теория вероятности и статистика, 7 вариант

ВАРИАНТ №7
№7
Совет директоров состоит из 3 бухгалтеров, 3 менеджеров и 2 инженеров. Планируется создать подкомитет из трех его членов. Найти вероятность того, что в подкомитет войдут:
два бухгалтера и менеджер;
бухгалтер, менеджер и инженер;
хотя бы один бухгалтер.

№17
Заводом послана автомашина за различными материалами на четыре базы. Вероятность наличия нужного материала на первой базе равна 0.9, на второй -0.95. на третьей - 0.8. на четвертой - 0.6. Найти вероятность того, что только на одной базе не окажется нужного материала.
№27
В автобусном парке имеется 100 машин. Вероятность выхода автобуса на линию равна 0.9. Для обеспечения нормальной работы маршрутов необходимо иметь на линиях не менее 90 машин. Определить вероятность нормального функциониро¬вания автобусных маршрутов.

...

7 вариант +тест

ВАРИАНТ №7
№7
Совет директоров состоит из 3 бухгалтеров, 3 менеджеров и 2 инженеров. Планируется создать подкомитет из трех его членов. Найти вероятность того, что в подкомитет войдут:
два бухгалтера и менеджер;
бухгалтер, менеджер и инженер;
хотя бы один бухгалтер.

№17
Заводом послана автомашина за различными материалами на четыре базы. Вероятность наличия нужного материала на первой базе равна 0.9, на второй -0.95. на третьей - 0.8. на четвертой - 0.6. Найти вероятность того, что только на одной базе не окажется нужного материала.
№27
В автобусном парке имеется 100 машин. Вероятность выхода автобуса на линию равна 0.9. Для обеспечения нормальной работы маршрутов необходимо иметь на линиях не менее 90 машин. Определить вероятность нормального функциониро¬вания автобусных маршрутов.


№37
Предприятие в среднем выпускает 90% изделий высшего сорта. Составить за-кон распределения случайного числа изделий высшего сорта из взятых наугад четырех изделий. Составить функцию распределения, построить ее график.

№47
Даны законы распределения двух независимых случайных величин Х и У.
X 1 3 5
P 0.3 0.5 0.2

Y 7 8 9
P 0.4 0.3 0.3

Составить закон распределения случайной величины Z=XY
Найти числовые характеристики Z

№57
Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей F(x).
Требуется:
Найти функцию плотности распределения f(x)
Найти М(Х)
Найти вероятность P(2.2

