Анализ временных рядов и прогнозирование

По данным любого статистического ежегодника органов госстатистики или по данным периодических изданий постройте интервальный, абсолютный, равноотстоящий ряд динамики (12-15 уровней). ...

Важнейшим статистическим показателем динамики является абсолютный прирост, который определяется в разностном сопоставлении двух уровней ряда динамики в единицах измерения исходной информации.
Абсолютный прирост
цепной прирост: ∆yц = yi - yi-1
базисный прирост: ∆yб = yi - y1
Темпы прироста характеризуют абсолютный прирост в относительных величинах. Исчисленный в процентах темп прироста показывает, на сколько процентов изменился сравниваемый уровень с уровнем, принятым за базу сравнения.

1. Рассчитайте аналитические показатели ряда динамики (цепные, базисные, средние): абсолютный прирост, темп роста, темп прироста. Сделайте выводы.
Для расчета показателей динамики на постоянной базе каждый уровень ряда сравнивается с одним и тем же базисным уровнем. Исчисляемые при этом показатели называются базисными.
Для расчета показателей динамики на переменной базе каждый последующий уровень ряда сравнивается с предыдущим. Вычисленные таким способом показатели динамики называются цепными.

Проведите аналитическое выравнивание по параболе методом реального и условного времени.Уравнение тренда имеет вид y = a2t^2 + a1t + a0Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.Система уравнений МНК:a0n + a1∑t + a2∑t^2 = ∑ya0∑t + a1∑t^2 + a2∑t^3 = ∑yta0∑t^2 + a1∑t^3 + a2∑t^4 = ∑yt^2a0Tyt2y2t yt3t4t2 yy(t)2000,07305,64000000,053371791,414611200,08000000000,016000000000000,029222400000,0784,62001,08943,64004001,079987981,017896143,68012006001,016032024008001,035810183343,65642,32002,010830,54008004,0117299730,321682661,08024024008,016064096064016,043408687322,010499,92003,013208,24012009,0174456547,226456024,68036054027,016096216216081,052991417273,815357,62004,017027,24016016,0289925539,834122508,88048096064,016128384512256,068381507635,220215,32005,021609,84020025,0466983456,043327649,08060150125,016160601000625,086871936245,025073,02006,026917,24024036,0724535655,853995903,28072216216,016192865729296,0108315781819,229930,72007,033247,54028049,01105396256,366727732,58084294343,016225178746401,0133922559127,534788,32008,041276,84032064,01703774218,282883814,48096384512,016257540100096,0166430699315,239646,02009,038807,24036081,01505998771,877963664,88108486729,016289949838561,0156629002583,244503,72010,046308,54040100,02144477172,393080085,08120601000,016322408010000,0187090970850,049361,42011,055967,24044121,03132327475,8112550039,28132727331,016354914662641,0226338128831,254219,02012,062218,44048144,03871129298,6125183420,88144865728,016387469844736,0251869042649,659076,72013,066755,34052169,04456270078,1134378418,98157016197,016420073604561,0270503757245,763934,42014,071406,44056196,05098873961,0143812489,68169178744,016452725990416,0289638354054,468792,130105,0521829,460421015,024924807933,61048671755,4121266101025,0243384448327690,02107424428295,6 Для наших данных система уравнений имеет вид15a0 + 30105a1 + 60421015a2 = 521829,430105a0 + 60421015a1 + 121266101025a2 = 1048671755,460421015a0 + 121266101025a1 + 2.4338444832769E+14a2 = 2107424428295,6Получаем a2 = 0, a1 = 4857.677, a0 = -9714569,41Уравнение тренда:y = 0t^2+4857,677t-9714569,41Эмпирические коэффициенты тренда a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.