Обучение учащихся старших классов решению задач по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»

Работа оформлена в по ГОСТу. Написана самостоятельно, прошла экспериментальную проверку, большой процент оригинальности. За доп плату могу выслать презентацию и текст к защите.
Выпускная квалификационная (дипломная) работа «Обучение учащихся старших классов решению задач по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»».
Ключевые слова: комбинаторика, теория вероятностей, технология модульного обучения, учащиеся старших классов.
Объем работы составил: 83 страницы, 9 таблиц, 8 рисунков, 37 источников литературы.
Объект исследования – процесс обучения учащихся старших классов решению задач по комбинаторике и теории вероятностей.
Цель работы – теоретически обосновать и содержательно представить модульную программу «Элементы комбинаторики и теории вероятностей» для 9-11 классов средней ш ...

ВВЕДЕНИЕ
1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ СТАРШИХ КЛАССОВ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»
1.1 Состояние проблемы обучения учащихся старших классов решению задач по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»
1.1.1 Анализ нормативных документов
1.1.2 Анализ содержания и результатов ГИА и ЕГЭ
1.1.3 Анализ изложения элементов комбинаторики и теории вероятностей в учебной литературе
1.2 Математические основы обучения учащихся старших классов решению задач по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»
1.3 Психолого-педагогические основы обучения учащихся старших классов решению задач по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»
1.3.1 Психолого-педагогические особенности учащихся старших классов
1.3.2 Технология модульного обучения
1.3.3 Структура учебного модуля
2 МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ СТАРШИХ КЛАССОВ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»
2.1 Структура модульной программы
2.2 Разработка модульной программы. М 1 – «Подсчет вариантов. Правило умножения. Формулы комбинаторики»
2.3 Разработка модульной программы. М 2 – «Понятие случайного события. Виды событий. Полная группа событий. Операции над событиями»
2.4 Разработка модульной программы. М 3 – «Классическое определение вероятности»
2.5 Разработка модульной программы. М 4 – «Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность»
2.6 Разработка модульной программы. М 5* – «Формула полной вероятности. Формула Байеса» .
2.7 Разработка модульной программы. М 6 – «Итоговая контрольная работа»
2.8 Экспериментальная проверка разработанной методики
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
ПРИЛОЖЕНИЕ А Справка о прохождении преддипломной практики.

В настоящее время стохастическая линия является обязательной содержательно-методической линией школьного курса математики, тема «Элементы комбинаторики и теории вероятностей», имеет огромное прикладное значение и при этом, для большинства учеников является пропедевтикой перед серьезным изучением её в ВУЗе. При этом анализ учебно-методической литературы показал, что материалы темы по-прежнему разбросаны по всему школьному курсу, в них отсутствует последовательность и целостность, в результате чего, учащиеся каждый раз вынуждены вспоминать и изучать тему заново. В добавок ко всему, большинство педагогов слабо представляют содержательно-методические основы обучения стохастике в школе, что так же негативно сказывается на результатах обучения.

Это дает возможность ему осознать себя в деятельности, самому определить уровень освоения знаний, видеть пробелы в своих знаниях и умениях. Несомненно, что учитель тоже управляет учебно-познавательной деятельностью учащихся через модули и непосредственно, но это более мягкое, а главное сугубо целенаправленное управление. В-четвертых, наличие модулей с печатной основой позволяет учителю индивидуализировать работу с отдельными учениками. Здесь нет проблемы индивидуального консультирования, дозированной индивидуальной помощи.Цель Модульной технологии заключается в обучении приемам самостоятельной работы, самоконтроля и взаимоконтроля, приемам исследовательской деятельности, в развитии и совершенствовании умений самостоятельно работать, добывать знания и на этой основе  в формировании интеллекта школьника, в максимальной адаптации учебного процесса к индивидуальным особенностям учащихся.Основная сущность модульной технологии заключается в одновременной работе учителя по:- управлению самостоятельной работой всех учащихся;- работе с отдельными школьниками – индивидуально;- осуществлению учета и реализации индивидуальных особенностей детей;- максимальному включению всех в индивидуальную и самостоятельную работу.