Дисперсия и ее свойства

Дисперсия, ее свойства и примеры ...

-

Исходя из определения дисперсии (1), получим:DX=M(X-μ)2=M(X2-2μX+μ2) Используем свойства математического ожидания: постоянную величину (в данном случае – 2μ) можно выносить за знак математического ожидания; математическое ожидание постоянной величины (в данном случае μ2) равно этой постоянной и математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин. Т.к. MX=μ, полученное выражение преобразуется к видуDX=MX2-2μμ+μ2=MX2- μ2(!)Дисперсия суммы двух случайных величин X и Y определяется из выраженияDX+Y=DX+DY+2Kxy,где Kxy=MX-μx(Y-μy) Действительно,DX+Y=MX+Y-M(X+Y)2=M(X+Y-(μx+μy))2==M(X-μxY-μy)2==M(X-μx2+2X-μxY-μy+Y-μy2)==MX-μx2+2MX-μxY-μy+M(Y-μy)2==DX+2Kxy+D(Y) Если случайные величины независимы, то Kxy=0Kxy=MX-μx(Y-μy)=MXY-Xμy-Yμx+μxμy=MXY-μxμyСвойство 4 математического ожидания указывает на то, что для независимых случайных величин это выражение равно нулю.Дисперсия суммы конечного числа независимых (!) случайных величин равна сумме их дисперсий:DX1+X2+…+Xn=DX1+D(X2)+…+D(Xn) Следствием этого свойства является утверждение: среднее квадратическое отклонение конечного числа (n) независимых случайных величин определяется выражением:σ=i=1nσi2Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме (!) их дисперсий:DX-Y=DX+D(Y) Справедливость записанной формулы следует из свойства 4 и 2: D-Y==-12DY=D(Y)(Правило «трех сигм».) Произвольная случайная величина отклоняется от своего математического ожидания на ±σ с вероятностью не менее 0,9973:PX-MX<3σ≥0,9973 Свойства, справедливость которых не доказана, или очевидны, или могут быть проверены на примерах. Пример 2. Убедиться в справедливости свойства 3 для случайной величины X, заданной законом распределенияX-20123P0,10,20,40,20,1 Решение. Находим математические ожидания случайной величины X и ее квадрата:MX=-2×0,1+0×0,2+1×0,4+2×0,2+3×0,1=0,9;MX2=(-2)2×0,1+02×0,2+12×0,4+22×0,2+32×0,1=2,5 Вычислим дисперсию двумя способами:По определению:DX=(-2-0,9)2×0,1+(0-0,9)2×0,2+(1-0,9)2×0,4+(2-0,9)2×0,2+(3-0,9)2×0,1=1,69По формуле (2) свойства 3:DX=MX2-M2X=2,5-0,92=1,69 Результаты совпадают. Пример 3.