайной величины a. EQ Sa = S \f(\r( ∑x2);n S(x))EQ Sa = 29.01 \f( \r(27598.02);23 • 0.534) = 392Sb - стандартное отклонение случайной величины b. EQ Sb = \f(S;\r(n) S(x))EQ Sb = \f( 29.01; \r(23) • 0.534) = 11.32 Доверительные интервалы для зависимой переменной. Экономическое прогнозирование на основе построенной модели предполагает, что сохраняются ранее существовавшие взаимосвязи переменных и на период упреждения. Для прогнозирования зависимой переменной результативного признака необходимо знать прогнозные значения всех входящих в модель факторов. Прогнозные значения факторов подставляют в модель и получают точечные прогнозные оценки изучаемого показателя. (a + bxp ± ε) где EQ ε = tкрит S \r(\f(1;n) + \f((\x\to(x)-xp)2;∑(xi - \x\to(x))2))tкрит (n-m-1;α/2) = (21;0.025) = 2.08 Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и Xp = 38 Вычислим ошибку прогноза для уравнения y = bx + a EQ ε = 2.08 • 29.005 \r(\f(1;23) + \f((34.64 - 38)2;6.57)) = 80.184y(38) = -87.988*38 + 4496.408 = 1152.878 1152.878 ± 80.184 (1072.69;1233.06) С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения индекса ММВБ при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов. Вычислим ошибку прогноза для уравнения y = bx + a + ε EQ ε = tкрит S \r(1 + \f(1;n) + \f((\x\to(x)-xp)2;∑(xi - \x\to(x))2))EQ ε = 2.08 • 29.005 \r(1 + \f(1;23) + \f((34.64 - 38)2;6.57)) = 100.35(1052.53;1253.22) Индивидуальные доверительные интервалы для Y при данном значении X. (a + bxi ± ε) где EQ ε = tкрит S \r(1 + \f(1;n) + \f((\x\to(x)-xi)2;∑(xi - \x\to(x))2 ))EQ ε = 2.08 • 29.01 \r(1 + \f(1;23) + \f((34.64 - xi)2;6.57)) tкрит (n-m-1;α/2) = (21;0.025) = 2.08 С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения индекса ММВБ при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии. . Чтобы проверить, значимы ли параметры, т.е. значимо ли они отличаются от нуля для генеральной совокупности используют статистические методы проверки гипотез. В качестве основной (нулевой) гипотезы выдвигают гипотезу о незначимом отличии от нуля параметра или статистической характеристики в генеральной совокупности. Наряду с основной (проверяемой) гипотезой выдвигают альтернативную (конкурирующую) гипотезу о неравенстве нулю параметра или статистической характеристики в генеральной совокупности. Проверим гипотезу H0 о равенстве отдельных коэффициентов регрессии нулю (при альтернативе H1 не равно) на уровне значимости α=0.05. H0: b = 0, то есть между переменными x и y отсутствует линейная взаимосвязь в генеральной совокупности; H1: b ≠ 0, то есть между переменными x и y есть линейная взаимосвязь в генеральной совокупности. В случае если основная гипотеза окажется неверной, мы принимаем альтернативную. Для проверки этой гипотезы используется t-критерий Стьюдента. Найденное по данным наблюдений значение t-критерия (его еще называют наблюдаемым или фактическим) сравнивается с табличным (критическим) значением, определяемым по таблицам распределения Стьюдента (которые обычно приводятся в конце учебников и практикумов по статистике или эконометрике). Табличное значение определяется в зависимости от уровня значимости (α) и числа степеней свободы, которое в случае линейной парной регрессии равно (n-2), n-число наблюдений. (2,08) tкрит (n-m-1;α/2) = (21;0.025) = 2.08 EQ tb = \f(b;Sb)EQ tb = \f(-87.99;11.32) = 7.78Поскольку 7.78 > 2.08, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента). EQ ta = \f(a;Sa)EQ ta = \f(4496.41;392) = 11.47Поскольку 11.47 > 2.08, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента). Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.