Вход

Контрольная по дисциплине Теория вероятности и математическая статистика Вариант 10

Рекомендуемая категория для самостоятельной подготовки:
Контрольная работа*
Код 246145
Дата создания 09 февраля 2016
Страниц 29
Мы сможем обработать ваш заказ (!) 23 декабря в 16:00 [мск]
Файлы будут доступны для скачивания только после обработки заказа.
1 330руб.
КУПИТЬ

Описание

Методичка: Теория вероятностей и математическая статистика: сборник заданий для самостоятельной работы студентов [Текст] / сост. О.В. Кравцова, В.В. Попова, А.П. Коваленко. – Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 2012. – 24 с.

Решение 15 задач ...

Содержание

Задача 1.10
В коробке 30 конфет из них 10 с кофейной начинкой. Наугад берут 3 конфеты. Найти вероятность того, что среди них две конфеты с кофейной начинкой.
Задача 2.10
Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.
Задача 3.10
Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого цеха и 30% из второго. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, а второго – 20%. Найдите вероятность того, что одна наугад взятая болванка не имеет дефектов.
Задача 4.10
Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 – с вероятностью 0,7, 4 – с вероятностью 0,6 и 2 – с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?
Задача 5.10
Всхожесть семян данного сорта растений равна 80%. Найти вероятность того, что из 5 посеянных семян: а) взойдет не менее 4; б) точно 3.
Задача 6.10
Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Вычислить неизвестную вероятность , математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Найти функцию распределения и построить ее график.

-2 0 5 10

0,15
0,2 0,3
Задача 7.10
Случайная величина задана функцией распределения . Найти: а) плотность распределения , б) математическое ожидание , в) дисперсию , г) вероятность . Построить графики и .
, , .
Задача 8.10
Диаметр деталей, изготовленных цехом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Математическое ожидание равно 2,5, а дисперсия – 0,0001. В каких границах можно практически гарантировать диаметр детали (за достоверное принимается событие, вероятность которого равна 0,9973)?
Задача 9.10
Дан совместный закон распределения двумерной случайной величины . Найти закон распределения случайной величины , математическое ожидание и условное математическое ожидание при .

-1 2 3
-2 0,1 0,2 0

0 0,05 0,4 0,25
Задача 10.10
Постройте вариационный ряд, гистограмму, полигон, кумулятивную кривую. Вычислите выборочную среднюю, моду, медиану, выборочную дисперсию, среднеквадратичное отклонение, асимметрию и эксцесс.
Результаты исследования объема работ текущего ремонта (%):
70; 20; 125; 30; 35; 40; 115; 115; 95; 100; 30; 70; 10; 15; 120; 140; 115; 135;
38; 42; 95; 10; 10; 15; 30; 135; 140; 115; 110; 120; 110; 115; 95; 40; 35; 48;
45; 40; 10; 20; 45; 25; 110; 125; 120; 135; 60; 70; 40; 50; 45; 40; 55; 40; 10;
25; 100; 140; 125; 125; 115; 100; 118; 112; 110; 38; 25; 18; 15; 30; 35; 95;
85; 70; 65; 30; 15; 35; 120; 125; 100; 35; 40; 140; 100; 30; 45; 56; 68; 72; 65;
40; 35; 80; 40; 100; 110; 112
Задача 11.10
Дано статистическое распределение выборки (в первой строке указаны выборочные варианты , а во второй строке – соответственные частоты количественного признака ). Найти:
1) выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратичное отклонение;
2) доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания с заданной надежностью , считая дисперсию известной и равной .
Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости 0,05 установить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки.

105 110 115 120 125 130 135

4 6 10 30 30 15 5
Задача 12.10
Даны результаты 10 наблюдений величин Х и У. Найти выборочные уравнения прямых линий регрессии У на Х, Х на У, вычислить выборочный коэффициент корреляции . Сделать чертеж.
х -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
у -5,5 -4,7 -3,4 -2,9 -0,6 -0,4 1,6 2,3 3,1 4,8
Задача 13.10
Дана матрица вероятностей перехода цепи Маркова Р и распределение вероятностей по состояниям в момент времени . Найти:
1) распределение вероятностей по состояниям в моменты и ;
2) стационарное распределение вероятностей .
;
Задача 14.10
Задана матрица А интенсивностей переходов Марковского процесса с непрерывным временем. Составить размеченный граф состояний, соответствующий матрице А; составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний; найти предельное распределение вероятностей.