Система уравнений МНК:a0n + a1∑t + a2∑t^2 = ∑ya0∑t + a1∑t^2 + a2∑t^3 = ∑yta0∑t^2 + a1∑t^3 + a2∑t^4 = ∑yt^2Tyt2y2t yt^3t^4t^2 yy(t)-13,07305,6169,053371791,4-94972,8-2197,0285611234646,44826,557-11,08943,6121,079987981,0-98379,6-1331,0146411082175,68006,239-9,010830,581,0117299730,3-97474,5-729,06561877270,511550,99-7,013208,249,0174456547,2-92457,4-343,02401647201,815460,82-5,017027,225,0289925539,8-85136,0-125,062542568019735,72-3,021609,89,0466983456,0-64829,4-27,081194488,224375,69-1,026917,21,0724535655,8-26917,2-1,0126917,229380,730,033247,50,01105396256,30,00,00032020,151,041276,81,01703774218,241276,81,0141276,834750,843,038807,29,01505998771,8116421,627,081349264,840486,035,046308,525,02144477172,3231542,5125,06251157712,546586,297,055967,249,03132327475,8391770,4343,024012742392,853051,629,062218,481,03871129298,6559965,6729,065615039690,459882,0211,066755,3121,04456270078,1734308,31331,0146418077391,367077,4913,071406,4169,05098873961,0928283,22197,0285611206768274638,040,0521829,4910,024924807933,62443401,50,010574233963790521829,2Для наших данных система уравнений имеет вид15a0 + 0a1 + 910a2 = 521829,40a0 + 910a1 + 0a2 = 2443401,5910a0 +0a1 +105742a2 =33963789,9Получаем a2 = 45,634, a1 = 2685,057, a0 = 32020,152Уравнение тренда:y = 45,634t^2+2685,057t+32020,152Эмпирические коэффициенты тренда a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.Проверьте правильность выбранного уравнения тренда на основе: средней квадратической ошибки; дисперсионного метода анализа; критерия серий, основанного на медиане выборки, критерия «восходящих» и «нисходящих» серийСредняя квадратическая ошибкаTYy(t)|y-y(t)||y-y(t)|/y(y-y(t))^2-137305,64826,5572479,0430,339334626145654,196-118943,68006,239937,3610,10480802878645,6443-910830,511550,99720,490,06652417519105,8401-713208,215460,822252,620,170547085074296,864-517027,219735,722708,520,159070197336080,59-321609,824375,692765,890,127992397650147,492-126917,229380,732463,530,091522526068980,061033247,532020,151227,350,036915561506388,023141276,834750,846525,960,1581023742588153,92338807,240486,031678,830,043260792818470,169546308,546586,29277,790,0059986877167,2841755967,253051,622915,580,052094448500606,736962218,459882,022336,380,037551275458671,5041166755,367077,49322,190,00482643103806,39611371406,474638,043231,640,0452570110443497,090521829,4521829,232843,171,44380555105169671,8m=105169671,815=2647,89ε=144,3815=9,6%Точность высокая.Находим групповые средние:Nyy(t)17305,64826,5628943,68006,24310830,511550,99413208,215460,82517027,219735,72621609,824375,69726917,229380,73833247,532020,15941276,834750,841038807,240486,031146308,546586,291255967,253051,621362218,459882,021466755,367077,491571406,474638,04∑521829,4521829,2xср34788,6334788,62Обозначим р - количество уровней фактора (р=2). Число измерений на каждом уровне одинаково и равно q=15.В последней строке помещены групповые средние для каждого уровня фактора.Общая средняя вычисляется по формуле:Для расчета Sобщ по формуле составляем таблицу квадратов вариант:NY^2Y(t)^2153371791,3623295652,47279987980,9664099862,933117299730,31334253704174456547,2239036955,15289925539,8389498643,964669834565941742637724535655,8863227295,3811053962561025290006917037742181207620881101505998772163911862511214447717221702824161231323274762814474385133871129299358585631914445627007844993896651550988739615570837015∑2492480793424819627354Sобщ = 24924807933,56 + 24819627354,179 - 15 * 2 * 34788,622 = 13436991033,6Находим Sф по формуле:Sф = 15(34788,632 + 34788,622 – 2*34788,622) = 0,00102Получаем Sост: Sост = Sобщ - Sф = 13436991033,6 – 0,00102 = 13436991033,6Определяем факторную дисперсию:и остаточную дисперсию:Проверим нулевую гипотезу H0: равенство средних значений х.Находим fнабл.Для уровня значимости α=0,05, чисел степеней свободы 1 и 28 находим fкр из таблицы распределения Фишера-Снедекора.fкр(0,05; 1; 28) = 4,2В связи с тем, что fнабл < fкр, нулевую гипотезу о существенном влиянии фактора на результаты экспериментов отклоняем (нулевую гипотезу о равенстве групповых средних принимаем). Другими словами, групповые средние в целом различаются не значимо.Критерий серий, основанный на медиане выборки:Определяется медиана этого вариационного ряда Me.