Этапы работы по МТ:1) Выдача печатных модулей и изучение нового материала. Особое внимание следует уделить объяснению нового материала, максимально оптимизировав этот этап работы:а) необходимый теоретический материал дается укрупненными блокамиб) используются средства наглядности,в) обучение учащихся грамотной фиксации новой информацииг) разбор учащимися типичных заданий.2) Закрепление и отработка материала. Этот этап работы строится как активная самостоятельная деятельность учащихся. Происходит резкое увеличение времени на самостоятельную работу (до 30 минут). Активно используются такие приемы устной самостоятельной работы, как работа в парах и работа в группах. Работа в парах включает взаимоконтроль, как одно из средств, обеспечивающих сплошную контролируемость результатов самостоятельной работы.3) Контрольная работа.4) Домашнее задание.Одним из принципов МТ является дифференцированное обучение. Выполняя самостоятельную работу, все учащиеся работают в разном темпе и требуют разную степень помощи. Скорость выполнения заданий зависит не только от степени подготовленности учащихся, но и от их индивидуальных и физиологических особенностей. [23]В МТ применяются задания с различным уровнем сложности. Задания, которые предлагаются для самостоятельной работы, адаптивны для трех уровней: репродуктивный, частично-поисковый, творческий. В МТ активно используется самоконтроль, взаимоконтроль, работа консультантов в качестве которых могут выступать сильные учащиеся.Часть индивидуальной работы учитель осуществляет в процессе обхода всех учащихся, когда каждому ученику уделяется примерно одинаковое время. (Включенный контроль).Убедившись, что все учащиеся, получив необходимую помощь от учителя, работают самостоятельно, он переходит к индивидуальной работе с одним учеником. (Отключенный контроль). Отключенная индивидуальная работа - самая ценная в учебном процессе.Итак, МТ предлагает как преобладающие организационные формы обучения: индивидуальные, фронтальные, групповые, коллективные; методы обучения: объяснительно-иллюстративные, репродуктивный, проблемный, рефлексивный. Такие активные формы обучения дают возможность прививать интерес к предмету, так как только тогда можно добиться результатов, когда мотивация обучения учащихся строится на интересе.Таким образом, использование МТ позволяет организовать:- деятельностный подход обучения,- активную самостоятельную познавательную деятельность,- многоканальную обратную связь: учитель-ученик, ученик-ученик, учитель-коллектив учащихся, ученик-коллектив учащихся,- практическую направленность обучения,- контролируемость результатов всех видов самостоятельной работы,Все это способствует освоить не только базовые знания, но и общеучебные (или универсальные) умения. 1.3.3 Структура учебного модуля В курсе учебного предмета выделяются тематические блоки. Учитель выделяет их сам, по своему усмотрению основываясь на программу курса. Распределяет количество часов так, чтобы было целесообразно. Это такая организация процесса обучения, при которой ученик работает с учебной программой, состоящей из модулей, основывающейся на индивидуально-дифференцированном подходе. Она позволяет осуществлять самообучение, регулировать не только темп работы, но и содержание учебного материала. Сам модуль может представлять содержание курса в трёх уровнях: полном, сокращённом и углубленном.Обучающим модулем называют автономную часть учебного материала, состоящую из следующих компонентов:1) точно сформулированная учебная цель (целевая программа);2) банк информации (собственно учебный материал в виде обучающей программы);3) методическое руководство по достижению целей (как?);4) практические занятия по формированию необходимых умений;5) контрольная работа, которая строго соответствует поставленным целям.Система контроля и оценки учебных достижений – рейтинговая. Каждое практическое задание оценивается в баллах в зависимости от сложности. Баллы ученики выставляют в тетради на полях. В журнале выставляют только оценки “выходного контроля”Особое внимание обращается но то, чтобы каждый ученик уяснил цель урока, что и как необходимо сегодня изучить, на чём сосредоточить своё внимание. Осознанность учебной деятельности переводит учителя из режима информирования в режим консультирования и управления. Данный метод обеспечивает возможность выбора учениками пути движения внутри модуля. Учитель освобождается от чисто информационных функций, передаёт модульной программе некоторые функции управления, которые становятся функциями самоуправления. Моя роль на модульном уроке – управление работой учащихся. При такой организации работы учитель имеет возможность общаться практически с каждым учеником, помогать слабым и консультировать сильных учеников.