Контрольная по дисциплине Теория вероятности и математическая статистика Вариант 10

Методичка: Теория вероятностей и математическая статистика: сборник заданий для самостоятельной работы студентов [Текст] / сост. О.В. Кравцова, В.В. Попова, А.П. Коваленко. – Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 2012. – 24 с.

Решение 15 задач ...

Задача 1.10
В коробке 30 конфет из них 10 с кофейной начинкой. Наугад берут 3 конфеты. Найти вероятность того, что среди них две конфеты с кофейной начинкой.
Задача 2.10
Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.
Задача 3.10
Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого цеха и 30% из второго. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, а второго – 20%. Найдите вероятность того, что одна наугад взятая болванка не имеет дефектов.
Задача 4.10
Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 – с вероятностью 0,7, 4 – с вероятностью 0,6 и 2 – с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?
Задача 5.10
Всхожесть семян данного сорта растений равна 80%. Найти вероятность того, что из 5 посеянных семян: а) взойдет не менее 4; б) точно 3.
Задача 6.10
Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Вычислить неизвестную вероятность , математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Найти функцию распределения и построить ее график.

-2 0 5 10

0,15
0,2 0,3
Задача 7.10
Случайная величина задана функцией распределения . Найти: а) плотность распределения , б) математическое ожидание , в) дисперсию , г) вероятность . Построить графики и .
, , .
Задача 8.10
Диаметр деталей, изготовленных цехом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Математическое ожидание равно 2,5, а дисперсия – 0,0001. В каких границах можно практически гарантировать диаметр детали (за достоверное принимается событие, вероятность которого равна 0,9973)?
Задача 9.10
Дан совместный закон распределения двумерной случайной величины . Найти закон распределения случайной величины , математическое ожидание и условное математическое ожидание при .

-1 2 3
-2 0,1 0,2 0

0 0,05 0,4 0,25
Задача 10.10
Постройте вариационный ряд, гистограмму, полигон, кумулятивную кривую. Вычислите выборочную среднюю, моду, медиану, выборочную дисперсию, среднеквадратичное отклонение, асимметрию и эксцесс.
Результаты исследования объема работ текущего ремонта (%):
70; 20; 125; 30; 35; 40; 115; 115; 95; 100; 30; 70; 10; 15; 120; 140; 115; 135;
38; 42; 95; 10; 10; 15; 30; 135; 140; 115; 110; 120; 110; 115; 95; 40; 35; 48;
45; 40; 10; 20; 45; 25; 110; 125; 120; 135; 60; 70; 40; 50; 45; 40; 55; 40; 10;
25; 100; 140; 125; 125; 115; 100; 118; 112; 110; 38; 25; 18; 15; 30; 35; 95;
85; 70; 65; 30; 15; 35; 120; 125; 100; 35; 40; 140; 100; 30; 45; 56; 68; 72; 65;
40; 35; 80; 40; 100; 110; 112
Задача 11.10
Дано статистическое распределение выборки (в первой строке указаны выборочные варианты , а во второй строке – соответственные частоты количественного признака ). Найти:
1) выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратичное отклонение;
2) доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания с заданной надежностью , считая дисперсию известной и равной .
Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости 0,05 установить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки.

105 110 115 120 125 130 135

4 6 10 30 30 15 5
Задача 12.10
Даны результаты 10 наблюдений величин Х и У. Найти выборочные уравнения прямых линий регрессии У на Х, Х на У, вычислить выборочный коэффициент корреляции . Сделать чертеж.
х -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
у -5,5 -4,7 -3,4 -2,9 -0,6 -0,4 1,6 2,3 3,1 4,8
Задача 13.10
Дана матрица вероятностей перехода цепи Маркова Р и распределение вероятностей по состояниям в момент времени . Найти:
1) распределение вероятностей по состояниям в моменты и ;
2) стационарное распределение вероятностей .
;
Задача 14.10
Задана матрица А интенсивностей переходов Марковского процесса с непрерывным временем. Составить размеченный граф состояний, соответствующий матрице А; составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний; найти предельное распределение вероятностей.