Задача 15.10
Вход на станцию метро оборудован системой из k турникетов. При выходе из строя одного из турникетов остальные продолжают нормально функционировать. Вход на станцию перекрывается, если выйдут из строя все турникеты. Поток отказов каждого турникета – простейший, среднее время безотказной работы одного турникета t часов. Время ремонта распределено по показательному закону и в среднем составляет s часов. В начальный момент все турникеты исправны. Используя формулы Эрланга, найти предельное распределение вероятностей состояния системы. Найти среднюю пропускную способность системы турникетов в процентах от номинальной, если с выходом из строя каждого турникета система теряет своей номинальной пропускной способности.
k = 4, t = 78, s =

Введение

Задача 1.10
В коробке 30 конфет из них 10 с кофейной начинкой. Наугад берут 3 конфеты. Найти вероятность того, что среди них две конфеты с кофейной начинкой.
Задача 2.10
Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.
Задача 3.10
Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого цеха и 30% из второго. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, а второго – 20%. Найдите вероятность того, что одна наугад взятая болванка не имеет дефектов.
Задача 4.10
Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 – с вероятностью 0,7, 4 – с вероятностью 0,6 и 2 – с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный ст релок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?
Задача 5.10
Всхожесть семян данного сорта растений равна 80%. Найти вероятность того, что из 5 посеянных семян: а) взойдет не менее 4; б) точно 3.
Задача 6.10
Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Вычислить неизвестную вероятность , математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Найти функцию распределения и построить ее график.

-2 0 5 10

0,15
0,2 0,3
Задача 7.10
Случайная величина задана функцией распределения . Найти: а) плотность распределения , б) математическое ожидание , в) дисперсию , г) вероятность . Построить графики и .
, , .
Задача 8.10
Диаметр деталей, изготовленных цехом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Математическое ожидание равно 2,5, а дисперсия – 0,0001. В каких границах можно практически гарантировать диаметр детали (за достоверное принимается событие, вероятность которого равна 0,9973)?
Задача 9.10
Дан совместный закон распределения двумерной случайной величины . Найти закон распределения случайной величины , математическое ожидание и условное математическое ожидание при .

-1 2 3
-2 0,1 0,2 0

0 0,05 0,4 0,25
Задача 10.10
Постройте вариационный ряд, гистограмму, полигон, кумулятивную кривую. Вычислите выборочную среднюю, моду, медиану, выборочную дисперсию, среднеквадратичное отклонение, асимметрию и эксцесс.
Результаты исследования объема работ текущего ремонта (%):
70; 20; 125; 30; 35; 40; 115; 115; 95; 100; 30; 70; 10; 15; 120; 140; 115; 135;
38; 42; 95; 10; 10; 15; 30; 135; 140; 115; 110; 120; 110; 115; 95; 40; 35; 48;
45; 40; 10; 20; 45; 25; 110; 125; 120; 135; 60; 70; 40; 50; 45; 40; 55; 40; 10;
25; 100; 140; 125; 125; 115; 100; 118; 112; 110; 38; 25; 18; 15; 30; 35; 95;
85; 70; 65; 30; 15; 35; 120; 125; 100; 35; 40; 140; 100; 30; 45; 56; 68; 72; 65;
40; 35; 80; 40; 100; 110; 112
Задача 11.10
Дано статистическое распределение выборки (в первой строке указаны выборочные варианты , а во второй строке – соответственные частоты количественного признака ). Найти:
1) выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратичное отклонение;
2) доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания с заданной надежностью , считая дисперсию известной и равной .
Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости 0,05 установить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки.

105 110 115 120 125 130 135

4 6 10 30 30 15 5
Задача 12.10
Даны результаты 10 наблюдений величин Х и У. Найти выборочные уравнения прямых линий регрессии У на Х, Х на У, вычислить выборочный коэффициент корреляции . Сделать чертеж.
х -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
у -5,5 -4,7 -3,4 -2,9 -0,6 -0,4 1,6 2,3 3,1 4,8
Задача 13.10
Дана матрица вероятностей перехода цепи Маркова Р и распределение вероятностей по состояниям в момент времени . Найти:
1) распределение вероятностей по состояниям в моменты и ;
2) стационарное распределение вероятностей .
;
Задача 14.10
Задана матрица А интенсивностей переходов Марковского процесса с непрерывным временем. Составить размеченный граф состояний, соответствующий матрице А; составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний; найти предельное распределение вероятностей.