Модульное обучение активизирует способности учащихся, потому желающим часто предлагаю задания творческого характера. Такая работа оценивается отдельно.Результатом разработки модуля становится методическое пособие для учащихся. В таком методическом пособии находится: - теория входящая в состав модуля, - задания на отработку теории, - блок задач разного уровня сложности, - творческие задачи, - проблемные задачи, которые являются связующим элементом между модулями, - домашнее задание.Модульное обучение предполагает жёсткое структурирование учебной информации, содержание обучения и организацию работы учащихся с полными, логически завершёнными учебными блоками. В модуле чётко определены цели, задачи и уровни изучения темы, названы умения и навыки. В нём всё заранее запрограммировано: не только последовательность изучения учебного материала, но и уровень его усвоения.ВЫВОДЫ ПО ПЕРВОМУ РАЗДЕЛУВ первом разделе дипломной работы был проведен анализ нормативных документов, материалов ЕГЭ и учебной литературы который показал что каждый из анализируемых учебников содержит богатый материал по данной теме, но он разбросан по разным темам, параграфам и годам обучения, в нем отсутствует целостность и последовательность что, и как показал анализ результатов выпускных экзаменов не является достаточным для усвоения темы «ЭКиТВ», что говорит о актуальности темы дипломного проекта.Изучив математические основы темы «ЭКиТВ» и психолого-педагогические особенности старшего школьного возраста мы пришли к выводу что целесообразно использовать методики и технологии обучения, направление на самостоятельную, творческую работу, групповые и коллективные формы работы с самопроверкой и взаимопроверкой, всем этим требованиям как было показано, соответствует технология модульного обучения.2 МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ СТАРШИХ КЛАССОВ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»2.1 Структура модульной программыМодульная программа «Элементы Комбинаторики и теории вероятностей»М 1 – Подсчет вариантов. Правило умножения. Формулы комбинаторики;М 2 – Понятие случайного события. Виды событий. Полная группа событий. Операции над событиями;М 3 – Классическое определение вероятности;М 4 – Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность;М 5* - формула полной вероятности. Формула Байеса;М 6 – Итоговая контрольная работа.В каждом модуле будем придерживается единой уровневой классификации задач:0 – задачи связанные с отработкой теоретического материала, актуализацией знаний, задачи на повторение;1 – Задачи на отработку нового материала, одношаговые. Как правило, решение задачи такого может содержатся в теоретическом блоке в рамках стандартной задачи. Решения задач этого уровня необходимо для освоения модуля на минимальном уровне и получения оценки «3»;2 – Задачи на отработку нового материала, не являются одношаговыми, могут содержать неявно заданные условия, лишние условия, требовать поэтапного решения. Не должны вызывать затруднения у большинства учащихся; 3 – Задачи повышенного уровня. Требуют творческого подхода к решению, возможно несколько способов решения. Могут включать в себя любой ранее изученный материал и предпосылки к изучению того, что учащимся еще не известно.Каждый модуль содержит в себе:1) Цели модуля;2) Перечень понятий модуля;3)Теоретический блок;а) основная теория модуля;б) пример решения стандартной задачи;в) алгоритм решения или указания к выполнению и оформлению;4) Практический блок;5) Контрольный блок;6) Домашнее задание.Учитывая модульно-блочную структуру, в рамках любого конкретного модуля некоторые блоки могут отсутствовать, или находится в ином порядке. Опишем некоторые особенности модулей:М1 - Подсчет вариантов. Правило умножения. Формулы комбинаторики. По своей сути модуль является повторением, но в зависимости от того, каким учебником пользовались обучающиеся комбинаторика могла изучаться последний раз в пятом классе, что требует обязательного повторения. Модуль рассчитан на два урока продолжительностью 45 минут. Алгоритмы даны в схемах. Для систематизации теоретических сведений учащимся предлагается заполнить таблицу которой в дальнейшем удобно пользоваться.