Задача 15.10
Вход на станцию метро оборудован системой из k турникетов. При выходе из строя одного из турникетов остальные продолжают нормально функционировать. Вход на станцию перекрывается, если выйдут из строя все турникеты. Поток отказов каждого турникета – простейший, среднее время безотказной работы одного турникета t часов. Время ремонта распределено по показательному закону и в среднем составляет s часов. В начальный момент все турникеты исправны. Используя формулы Эрланга, найти предельное распределение вероятностей состояния системы. Найти среднюю пропускную способность системы турникетов в процентах от номинальной, если с выходом из строя каждого турникета система теряет своей номинальной пропускной способности.
k = 4, t = 78, s =

Задача 1.10
В коробке 30 конфет из них 10 с кофейной начинкой. Наугад берут 3 конфеты. Найти вероятность того, что среди них две конфеты с кофейной начинкой.
Задача 2.10
Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.
Задача 3.10
Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого цеха и 30% из второго. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, а второго – 20%. Найдите вероятность того, что одна наугад взятая болванка не имеет дефектов.
Задача 4.10
Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 – с вероятностью 0,7, 4 – с вероятностью 0,6 и 2 – с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный ст релок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?
Задача 5.10
Всхожесть семян данного сорта растений равна 80%. Найти вероятность того, что из 5 посеянных семян: а) взойдет не менее 4; б) точно 3.
Задача 6.10
Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Вычислить неизвестную вероятность , математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Найти функцию распределения и построить ее график.

-2 0 5 10

0,15
0,2 0,3
Задача 7.10
Случайная величина задана функцией распределения . Найти: а) плотность распределения , б) математическое ожидание , в) дисперсию , г) вероятность . Построить графики и .
, , .
Задача 8.10
Диаметр деталей, изготовленных цехом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Математическое ожидание равно 2,5, а дисперсия – 0,0001. В каких границах можно практически гарантировать диаметр детали (за достоверное принимается событие, вероятность которого равна 0,9973)?
Задача 9.10
Дан совместный закон распределения двумерной случайной величины . Найти закон распределения случайной величины , математическое ожидание и условное математическое ожидание при .

-1 2 3
-2 0,1 0,2 0

0 0,05 0,4 0,25
Задача 10.10
Постройте вариационный ряд, гистограмму, полигон, кумулятивную кривую. Вычислите выборочную среднюю, моду, медиану, выборочную дисперсию, среднеквадратичное отклонение, асимметрию и эксцесс.
Результаты исследования объема работ текущего ремонта (%):
70; 20; 125; 30; 35; 40; 115; 115; 95; 100; 30; 70; 10; 15; 120; 140; 115; 135;
38; 42; 95; 10; 10; 15; 30; 135; 140; 115; 110; 120; 110; 115; 95; 40; 35; 48;
45; 40; 10; 20; 45; 25; 110; 125; 120; 135; 60; 70; 40; 50; 45; 40; 55; 40; 10;
25; 100; 140; 125; 125; 115; 100; 118; 112; 110; 38; 25; 18; 15; 30; 35; 95;
85; 70; 65; 30; 15; 35; 120; 125; 100; 35; 40; 140; 100; 30; 45; 56; 68; 72; 65;
40; 35; 80; 40; 100; 110; 112
Задача 11.10
Дано статистическое распределение выборки (в первой строке указаны выборочные варианты , а во второй строке – соответственные частоты количественного признака ). Найти:
1) выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратичное отклонение;
2) доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания с заданной надежностью , считая дисперсию известной и равной .
Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости 0,05 установить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки.

105 110 115 120 125 130 135

4 6 10 30 30 15 5
Задача 12.10
Даны результаты 10 наблюдений величин Х и У. Найти выборочные уравнения прямых линий регрессии У на Х, Х на У, вычислить выборочный коэффициент корреляции . Сделать чертеж.
х -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
у -5,5 -4,7 -3,4 -2,9 -0,6 -0,4 1,6 2,3 3,1 4,8
Задача 13.10
Дана матрица вероятностей перехода цепи Маркова Р и распределение вероятностей по состояниям в момент времени . Найти:
1) распределение вероятностей по состояниям в моменты и ;
2) стационарное распределение вероятностей .
;
Задача 14.10
Задана матрица А интенсивностей переходов Марковского процесса с непрерывным временем. Составить размеченный граф состояний, соответствующий матрице А; составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний; найти предельное распределение вероятностей.