Находим середину ранжированного ряда: h = (n+1)/2 = (15+1)/2 = 8. Этому номеру соответствует значение ряда 34750,84. Следовательно, медиана Me = 34750,84В исходной выборке вместо каждого yi будем ставить "+", если yi > Me, "-", если yi < Me. Если yi = Me, то не ставится никакой знак. При этом под серией понимается последовательность подряд идущих "+" или "-". Серия может состоять только из одного "+" или "-". Длина серии – количество подряд идущих "+" или "-".Таблица для расчета показателей.ytСерии4826,56-8006,24-11550,99-15460,82-19735,72-24375,69-29380,73-32020,15-34750,84 40486,03+46586,29+53051,62+59882,02+67077,49+74638,04+Полученная последовательность "+" и "-" характеризуется количеством серий v(n) = 2 и длиной самой длинной серии t(n) = 8.Должны выполняться следующие неравенства:t(n) > 3.3(lg(n)+1)где ut - квантиль нормального распределения уровня (1-α)/2.Числа v(n) и t(n) необходимо округлить вниз до ближайшего целого.Если хотя бы одно из неравенств нарушается, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается.tkp = 3.3(lg(15)+1) = 7<8Оба неравенства выполняются.Таким образом, гипотеза об отсутствии тренда отвергается.Критерий “восходящих” и “нисходящих” серий:Таблица для расчета показателей.ytСерии4826,56+8006,24+11550,99+15460,82+19735,72+24375,69+29380,73+32020,15+34750,84+40486,03+46586,29+53051,62+59882,02+67077,49+74638,04+Полученная последовательность "+" и "-" характеризуется количеством серий v(n) = 1 и длиной самой длинной серии t(n) = 15.Проверка гипотезы основывается на том, что при условии случайности ряда (при отсутствии систематической составляющей) протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а общее число серий - слишком маленьким. Поэтому для того, чтобы не была отвергнута гипотеза о случайности исходного ряда (об отсутствии систематической составляющей) должны выполняться следующие неравенства:t(n) < tkptkp: 5, при n < 26 ; 6, при 26 ≤ n < 153; 7, при 153 ≤ n < 1170.ut - квантиль нормального распределения уровня (1-α)/2.Числа v(n) и t(n) необходимо округлить вниз до ближайшего целого.Если одновременно выполняются условия:v(n) > vkpt(n) < tkpто гипотеза Н0 о наличии тренда может быть принята с ошибкой первого рода. В противном случае элементы выборки нельзя считать стохастически независимыми.t(n) = 15>5Таким образом, гипотеза о наличии тренда принимается.Постройте прогноз методом экстраполяции тренда;Tyy(t)-13,07305,64826,557-11,08943,68006,239-9,010830,511550,99-7,013208,215460,82-5,017027,219735,72-3,021609,824375,69-1,026917,229380,730,033247,532020,151,041276,834750,843,038807,240486,035,046308,546586,297,055967,253051,629,062218,459882,0211,066755,367077,4913,071406,474638,04Уравнение тренда:y = 45,634t^2+2685,057t+32020,152Прогноз:Tyy(t)-137305,64826,557-118943,68006,239-910830,511550,99-713208,215460,82-517027,219735,72-321609,824375,69-126917,229380,73033247,532020,15141276,834750,84338807,240486,03546308,546586,29755967,253051,62962218,459882,021166755,367077,491371406,474638,0415 82563,6617 90854,3519 99510,11Постройте прогноз используя простейшие методы прогнозирования (на основе среднего абсолютного прироста и среднего темпа роста).Tпр=1,1768-1=0,1768dy=71406,4-7305,614=4578,63TYСредний абсолютный приростСредний темп прироста20007305,6  20018943,6  200210830,5  200313208,2  200417027,2  200521609,8  200626917,2  200733247,5  200841276,8  200938807,2  201046308,5  201155967,2  201262218,4  201366755,3  201471406,4  2015 75985,0384031,052016 80563,6698887,742017 85142,29116371,09Построить прогноз методом простого экспоненциального сглаживания по прямой;Важным методом стохастических прогнозов является метод экспоненциального сглаживания. Этот метод заключается в том, что ряд динамики сглаживается с помощью скользящей средней, в которой веса подчиняются экспоненциальному закону.