Задача 15.10
Вход на станцию метро оборудован системой из k турникетов. При выходе из строя одного из турникетов остальные продолжают нормально функционировать. Вход на станцию перекрывается, если выйдут из строя все турникеты. Поток отказов каждого турникета – простейший, среднее время безотказной работы одного турникета t часов. Время ремонта распределено по показательному закону и в среднем составляет s часов. В начальный момент все турникеты исправны. Используя формулы Эрланга, найти предельное распределение вероятностей состояния системы. Найти среднюю пропускную способность системы турникетов в процентах от номинальной, если с выходом из строя каждого турникета система теряет своей номинальной пропускной способности.
k = 4, t = 78, s =

Фрагмент работы для ознакомления

Найдем искомый интервал с помощью формулы:Учитывая, что неравенство равносильно неравенству , получим .По условию эта вероятность равна 0,9973, следовательно:.По таблице значений функции Лапласа находим . Отсюда, . Таким образом, или . Искомый интервал - (2,47; 2,53).Ответ: практически гарантировать диаметр детали можно в интервале (2,47; 2,53).Задача 9.10Дан совместный закон распределения двумерной случайной величины . Найти закон распределения случайной величины , математическое ожидание и условное математическое ожидание при .-123-20,10,2000,050,40,25Решение:Определим закон распределения случайной величины -123-20,10,200,300,050,40,250,70,150,60,25Тогда:-123p0,150,60,25Математическое ожидание случайной величины находим по формуле .Условное математическое ожидание при :Тогда: Ответ: записали закон распределения случайной величины , математическое ожидание равно 1,8, условное математическое ожидание при Равно 1,07.Задача 10.10Постройте вариационный ряд, гистограмму, полигон, кумулятивную кривую. Вычислите выборочную среднюю, моду, медиану, выборочную дисперсию, среднеквадратичное отклонение, асимметрию и эксцесс.Результаты исследования объема работ текущего ремонта (%):70; 20; 125; 30; 35; 40; 115; 115; 95; 100; 30; 70; 10; 15; 120; 140; 115; 135; 38; 42; 95; 10; 10; 15; 30; 135; 140; 115; 110; 120; 110; 115; 95; 40; 35; 48; 45; 40; 10; 20; 45; 25; 110; 125; 120; 135; 60; 70; 40; 50; 45; 40; 55; 40; 10; 25; 100; 140; 125; 125; 115; 100; 118; 112; 110; 38; 25; 18; 15; 30; 35; 95; 85; 70; 65; 30; 15; 35; 120; 125; 100; 35; 40; 140; 100; 30; 45; 56; 68; 72; 65; 40; 35; 80; 40; 100; 110; 112Решение:Построим дискретный вариационный ряд. Для этого отсортируем ряд по возрастанию и подсчитаем количество повторения для каждого элемента ряда.10; 10; 10; 10; 10; 15; 15; 15; 15; 18; 20; 20; 25; 25; 25; 30; 30; 30; 30; 30; 30; 35; 35; 35; 35; 35; 35; 38; 38; 40; 40; 40; 40; 40; 40; 40; 40; 40; 42; 45; 45; 45; 45; 48; 50; 55; 56; 60; 65; 65; 68; 70; 70; 70; 70; 72; 80; 85; 95; 95; 95; 95; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 110; 110; 110; 110; 110; 112; 112; 115; 115; 115; 115; 115; 115; 118; 120; 120; 120; 120; 125; 125; 125; 125; 125; 135; 135; 135; 140; 140; 140; 140Построим гистограмму для вариационного ряда:ГистограммаПостроим полигон для вариационного ряда:ПолигонПостроим кумулятивную кривую для вариационного ряда:Кумулятивная криваяТаблица для расчета показателей:Кол-во, Накопительная частота, 105505302,418288,91154609221,9212311,94181181052,482754,112024012100,965096,382537515136,446205,1830618021242,889831,5835621027212,887552,81382762964,962109,8540936038274,328361,05421423928,48811,0945418043101,922596,84481484422,48505,33501504520,48419,41551554615,48239,62561564714,48209,66601604810,48109,826521305010,9660,0568168512,486,15704280551,920,9272172561,522,3180180579,5290,64851855814,52210,849543806298,082405100660068177,125228,73110555073197,67809,3111222247583,043447,89115669081267,1211892,411811188247,522258,19120448086198,089809,08125562591272,614862,37135340594193,5612488,65140456098278,0819332,359869073676,76167308,46Вычислим выборочную среднюю по формуле:Найдем моду - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.Максимальное значение повторений при x = 40 (f = 9). Следовательно, мода равна 40.Определим медиану - значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.Находим , при котором накопленная частота S будет больше . Это значение . Таким образом, медиана равна 65.Вычислим выборочную дисперсию по формуле:Вычислим среднеквадратичное отклонение:Вычислим асимметрию.Рассчитаем структурный коэффициент асимметрии Пирсона:Вычислим по формуле:,где - центральный момент 4-го порядка, - среднеквадратическое отклонение.Для распределений более островершинных (вытянутых), чем нормальное, показатель эксцесса положительный ( > 0), для более плосковершинных (сплюснутых) - отрицательный ( < 0), т.к. для нормального распределения .Число 3 вычитается из отношения потому, что для нормального закона распределения . Таким образом, для нормального распределения эксцесс равен нулю. Островершинные кривые обладают положительным эксцессом, кривые более плосковершинные - отрицательным эксцессом.Ответ: построили вариационный ряд, гистограмму, полигон и кумулятивную кривую. Выборочная средняя равна 70,48, мода равна 40, медиана равна 65, выборочная дисперсия равна 1707,23, среднеквадратичное отклонение равно 41,32, асимметрию равна и определен эксцесс.Задача 11.10Дано статистическое распределение выборки (в первой строке указаны выборочные варианты , а во второй строке – соответственные частоты количественного признака ). Найти:1) выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратичное отклонение;2) доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания с заданной надежностью , считая дисперсию известной и равной .Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости 0,05 установить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки.10511011512012513013546103030155Решение:Таблица для расчета показателей:Кол-во, Частота, Накопительная частота, S105442068,21162,810,044110666072,3871,220,061011510115070,5497,030,12012030360061,5126,080,35012530375088,5261,080,380130151950119,25948,040,1595135567564,75838,510,05100100122055454704,7511) Найдем выборочную среднюю по формуле:Вычислим дисперсию (характеризует меру разброса около ее среднего значения) по формуле:Вычислим среднеквадратичное отклонение:Следовательно, каждое значение ряда отличается от среднего значения 122,05 в среднем на 6,86.2) Вычислим несмещенную оценку дисперсии - состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия) по формуле:Оценка среднеквадратического отклонения по формуле:Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид:В этом случае По таблице функции Лапласа найдем, при каком значение :Получим:Тогда:С вероятностью 0,95 можно утверждать, что среднее значение при выборке большого объема не выйдет за пределы найденного интервала.Проверка гипотезы о нормальном распределении.Проверим гипотезу о том, что распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона.где - теоретические частоты: Вычислим теоретические частоты, учитывая что:, - ширина интервала, , Тогда: 1105-2,490,0181,312110-1,760,08486,183115-1,030,234717,114120-0,30,381427,851250,430,362126,461301,160,203614,8471351,890,06694,88Сравним эмпирические и теоретические частоты. Составим таблицу, из которой найдем наблюдаемое значение критерия:141,31-2,697,225,51266,180,180,0330,0053331017,117,1150,532,9543027,8-2,24,830,1753026,4-3,612,990,4961514,84-0,160,02510,00169754,88-0,120,01520,003121009,14Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение Kнабл, тем сильнее довод против основной гипотезы.Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [Kkp;+∞).