Задача 15.10
Вход на станцию метро оборудован системой из k турникетов. При выходе из строя одного из турникетов остальные продолжают нормально функционировать. Вход на станцию перекрывается, если выйдут из строя все турникеты. Поток отказов каждого турникета – простейший, среднее время безотказной работы одного турникета t часов. Время ремонта распределено по показательному закону и в среднем составляет s часов. В начальный момент все турникеты исправны. Используя формулы Эрланга, найти предельное распределение вероятностей состояния системы. Найти среднюю пропускную способность системы турникетов в процентах от номинальной, если с выходом из строя каждого турникета система теряет своей номинальной пропускной способности.
k = 4, t = 78, s =

Найдем искомый интервал с помощью формулы:Учитывая, что неравенство равносильно неравенству , получим .По условию эта вероятность равна 0,9973, следовательно:.По таблице значений функции Лапласа находим . Отсюда, . Таким образом, или . Искомый интервал - (2,47; 2,53).Ответ: практически гарантировать диаметр детали можно в интервале (2,47; 2,53).Задача 9.10Дан совместный закон распределения двумерной случайной величины . Найти закон распределения случайной величины , математическое ожидание и условное математическое ожидание при .-123-20,10,2000,050,40,25Решение:Определим закон распределения случайной величины -123-20,10,200,300,050,40,250,70,150,60,25Тогда:-123p0,150,60,25Математическое ожидание случайной величины находим по формуле .Условное математическое ожидание при :Тогда: Ответ: записали закон распределения случайной величины , математическое ожидание равно 1,8, условное математическое ожидание при Равно 1,07.Задача 10.10Постройте вариационный ряд, гистограмму, полигон, кумулятивную кривую. Вычислите выборочную среднюю, моду, медиану, выборочную дисперсию, среднеквадратичное отклонение, асимметрию и эксцесс.Результаты исследования объема работ текущего ремонта (%):70; 20; 125; 30; 35; 40; 115; 115; 95; 100; 30; 70; 10; 15; 120; 140; 115; 135; 38; 42; 95; 10; 10; 15; 30; 135; 140; 115; 110; 120; 110; 115; 95; 40; 35; 48; 45; 40; 10; 20; 45; 25; 110; 125; 120; 135; 60; 70; 40; 50; 45; 40; 55; 40; 10; 25; 100; 140; 125; 125; 115; 100; 118; 112; 110; 38; 25; 18; 15; 30; 35; 95; 85; 70; 65; 30; 15; 35; 120; 125; 100; 35; 40; 140; 100; 30; 45; 56; 68; 72; 65; 40; 35; 80; 40; 100; 110; 112Решение:Построим дискретный вариационный ряд. Для этого отсортируем ряд по возрастанию и подсчитаем количество повторения для каждого элемента ряда.10; 10; 10; 10; 10; 15; 15; 15; 15; 18; 20; 20; 25; 25; 25; 30; 30; 30; 30; 30; 30; 35; 35; 35; 35; 35; 35; 38; 38; 40; 40; 40; 40; 40; 40; 40; 40; 40; 42; 45; 45; 45; 45; 48; 50; 55; 56; 60; 65; 65; 68; 70; 70; 70; 70; 72; 80; 85; 95; 95; 95; 95; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 110; 110; 110; 110; 110; 112; 112; 115; 115; 115; 115; 115; 115; 118; 120; 120; 120; 120; 125; 125; 125; 125; 125; 135; 135; 135; 140; 140; 140; 140Построим гистограмму для вариационного ряда:ГистограммаПостроим полигон для вариационного ряда:ПолигонПостроим кумулятивную кривую для вариационного ряда:Кумулятивная криваяТаблица для расчета показателей:Кол-во, Накопительная частота, 105505302,418288,91154609221,9212311,94181181052,482754,112024012100,965096,382537515136,446205,1830618021242,889831,5835621027212,887552,81382762964,962109,8540936038274,328361,05421423928,48811,0945418043101,922596,84481484422,48505,33501504520,48419,41551554615,48239,62561564714,48209,66601604810,48109,826521305010,9660,0568168512,486,15704280551,920,9272172561,522,3180180579,5290,64851855814,52210,849543806298,082405100660068177,125228,73110555073197,67809,3111222247583,043447,89115669081267,1211892,411811188247,522258,19120448086198,089809,08125562591272,614862,37135340594193,5612488,65140456098278,0819332,359869073676,76167308,46Вычислим выборочную среднюю по формуле:Найдем моду - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.