Эту среднюю называют экспоненциальной средней и обозначают St.Она является характеристикой последних значений ряда динамики, которым присваивается наибольший вес.Экспоненциальная средняя вычисляется по рекуррентной формуле:St = α*Yt + (1- α)St-1где St - значение экспоненциальной средней в момент t;St-1 - значение экспоненциальной средней в момент (t = 1);Что касается начального параметра S0, то в задачах его берут или равным значению первого уровня ряда у1, или равным средней арифметической нескольких первых членов ряда.Yt - значение экспоненциального процесса в момент t;α - вес t-ого значения ряда динамики (или параметр сглаживания).Последовательное применение формулы дает возможность вычислить экспоненциальную среднюю через значения всех уровней данного ряда динамики.Наиболее важной характеристикой в этой модели является α, по величине которой практически и осуществляется прогноз. Чем значение этого параметра ближе к 1, тем больше при прогнозе учитывается влияние последних уровней ряда динамики.Если α близко к 0, то веса, по которым взвешиваются уровни ряда динамики убывают медленно, т.е. при прогнозе учитываются все прошлые уровни ряда.В специальной литературе отмечается, что обычно на практике значение α находится в пределах от 0,1 до 0,3. Значение 0,5 почти никогда не превышается.Экспоненциальное сглаживание применимо, прежде всего, при постоянном объеме потребления (α = 0,1 - 0,3). При более высоких значениях (0,3 - 0,5) метод подходит при изменении структуры потребления, например, с учетом сезонных колебаний.Найдем параметр α по следующей формуле:α = 2/(15+1) = 0,13В качестве S0 берем среднее арифметическое первых 3 значений ряда.S0 = (7305,6 + 8943,6 + 10830,5)/3 = 9026,57tYStФормулаy - St20007305,67529,33(1 - 0,13)*7305,6 + 0,13*9026,5750053,1720018943,68759,74(1 - 0,13)*8943,6 + 0,13*7529,3333802,9200210830,510561,3(1 - 0,13)*10830,5 + 0,13*8759,7472467,69200313208,212864,1(1 - 0,13)*13208,2 + 0,13*10561,3118402,6200417027,216486(1 - 0,13)*17027,2 + 0,13*12864,1292900,2200521609,820943,71(1 - 0,13)*21609,8 + 0,13*16486443681,7200626917,226140,65(1 - 0,13)*26917,2 + 0,13*20943,71603036,5200733247,532323,61(1 - 0,13)*33247,5 + 0,13*26140,65853574,7200841276,840112,89(1 - 0,13)*41276,8 + 0,13*32323,611354698200938807,238976,94(1 - 0,13)*38807,2 + 0,13*40112,8928811,35201046308,545355,4(1 - 0,13)*46308,5 + 0,13*38976,94908405,2201155967,254587,67(1 - 0,13)*55967,2 + 0,13*45355,41903115201262218,461226,4(1 - 0,13)*62218,4 + 0,13*54587,67984055201366755,366036,54(1 - 0,13)*66755,3 + 0,13*61226,4516610,8201471406,470708,32(1 - 0,13)*71406,4 + 0,13*66036,54487317,6    8650932Прогнозирование данных с использованием экспоненциального сглаживания.Методы прогнозирования под названием "сглаживание" учитывают эффекты выброса функции намного лучше, чем способы, использующие регрессивный анализ.Базовое уравнение имеет следующий вид:S(t+1) = S(t)(1 - α) + αY(t)S(t) – это прогноз, сделанный в момент времени t; S(t+1) отражает прогноз во временнойпериод, следующий непосредственно за моментом времени tS(15+1) = 70708,319(1 – 0,13) + 0,13 * 71406.,4 = 70799,069Стандартная ошибка (погрешность) рассчитывается по формуле:где i = (t - 2, t)Проверить временной ряд на наличие автокорреляции в уровнях, используя коэффициент автокорреляции и критерий Дарбина-Уотсена.Коэффициент автокорреляции.Если коэффициент автокорреляции rei < 0.5, то есть основания утверждать, что автокорреляция отсутствует.