М2 - Понятие случайного события. Виды событий. Полная группа событий. Он является примером модуля, основную составляющую которого составляет отработка теоретического материала, который в дальнейшем будет использован во всех последующих. Ему необходимо уделить особое внимание так как классификация событий вызывает затруднения у учащихся и все последующие модули будут изложены с опорой на нее. Модуль рассчитан на один урок продолжительностью 45 минут. Основной акцент сделан на составление классификации.М3 - Классическое определение вероятности – направлен на изучение ключевой темы школьного курса теории вероятностей. Он рассчитан на два урока продолжительностью 45 минут, но так как в программе присутствуют необязательные модули, темп работы может быть индивидуальным. Более слабые учащиеся могут затратить на освоение модуля больше времени, сильные учащиеся – перейти к следующему. Подробно описана возможная методика работы с модулем, возможные вопросы, заполнение целевого компонента, приведена карточка рефлексии так как именно этот модуль проходил экспериментальную апробацию.М 4 – Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность. Ему необходимо уделить внимание, так как задачи на эту тему с ним наиболее часто встречаются в ЕГЭ, и он по сути является заключительным для основной программы и по тому как учащиеся его освоят можно сделать вывод о том, как была в целом освоена программа, так как по сути эти задачи включают в себя весь ранее изученный материал.М 5* - формула полной вероятности. Формула Байеса. Не является обязательным в рамках школьного курса математики, но в условиях школ с углублённым изучением математики его можно включить в программу или использовать на факультативах, либо предложить сильным учащимся в качестве домашнего задания. М 6 – Итоговая контрольная работа. Содержит два варианта. Составлена из материалов ЕГЭ, что позволяет провести не только контроль качества усвоения материала программы, но и готовность обучающегося к сдаче экзаменов.2.2 Разработка модульной программы. М 1 – «Подсчет вариантов. Правило умножения. Формулы комбинаторики»Цели модуля: 1) Ввести понятие комбинаторной задачи, рассмотреть возможные задачи и способы их решения;2) Научится решать комбинаторные задачи полным перебором вариантов, а также с помощью графов;3) Развить умения объяснять, строить логические цепочки решения заданий, организовывать перебор, образное и логическое мышление, письменную и устную математическую речь;4) Воспитать аккуратность, ответственность, умение работать самостоятельно и в команде;Перечень понятий модуля: Комбинаторика. Граф. Дерево. Правило суммы. Правило произведения. Генеральная совокупность. Перестановка. Сочетание. Размещение.1 Теоретический блокКомбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.Существуют следующие методы решения комбинаторных задач:1) Подсчёт вариантов с использованием графов (деревьев);2) использование правил суммы и произведения;3) использование формул комбинаторики.Остановимся подробно на каждом из них.Часть 1 - Подсчет вариантов с использованием графов (деревьев)Самые разные комбинаторные задачи решаются с помощью составления специальных схем – графов или деревьев.Граф — это совокупность непустого множества вершин и множества пар вершин (связей между вершинами). Точки называют вершинами графа, а линии, которые соединяют вершины, - рёбрами графа. Стандартная задача 1Задача. Запишите все возможные варианты расписания пяти уроков на день из предметов: математика, русский язык, история, английский язык, физкультура, причем математика должна быть вторым.Решение. Решение. Построим дерево возможных вариантов, обозначив М – математика, Р – русский язык, И – история, А – английский язык, Ф физкультура. На рисунке 1 перечислены все 24 возможных варианта расписания.Рисунок 1 – Решение стандартной задачи с использованием дерева возможных вариантовЧасть 2 - Правила суммы и произведенияБольшинство комбинаторных задач решается с помощью двух основных правил - правила суммы и правила произведения. Рассмотрим эти правила для двух объектов, для большего числа правила аналогичны.Правило суммы. Если некоторый объект А можно выбрать n способами, а другой объект D можно выбрать m способами, то выбор "либо А, либо В" можно осуществить n+m способами.Обобщенное правило суммы. Если некоторое способы выборки объекта А совпадают со способами выбора объекта В, то такую выборку можно совершить А+В-К способами, где К - число совпадающих способов для А и В.Правило произведения. Если объект F можно выбрать n способами, а после каждого такого выбора другой объект D можно выбрать (независимо от выбора объекта А) m способами, то пары объектов A и B можно выбрать nm способами.Стандартная задача 2Задача. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску размера 8 на 8 белую и черную ладьи так, чтобы они не били друг друга?Решение. 1) Белую И черную ладьи. Используем правило произведения.2) 64 способа поставить первую ладью на любую клетку3) Первая ладья бьёт 14 полей и на одном стоит, поэтому остается 64 - 15 полей, тогда 64∙49=3136 способовОтвет: 3136 способов поставить белую и черную ладью чтобы они не били друг друга.Алгоритм решения стандартной задачи 2 показан на рисунке 2center-279704Прочитать условие задачи. Если в искомой совокупности задачи фигурирует«и»,То пользуемся правилом произведения«или»,То пользуемсяСовпадения нужныПравило суммыСовпадения исключитьОбобщенное правило суммыПосчитать число способов выборки объектаВоспользоваться выбранным в правиломЗаписать полный ответ00Прочитать условие задачи. Если в искомой совокупности задачи фигурирует«и»,То пользуемся правилом произведения«или»,То пользуемсяСовпадения нужныПравило суммыСовпадения исключитьОбобщенное правило суммыПосчитать число способов выборки объектаВоспользоваться выбранным в правиломЗаписать полный ответРисунок 2 - Алгоритм решения стандартной задачи 2Часть 3 - Формулы комбинаторикиРассмотрим множество, состоящие из n элементов. Это множество в комбинаторике называется генеральной совокупностью.Определение 1. Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.Формула 1. Число различных перестановок из n элементов обозначается Pn и вычисляется по формуле: Pn=n! (2.1)Пример 1. Всевозможными перестановками множества, состоящего из трех элементов {1, 2, 3} являются: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2).Определение 2. Размещением из n элементов по m в комбинаторике называется любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.Формула 2. Число размещений в комбинаторике обозначается Anm, и вычисляется по формуле:Anm=nn-1n-2…n-m1=n!n-m! . (2.2)Замечание: n!=1∙2∙3∙...∙n (читается: "эн факториал"), кроме того, 0!=1.Пример 2. Различными размещениями из трех элементов {1, 2, 3} по два будут наборы (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3),(3, 2). Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и их порядком.Определение 3. Сочетанием из n элементов по m в комбинаторике называется любой неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.Формула 3. Число сочетаний обозначается Cnmи вычисляется по формуле:Cnm=n!n-m! . (2.3) Пример 3. Для множества {1, 2, 3} сочетаниями являются {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.ВАЖНО, является ли для нас существенным порядок элементов в наборе!Стандартная задача 3Задача. Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?Решение: 1)Искомая совокупность не является генеральной. В числах порядок цифр важен. Значит будем пользоваться формулой числа размещений.2) Нечетных цифр пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на две разные позиции двух из пяти различных цифр, т.е. указанных чисел будет:А52=5∙4=20.Ответ: двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные всего 20.Алгоритм решения стандартной задачи 3 показан на рисунке 316656059525Прочитать условие задачи. Выяснить, является ли искомая совокупность генеральнойДА,Пользуемся формулой числа перестановокНЕТ,Выясняем, важен ли порядок элементов в искомой совокупностиДА,Пользуемся формулой числа размещенийНЕТ,Пользуемся формулой числа сочетанийЕсли необходимо посчитать число нужных вариантов.Подставить данные в выбранную формулу,Записать полный ответ00Прочитать условие задачи. Выяснить, является ли искомая совокупность генеральнойДА,Пользуемся формулой числа перестановокНЕТ,Выясняем, важен ли порядок элементов в искомой совокупностиДА,Пользуемся формулой числа размещенийНЕТ,Пользуемся формулой числа сочетанийЕсли необходимо посчитать число нужных вариантов.Подставить данные в выбранную формулу,Записать полный ответРисунок 3 – Алгоритм решения стандартной задачи 32 Практический блокПерепишите в тетрадь таблицу и заполните ее самостоятельно.0.1 Воспользовавшись сведениями теоретического блока, перенесите таблицу 2.1 в тетрадь и заполните ее.Таблица 2.1 – Формулы комбинаторикиЗаписатьКомбинации элементовПерестановкиРазмещенияСочетанияопределениеважен ли порядок?формулупримерЗадачи уровня 1 и 2 Решите самостоятельно или работая в паре с соседом. Используйте любой удобный для вас метод организации переборов, это может быть, как граф, так и дерево вариантов. Оформляйте решение так, чтобы быть готовым оказать помощь тому, кто не справляется или выйти к доске.1.1 Научное сообщество состоит из 25 человек. Надо выбрать президента, вице-президента, учёного секретаря и казначея. Сколькими способами можно сделать выбор?1.