Взаимосвязь логики и математики

Рассмотрена взаимосвязь логики и математики в двух вариантах. ...

Введение
1 Взаимодействие математики и логики
1.1 Роль логики в математике
1.2 Роль математики в логике
2 Логика и математика как два метода познания
Заключение
Список использованных источников

В истории известны попытки сведения математики к логике, стремление объединить эти две науки, растворить одну в другой. Однако в процессе этой деятельности было выяснено, что математика и логика не только схожи и могут стать частями друг друга, но и имеют достаточное количество противоречий и взаимоисключающих моментов.
Односторонний взгляд на взаимоотношения математики и логики может привести к полной формализации этих двух наук, их взаимоисключению и растворению друг в друге. Такой подход не допустим в силу принадлежности логики и математики к двум принципиально различным сферам науки. Поэтому рассмотрение двух взглядов на данную проблему подразумевает больше возможностей для правильного ее осознания.

В математике не возможно оформление определений на основе исторического, психологического или любого другого опыта, поэтому очевидно, что ни одно определение не может быть сформулировано без использования логики.Отношения логики с математикой сложнее, чем с любой другой наукой. Математика позволяет получить общие сведения об отношениях и операциях над количественным выражением проявления тех или иных признаков. Эти универсальные знания применяют в множестве других наук (физике, химии, биологии, экономике и других). На основе подобного принципа математические знания используют для обоснования законов и правил логики (теория вероятностей, комбинаторика теория множеств и так далее). Кроме того, логические законы и правила обработки знаний применяются в различных науках, в том числе в математике.Различные науки, для которых математика является языком и средством решения задач, испытывают потребность в разработке новых методов и теорий в различных областях. Все новые решения и теория в математике невозможны без логических обоснований и умозаключений.Многие научные проблемы не могут быть решены практическими или экспериментальными методами. В таких случаях на помощь и приходит логика. Однако и обобщение практических результатов и опытов ни что иное как логика.Математика предоставляет общие языковые средства другим наукам, выявляя этим их структурную взаимосвязь и способствуя нахождению самых общих законов природы. В этом так же прослеживается тесная взаимосвязь с логикой, выполняющей зачастую те же функции.Еще одна черта математики, в некотором роде роднящая ее с логикой – возможность оперировать объектами, не определяя их. Здесь применима следующая точка зрения: не важно, что именно представляют собой рассматриваемые объекты, если известно, какие утверждения о них допустимы.Наилучшим образом о значении логики для математики говорит наличие в математике отдельного раздела – математической логики.Математическая логика – раздел математики, изучающий доказательства и вопросы оснований математики. Математическая логика изучает логические связи и отношения, лежащие в основе логического вывода, с использованием языка математики.Существует несколько определений математической логики:- «математическая логика есть логика по предмету, математика по методу» (П.С.Порецкий);- «математическая логика – вторая, после традиционной логики, ступень в развитии формальной логики, применяющая математические методы и специальный аппарат символов и исследующая мышление с помощью исчислений (формализованных языков)» (Н.И.Кондаков);- «математическая логика – это логика, развиваемая с помощью математических методов» (С.К.Клини).Возникновение математической логики в 19 веке явилось значительным событием для математиков и логиков, нуждавшихся в универсальном символическом языке. Главной составной частью математического метода является доказательство – процесс, сильные и слабые стороны которого (среди прочего) критически изучает математическая логика. Объектом математической логики служит определенный ограниченный набор правил, которые настолько всеобъемлющи, что математика может «питать» сама себя с помощью логики. Так происходит из-за того, что объекты исследований берутся из внешнего мира, а новые структуры и обобщение не производится произвольно.1.2 Роль математики в логикеНеобходимо отметить, что математика в логике играет не менее важную роль, чем логика в математике. Однако применение в логике математических методов возможно только в том случае, когда суждения формулируются на некотором точном языке. С другой стороны изучение математики уже само по себе является развитием логики.Зависимость логики от математики рассматривает раздел логики, называемый символической логикой.Символическая логика — направление в математической логике, изучающее формальные системы: «логика, изучаемая посредством построения формализованных языков» (А. Чёрч). Термин «символическая логика» акцентирует внимание на том обстоятельстве, что основными элементами формализованных языков, служащих «математическим методом» изучения предмета логики, являются в данном случае не слова, а некоторые символы. Эти символы выбираются (или конструируются из выбранных ранее символов) и интерпретируются (истолковываются) определённым образом, специфическим именно для данной логической ситуации и, в общем, не связанным ни с каким «традиционным» употреблением, пониманием и функциями таких же символов в других контекстах.Это система применения принципов математики к логическим рассуждениям. Замысел символической логики заключается в том, чтобы упростить мышление за счёт использования математических символов и действий вместо словесных формулировок или аргументов, которые приняты в обычной логике и могут неточно выражать идею в силу самой природы языка.2 Логика и математика как два метода познанияКроме очевидной точки зрения, заключающейся в том, что математика и логика всегда сотрудничают друг с другом, существует и другой, философский, взгляд на взаимоотношения этих двух наук. Он заключается в рассмотрении математики и логики как двух различных методов познания.Математики получали все знания преимущественно через представления, логики – через понятия. Таким образом можно сказать, что математика представляет собой рационально-конструктивную ветвь, а логика - формально-феноменологическую познания.В некотором смысле логика и математика противостоят друг другу. Предметом логики является мышление субъекта, линейное и последовательное во времени.