Для определения степени автокорреляции вычислим коэффициент автокорреляции и проверим его значимость при помощи критерия стандартной ошибки. Стандартная ошибка коэффициента корреляции рассчитывается по формуле:Коэффициенты автокорреляции случайных данных должны обладать выборочным распределением, приближающимся к нормальному с нулевым математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, равнымЕсли коэффициент автокорреляции первого порядка r1 находится в интервале:-2,16 *0,258 < r1 < 2,16 * 0,258то можно считать, что данные не показывают наличие автокорреляции первого порядка.Используя расчетную таблицу, получаем:Так как -0.558 < r1 = 0.469 < 0.558, то свойство независимости остатков выполняется. Автокорреляции отсутствует.Критерий Дарбина-Уотсона.Этот критерий является наиболее известным для обнаружения автокорреляции.При статистическом анализе уравнения регрессии на начальном этапе часто проверяют выполнимость одной предпосылки: условия статистической независимости отклонений между собой. При этом проверяется некоррелированность соседних величин ei.Yy(t)ei = y-y(t)E^2(ei - ei-1)^27305,6784,896520,7142519702,408943,65642,563301,0410896839,910366320,910830,510500,24330,26109071,048825516,8313208,215357,92-2149,724621287,896150286,6317027,220215,6-3188,410165864,21078850,2121609,825073,27-3463,4711995640,975667,4326917,229930,95-3013,759082686,19202250,6533247,534788,63-1541,132375071,42168618,0841276,839646,31630,52658517,8310059191,638807,244503,98-5696,7832453313,253688990,346308,549361,66-3053,169321774,356988741,8155967,254219,341747,863055031,2323049820,562218,459077,013141,399868316,171941905,9566755,363934,692820,617955843,46102897,9871406,468792,372614,036833170,2742674,12163912130124741733Для анализа коррелированности отклонений используют статистику Дарбина-Уотсона:Критические значения d1 и d2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости α, числа наблюдений n = 15 и количества объясняющих переменных m=1.Автокорреляция отсутствует, если выполняется следующее условие:d1 < DW и d2 < DW < 4 - d2.Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Поскольку 1.5 > 0.76 < 2.5, то автокорреляция остатков присутствует.Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.По таблице Дарбина-Уотсона для n=15 и k=1 (уровень значимости 5%) находим: d1 = 1,08; d2 = 1,36.Поскольку 1,08 > 0,76 и 1,36 > 0,76 < 4 – 1,36, то автокорреляция остатков присутствует.Коэффициент автокорреляции.Коэффициенты автокорреляции случайных данных должны обладать выборочным распределением, приближающимся к нормальному с нулевым математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, равнымЕсли коэффициент автокорреляции первого порядка r1 находится в интервале:-2,16 * 0,258 < r1 < 2,16 * 0,258то можно считать, что данные не показывают наличие автокорреляции первого порядка.Используя расчетную таблицу, получаем:Так как -0,558 < r1 = 0,467 < 0.558, то свойство независимости остатков выполняется.Автокорреляции отсутствует.Критерий Дарбина-Уотсона.yy(t)ei = y-y(t)e^2(ei - ei-1)^27305,6-117,117422,7155096609,608943,652533690,613620497,813928668,810830,510623,12207,3843007,5712132774,113208,215993,23-2785,037756394,968954536,6817027,221363,34-4336,1418802142,22405952,1221609,826733,46-5123,6626251859,9620177,0226917,232103,57-5186,3726898434,53932,9433247,534788,63-1541,132375071,413287799,541276,837473,683803,1214463696,928560937,638807,242843,8-4036,616294110,961461102,946308,548213,91-1905,413630585,874541957,2355967,253584,022383,185679533,4718391976,962218,458954,143264,2610655419,4776313,9766755,364324,252431,055910008,02694244,2171406,469694,361712,042931072,81516979,96   210408445166277354Для анализа коррелированности отклонений используют статистику Дарбина-Уотсона:Критические значения d1 и d2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости α, числа наблюдений n = 15 и количества объясняющих переменных m=1.Автокорреляция отсутствует, если выполняется следующее условие:d1 < DW и d2 < DW < 4 - d2.Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1,5 < DW < 2,5.