Список литературы

Список использованных источников

1. Вентцель, Е. С. Задачи и упражнения по теории вероятностей: учеб. пособие для втузов / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. – 7-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2010. – 448 с.
2. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей: учебник для вузов / Е. С. Вентцель. – 12-е изд., стер. – М.: КноРус, 2010. – 575 с.
3. Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. –11-е изд., перераб. – М.: Высш. образование, 2006. – 404 с.
4. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – 12-е изд., перераб. – М.: Высш. образование, 2006. – 479 с.
5. Гнеденко, Б. В. Курс теории вероятностей: учебник / Б. В. Гнеденко. – 10-е изд., доп. – М.: Либроком, 2011. – 488 с.
Очень похожие работы
Найти ещё больше
Пожалуйста, внимательно изучайте содержание и фрагменты работы. Деньги за приобретённые готовые работы по причине несоответствия данной работы вашим требованиям или её уникальности не возвращаются.
* Категория работы носит оценочный характер в соответствии с качественными и количественными параметрами предоставляемого материала. Данный материал ни целиком, ни любая из его частей не является готовым научным трудом, выпускной квалификационной работой, научным докладом или иной работой, предусмотренной государственной системой научной аттестации или необходимой для прохождения промежуточной или итоговой аттестации. Данный материал представляет собой субъективный результат обработки, структурирования и форматирования собранной его автором информации и предназначен, прежде всего, для использования в качестве источника для самостоятельной подготовки работы указанной тематики.
bmt: 0.00813
© Рефератбанк, 2002 - 2024