25 ; 4 )Pa<X<b=abfxdxP2.25<X<4=2.25412x-2dx=x-22.254=1.414-0.5=0.9144) Построим графикиF(x)f(x)№67Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами М(Х)=25, σХ=4ТребуетсяСоставить функцию плотности распределения и построить графикНайти вероятность того, что случайная величина в результате испытаний примет значение, принадлежащее интервалу α=13, β=30Найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания не превысит δ=0,1Решение1) Для нормально распределения:fx=1σ2πe-x-a22σ2Т.е.fx=142πe-x-2522∙42=142πe-x-252322) Для нормально распределенной случайной величины вероятность ее попадания на заданный промежуток, вычисляется по формуле:Pα<x<β=Фβ-M(X)σ-Фα-M(X)σP13<x<30=Ф30-254-Ф13-254=Ф1,25-Ф-3==0,3944+0,4987=0,89313) вероятность того, что абсолютная величина отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания не превысит δ=0,1PX-a<δ=2ФδσPX-a<0,1=2Ф0,14=2Ф0,025=2∙0,012=0,024№77В течении 25 лет наблюдался подъем уровня воды в реке во время паводков. Получены следующие данные ( в см):266 278 315 336 347 354 368 369 391 408 411 416 427 444 448 457 462 481 483 495 512 536 576γ=0,96; σГ=65, h=50, x0=20Составить интервальное распределения выборки с шагом h, взяв за начало первого интервала x0 . Построить гистограмму частот. Найти xB ;DB ; σB B ;S. Найти с надежностью γ доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания признака X генеральной совокупности, если признак X распределен по нормальному закону и его среднее квадратическое отклонение равно σГРешение1) Для составления интервального распределения составим таблицу, в первой строке которой расположим в порядке возрастания интервалы, длина каждого из которых h=50 . Во второй строке запишем количество значений признака в выборке, попавших в этот интервал (т.е. сумму частот вариант, попавших в соответствующий интервал):(xi;xi+1)xini20-7045070-120950120-1701450170-2201950220-2702451270-3202952320-3703455370-4203954420-4704455470-5204954520-5705451570-62059512)Построим гистограмму:3)Выборочная:xB=xinin=528014=377.14DB=x2B-xB2=23431.12σB=DB=153.07S2=nn-1DB=1414-1∙23431.12=25233.52S=S2=158.854)xв-tσn<a<xв+t(σn)Найдем t из соотношения:Фt=0.962=0.48Из таблицы значений функции Ф(х) находим t=1.76.Тогда искомый доверительный интервал:377.14-1,76∙6514<a<377.14-1,76∙6514346.55<a<407.73№87По совокупности 100 предприятий торговли изучается зависимость между ценой товара Х и прибылью торгового предприятия У.УХnу51015202530452465535865535545752817278547314mx271247293100В прямоугольной системе координат построить эмпирические ломаные регрессии Y на X и X на Y, сделать предположение о виде корреляционной связи. Оценить тесноту линейной корреляционной связи. Составить линейные уравнения регрессии Y на X и X на Y, построить их графики.Решение1) Т.к. при при х=5 признак У имеет распределениеY45ni2то условное среднееyx=5=45∙22=45Аналогично вычисляем все условные средние:yx=10=45∙4+55∙37=49,29yx=15=55∙5+65∙5+75∙212=50,83yx=20=65∙35+75∙8+85∙447=68,40yx=25=65∙5+75∙7+85∙729=49,83yx=25=85∙33=85Составим таблицу корреляционной зависимостиХ51015202530yx4549,2950,8368,4049,8385Вычисляем все условные средние:xy=45=5∙2+10∙46=8.33xy=55=10∙3+15∙58=13.13xy=65=15∙5+20∙35+25∙545=20xy=75=15∙2+20∙8+25∙1727=22.28xy=85=20∙4+25∙7+30∙314=24.64Составим таблицу корреляционной зависимостиY4555657585xy8.3313.332022.2824.642) выдвинем гипотезу о линейной корреляционной зависимости , оценим тесноту связи.x=xinin=5∙2+10∙7+15∙12+20∙47+25∙29+30∙3100=20.15y=yinin=45∙6+55∙8+65∙45+75∙27+85∙14100=68.5x2=x2inin=25∙2+100∙7+225∙12+400∙47+625∙29+900∙3100==430.75y2=y2inin=2025∙6+3025∙8+4225∙45+5625∙27+7225∙14100==4795xy=xiyinijn=5∙45∙2+45∙10∙4+55∙10∙3+55∙15∙5+65∙15∙5100+65∙20∙35+65∙25∙5+75∙15∙2+75∙20∙8100++75∙25∙17+85∙20∙4+85∙25∙7+85∙30∙3100=1419.75σx=x2-x2=430.75-406.02=4.97σy=y2-y2=4795-4692.25=10.14Коэффициент корреляции:rв=xy-x∙yσxσy=1419.75-20.15∙68.54.97∙10.14=0.78Так как rB близок к единице, то между Y и X имеется достаточно тесная корреляционная связь.3) подставляя найденные величины в уравнения:Yx-y=rв(x-x)Xy-x=rв(y-y)Получаем искомые уравнения регрессии:1) уравнение У на ХYx-68,5=0,78(x-20,15)Yx=0,78x+52,781) уравнение Х на УXy-20,15=0,78(y-68,5)Xy=0,78y-33,28Строим графики:№97Распределение стоимости покупок (руб.) 50 случайно выбранных покупателей характеризуется следующими данными:xi10-2020-3030-4040-5050-6060-7070-8080-9090-100100-110ni134611107521Выдвинуть гипотезу о виде распределенияПроверить гипотезу с помощью критерия Питерсона при α=0,01РешениеВыдвигаем гипотезу о нормальном распределении.xB=xinin=266046=57,83DB=x2B-xB2=16532,6146=359,4σB=DB=18,98S2=nn-1DB=4646-1∙359,4=367,39S=S2=19,17Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона.EQ K = \i \su(i=1;k; \f((ni - n pi)2;n pi) ) где pi — вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому законуДля вычисления вероятностей pi применим формулу и таблицу функции ЛапласаEQ Ф(\f(xi+1-\x \to(x);s)) - Ф(\f(xi - \x \to(x);s))Интервалы группировкиНаблюдаемая частота niФ(xi)Ф(xi+1)Вероятность pi попадания в i-й интервалОжидаемая частота npiСлагаемые статистики Пирсона Ki10 - 2010.480.490.01770.810.042320 - 3030.430.480.04822.220.2830 - 4040.330.430.14.670.095840 - 5060.160.330.177.70.3750 - 60110.04780.160.115.126.7560 - 70100.240.04780.198.790.1770 - 8070.380.240.146.350.065980 - 9010.450.380.07653.521.890 - 10020.490.450.03331.530.14100 - 11010.50.490.01010.460.624610.34Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение Kнабл, тем сильнее довод против основной гипотезы.Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [Kkp;+∞).Её границу Kkp = χ2(k-r-1;α) находим по таблицам распределения «хи-квадрат» и заданным значениям s, k (число интервалов), r=2 (параметры xcp и s оценены по выборке).Kkp = 18.47531; Kнабл = 10.