Максимальное значение повторений при x = 40 (f = 9). Следовательно, мода равна 40.Определим медиану - значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.Находим , при котором накопленная частота S будет больше . Это значение . Таким образом, медиана равна 65.Вычислим выборочную дисперсию по формуле:Вычислим среднеквадратичное отклонение:Вычислим асимметрию.Рассчитаем структурный коэффициент асимметрии Пирсона:Вычислим по формуле:,где - центральный момент 4-го порядка, - среднеквадратическое отклонение.Для распределений более островершинных (вытянутых), чем нормальное, показатель эксцесса положительный ( > 0), для более плосковершинных (сплюснутых) - отрицательный ( < 0), т.к. для нормального распределения .Число 3 вычитается из отношения потому, что для нормального закона распределения . Таким образом, для нормального распределения эксцесс равен нулю. Островершинные кривые обладают положительным эксцессом, кривые более плосковершинные - отрицательным эксцессом.Ответ: построили вариационный ряд, гистограмму, полигон и кумулятивную кривую. Выборочная средняя равна 70,48, мода равна 40, медиана равна 65, выборочная дисперсия равна 1707,23, среднеквадратичное отклонение равно 41,32, асимметрию равна и определен эксцесс.Задача 11.10Дано статистическое распределение выборки (в первой строке указаны выборочные варианты , а во второй строке – соответственные частоты количественного признака ). Найти:1) выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратичное отклонение;2) доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания с заданной надежностью , считая дисперсию известной и равной .Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости 0,05 установить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки.10511011512012513013546103030155Решение:Таблица для расчета показателей:Кол-во, Частота, Накопительная частота, S105442068,21162,810,044110666072,3871,220,061011510115070,5497,030,12012030360061,5126,080,35012530375088,5261,080,380130151950119,25948,040,1595135567564,75838,510,05100100122055454704,7511) Найдем выборочную среднюю по формуле:Вычислим дисперсию (характеризует меру разброса около ее среднего значения) по формуле:Вычислим среднеквадратичное отклонение:Следовательно, каждое значение ряда отличается от среднего значения 122,05 в среднем на 6,86.2) Вычислим несмещенную оценку дисперсии - состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия) по формуле:Оценка среднеквадратического отклонения по формуле:Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид:В этом случае По таблице функции Лапласа найдем, при каком значение :Получим:Тогда:С вероятностью 0,95 можно утверждать, что среднее значение при выборке большого объема не выйдет за пределы найденного интервала.Проверка гипотезы о нормальном распределении.Проверим гипотезу о том, что распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона.где - теоретические частоты: Вычислим теоретические частоты, учитывая что:, - ширина интервала, , Тогда: 1105-2,490,0181,312110-1,760,08486,183115-1,030,234717,114120-0,30,381427,851250,430,362126,461301,160,203614,8471351,890,06694,88Сравним эмпирические и теоретические частоты. Составим таблицу, из которой найдем наблюдаемое значение критерия:141,31-2,697,225,51266,180,180,0330,0053331017,117,1150,532,9543027,8-2,24,830,1753026,4-3,612,990,4961514,84-0,160,02510,00169754,88-0,120,01520,003121009,14Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение Kнабл, тем сильнее довод против основной гипотезы.Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [Kkp;+∞).