Простейшая задача теории статистических решений с конечными множествами альтернатив (состояний), наблюдений и решений. Рандомизированные и нерандомизи

Оценка - отлично ...

1. Задача теории статистических решений с конечными множествами альтернатив (состояний), наблюдений и решений.
2. Рандомизированное и нерандомизированное решение статистика. Байесово решение.
3. Заключение.

Теория статистических решений близка по идеям и методам к теории игр. От теории игр она отличается тем, что ситуация неопределенности не имеет конфликтной окраски – никто ни кому не противодействует, но налицо элемент неопределенности. В задачах теории статистических решений неизвестные условия операции зависят не от сознательно действующего противника, а от объективной действительности, которую в теории статистических решений принято называть «природой». Соответствующие ситуации часто называют играми с природой (статистическими играми). «Природа» подразумевается как некая незаинтересованная инстанция, поведение которой неизвестно, ну или во всяком случае не злонамеренно.[1]

5)Где η=(ηx)x∈X∈ △. Можно рассматривать (1.5) как платежную функцию, причем в игре, возникающей таким образом, что непременно существует решение в смысле седловой точки. Мы будем исследовать решение в упомянутом смысле. Отметим, что математическая постановка такого рода достаточно традиционна. Рандомизированное и нерандомизированное решение статистика. Байесово решение.Если Γ – непустое конечное множество, то через P0(Γ) обозначаем множество всех функцийυ : Γ ⟶0, 1 (2.1)Со свойством: сумма всех υ(γ), γ∈ Γ, есть 1. Итак, P0(Γ) есть множество всех элементарных вероятностей (ЭВ) на Γ. Каждую функцию (2.1) можно, конечно, рассматривать как неотрицательный вектор в конечномерном пространстве. Для нас существенны множества P0(S), P0Xи P0(D). Отображение Q :S ⟶ P0XФиксируем, получая фактически стохастическую матрицу наблюдений; при этом qsx≜Qsx, s∈S, x∈X,В содержательных рассуждениях раздела 1. Определяем △ как множество всех отображений из X в P0(D); элементы △ есть фактически стохастические матрицы решений. Уточняя (1.5), вводимR : △×P0S⟶ R (2.2)по следующему естественному правилу: ∀η∈ △ ∀μ∈ P0SRη, μ≜s∈Sx∈Xd∈D∏s, dηxdQsxμs. (2.3)Средний риск (2.3) можно связать со следующей простейшей динамической моделью цепи Маркова. Именно, рассмотрим три момента времени t0<t1<t2. В момент t0 производится случайное испытание, определяемое (начальным) распределением μ. В результате испытания реализуется состояние u0=s∈S. Используя Q в качестве переходной вероятности, осуществляем в момент t1 случайное испытание, определяемое распределением Qs=Qu0=qu(0). В результате реализуется u1=x∈X. Далее, используя η∈ △ как новую переходную вероятность, мы в момент t2 осуществляем новое случайное испытание, определяемое распределением ηx=ηu(1). При этом реализуется u2=d∈D. Стало быть u=(u0,u1, u(2))∈S×X×D можно рассматривать как реализацию простейшего марковского процесса с дискретным временем. По существу же такое представление определяет в достаточно простой форме решение задачи о байесовом риске: μ∈ P0S задано и требуется решить задачуRη, μ ⟶min, η∈ △. (2.4)В целях полноты изложения рассмотрим решение задачи (2.4), фиксируя ς∈P0S (универсально по отношению к μ∈P0S). Если μ∈P0S, то введемμ⊗Q∈P0S×X (2.5)по правилу: при s∈S и x∈X полагаем (μ⊗Q)(s, x)≜μ(s)Q(s)(x).Если κ∈P0S×X, то X-mg[κ]∈P0X определяется условием: при x∈XX-mgκx≜s∈S κs, x. (2.6)В частности, можно комбинировать (2.5), (2.6), получая при μ∈P0S в видеq[μ]≜X-mg[μ⊗Q]∈P0Xбезусловно элементарную вероятность на X: при x∈Xqμx=s∈SμsQ(s)(x). (2.7)Введем теперь апостериорную ЭВ на S, используя для несущественных преобразований зафиксированное ранее ς. Однако, предварительно удобно ввести специальное понятие спектра ЭВ: если H – непустое конечное множество и γ∈P0H, то Spγ≜h∈H γ(h)≠0}. (2.8)Нам, в частности, понадобятся (в том числе и в связи с (2.7)) варианты, отвечающие случаям H=X и H=S. Если μ∈P0S, то функциюpμ : X ⟶ P0S (2.9)определяем следующим условием:∀x∈Spqμ : pμx≜μ⊗Qs, xqμxs∈S&& ∀x∈X \Spqμ : pμx≜ς. (2.10)Заметим, что в силу (2.6), (2.7) имеем ∀μ∈P0S ∀x| ∈Xqμx= s∈Sμ⊗Qs, x.Тогда, в частности, получаем при μ∈P0S, s∈S и x∈X неравенство μ⊗Qs, x≤qμx.Это означает в силу (2.8), что ∀μ∈P0S ∀x∈X \Sp|qμ ∀s∈Sμ⊗Qs, x=0 (2.11)Из (2.8), (2.11) легко следует, что ∀μ∈P0S ∀x∈X \Sp|qμ ∀s∈Sμ⊗Qs, x= pμxsqμx=0 (2.12)Если же μ∈P0S, x∈Spqμ и s∈S, то в силу (2.10)μ⊗Qs, x= pμxsqμx. 2.13С учетом (2.12), (2.13) получаем теперь ∀μ∈P0S ∀x∈X ∀s∈Sμ⊗Qs, x= μsQsx=pμxsqμx. (2.14)Из (2.3) и (2.14) следует, что ∀η∈ △ ∀μ∈P0SRη, μ=x∈Xqμx(d∈Dηx(d)s∈S∏s, dpμxs). (2.15)Если μ∈P0S и x∈X, то введем в рассмотрение непустое множествоDμ0x≜d0∈D s∈S∏s, d0pμxs≤s∈S∏s, dpμxs ∀d∈D}. (2.16)Декартово произведение x∈XDμ0x всех множеств (2.16) (при переборе всех x∈X) очевидным образом непусто. Полезно, однако, ввести некоторое расширение этого множества; при μ∈P0S введем △0μ≜η∈ △ Spηx⊂Dμ0x ∀x∈X}. (2.17)Смысл введения (2.17) поясняется следующим простым рассуждением, вытекающим из (2.8): если H – непустое конечное множество, γ∈P0H и f есть отображение из H в вещественную прямую R, т.е. вещественнозначная в/з функция на H, то h∈Hf(h)γ(h)=h∈Sp[γ]fhγh.Если теперь μ∈P0S и η0∈ △0μ, то в силу (2.15) – (2.17)Rη0, μ=x∈Xqμx mind∈Ds∈S∏s, dpμxs. (2.18)Введем теперь в рассмотрение естественное погружение нерандомизированных решающих правил в △, т.е. погружение △ в △. Если d∈D, то Kd∈P0D определяется условиями(Kd(d)≜1)&(Kd(d)≜0 ∀d∈D {d}); (2.19)(2.19) соответствует использованию символа Кронекера. Если же φ∈ △, тоδφ≜(Kφx)x∈X∈ △. (2.20)Соотношение (2.